10.(1)证明:如图,连接AD. 2 2 , 3×43+4 =5 ∴CD= =2.4.
∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB 5
=90°,即 AD⊥BC.∵AB=AC, 当圆与 AB 相切时,r=CD=2.4;
∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC 当点A 在圆内部,点B 在圆上或圆
=30°,AB =AC,∴ ∠ABC = 外时,AC1 当32 180°-30°
)=75°.∵ 四 边 形 共交点. (2)∵BC>AC,∴以C 为圆心,R 为半
ABDE 为☉O 的内接四边形,∴∠BAC+∠BDE 径所作的圆与斜边AB 有2个交点,则圆的半径应
=180°.∵ ∠BDE+ ∠EDC=180°,∴ ∠EDC= 大于CD,小于或等于AC,∴r的取值范围是2.4<
∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC= r≤3.即当2.430°,∴∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°.∵OB= 共交点. (3)∵☉C 与斜边AB 没有公共交点,∴r
OP,∴△OBP 为等腰直角三角形,∴∠BOP=90°. 4.即
新题看台 当r<2.4或r>4时,☉C 与斜边AB 没有公共
(1)证明:∵AB 为直径,∴∠ADB=90°.又∵ 交点.
CD 平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD,∴AD=BD, 12.∵l与☉O 相切,∴d=R,即方程有两个相
180-90° 等的实数根,Δ=16-4m=0,m=4.
∴∠ABD=∠BAD= 2 =45°.
(2)解: 新题看台
2 过B 点作BH⊥
∵Rt△ABD 中,AD=BD,∴AD=BD=2AB= AD,在 Rt△ABH 中
根据勾股定理可求得
52(cm),
1 1
则S△ABD=2AD
·BD=2×52×5 BH=40,即 d=40.
2=25(cm2).在Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2 ∵r=50时,☉B 与拖拉机经过的路线相交,我校受噪
音影响,在AD 上取两点E,F,使BF=BE=50,在
= 102-62=8(cm),
1 1
则S△ABC= AC·2 BC=2 Rt△BEH中根据勾股定理可求得EH=30,即EF=
×6×8=24(cm2).∴S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC= 60,影响时间为60÷500=01.2(分钟).
25+24=49(cm2). 第5节 直线与圆的位置关系(2)
第5节 直线与圆的位置关系(1) 问题导学
问题导学 一、知识回顾
1.略 2.(1)2个 (2)1个 (3)0个 3.(1) 1.(1)相离 (2)相切 (3)相交 > = <
dr 2.d=r 直线与圆只有一个交点 3.略
课堂作业 二、探究学习
1.C 2.A 3.相交 4.4或8 5.(1)相离 1.(1)切线的定义 (2)OA 是半径,OA⊥l
(2)相切 (3)相交 理由略 6.作 AH⊥BC,设 (3)l⊥OA 2.略
课堂作业
AH=x,则BH=x,CH= 3x,BC=x+ 3x=
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
1000,求得x=500(3-1),即d=AH=500(3- 2.6 3.45° 4.55°
1),r=300,∵d>r,∴直线与圆相离,公路不会穿 5.解:(1)直线 DE
过森林公园. 与☉O 相切,理由如下:
课后作业 如图,连接OD.∵OD=
1.相交 2.0311.解:如图,过点C 作AB 的垂线CD,垂足为 分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB.∵∠C=90°,∴
D.(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB= ∠A+ ∠B=90°,∴ ∠ODA + ∠EDB=90°,∴
·10·
∠ODE=180°-90°=90°,∴直线DE 与☉O 相切. 第5节 直线与圆的位置关系(3)
(2)如图,连接OE.设 DE=x,则EB=ED=x, 问题导学
CE=8-x.∵∠C=∠ODE=90°,∴OC2+CE2= 探求新知:1.与三角形三边都相切的圆 三角
OE2=OD2+DE2,∴42+(8-x)2=22+x2.解得 形内切圆的圆心 圆的内切三角形
得x=4.75,则DE=4.75. 2.作图略
6.证 明:连 接 OE,∵EF 切☉O 于 点E,∴ 3.略
∠OEF=90°.∵AF⊥EF,∴AF∥OE,∴ ∠FAE 课堂作业
=∠AEO.又∵OA=OE,∴∠OAE=∠AEO,即 1.2 2.40° 3.C 4.125° 5.略
∠FAE=∠OAE,∴AE 平分∠FAB. 6.(1)∠BOC=117.5° (2)∠BOC=122.5° (3)
课后作业 略 (4)60° 7.(1)连接IE,IF,根据三角形内角
5
1.60° 30° 2.2 3.43-1 4.A 5.A
和定理可求得∠A=50°,∵AC,AB 切☉I 于点E,
F,∴∠AFI=∠AEI=90°,根据四边形内角和为
6.D 7.C
8.(1)
1
证明:如图,连接 OD. 360°,∠FIE=130°,∠EDF= 2 ∠FIE=65°.
∵AD 平分∠BAC,∴∠DAE= (2)连接IE,IF,∵AC,AB 切☉I于点E,F,∴∠AFI
∠DAB.∵OA=OD,∴∠ODA= =∠AEI=90°,根据四边形内角和为360°,∠FIE=
∠DAO,∴∠ODA=∠DAE,∴ 1 1
OD∥AE.∵DE⊥AC,∴OD⊥ 180°-n°,∠EDF=2∠FIE=90°-2n°.
DE,∴DE 是☉O 切线. (2)解:过点O 作OF⊥ 课后作业
AC 于点F,∴AF=CF=3,∴OF= AO2-AF2 1.125 2.(1)100° (2)115° 3.D 4.50°
= 52-32 =4.∵∠OFE=∠DEF=∠ODE= 40° 5.40 6.105° 7.A
90°,∴四边形OFED 是矩形.∴DE=OF=4. 8.解:(1)相等.理由如下:如
新题看台 图,连接 BI.∵I 是△ABC 的 内
(1)证明:如图,连接DO 并延长交AC 于M.∵ 心,∴ ∠1= ∠2,∠3= ∠4.∵
∠ACB=90°,AC1 ︵ ︵ + ∠4,而 ∠5= ∠1= ∠2,∴=2AB=AD,∴AD=CD.∵O 为△ADC 的外 ∠BIE=∠IBE,∴IE=BE. (2)如图,连接BI,
心,∴DM 垂直平分AC, IC,EC.四边形BECI 是菱形.理由如下:∵∠BED
即 DM ⊥AC,∴DM ∥ =∠CED=60°,IC=IE=IB,∴△IBE 和△IEC
BC.∵DF⊥BC,∴DF 是等边三角形,∴BE=CE=IE=BI=IC,∴四边
⊥DO,∴DF 为☉O 的 形BECI是菱形.
切线. (2)解:由(1)得 新题看台
AC∥DF,
1
∵点D 为AB 的中点,∴DF=2AC=
1
1.5,CF=BF=2BC=4.5
,如图,作ON⊥CE 于
点N,
1
连接OA.则CN=EN=2CE
,AM=CM=
ON=DF=1.5.设☉O 的半径为r.在△AOM 中,由
勾股定理得1.52+(4.5-r)2=r2,解得r=2.5.∴
CN=EN=OM=4.5-2.5=2,∴CE=4,∴EF=
4.5-4=0.5,∴DE= EF2+DF2= 0.52+1.52
10 24 288
= 最大半径为2 . 7cm
,最大半圆面积为 2
49πcm .
·11·数学 九年级上册
第5节 直线与圆的位置关系(2)
本节课学习的重点知识是掌握切线的判定方 1.判断.(对的打“√”,错的打“×”)
法,并会应用切线的性质来解决具体问题,尤其需 (1)与圆有公共点的直线是圆的切线. ( )
要注意的是切线的判定定理的不同书写方法. (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
( )
(3)垂直于圆半径的直线是圆的切线. ( )
一、知识回顾 (4)过圆直径端点的直线是圆的切线. ( )
1.直线和圆的三种位置关系分别是: (5)圆的切线垂直于过切点的半径. ( )
(1) . 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=30°,以
(2) . 点A 为圆心,以3cm为半径作☉A,当AB=
(3) . cm时,BC 与☉A 相切.
设圆心O 到直线的距离为d,圆的半径为r,请
填空:
直线和圆相离,则d r.
直线和圆相切,则d r.
直线和圆相交,则d r.
2.根据切线的定义,你有哪些方法可以判定直 第2题图 第3题图
线与圆相切 3.如图,AB 是☉O 的直径,AT=AB,AT 是
方法一: . ☉O 的切线,则∠ABT= .
方法二: . 4.如图,PA,PB 分别切☉O 于点 A,B,若
3.如图,A 为☉O 上一点,你 ∠P=70°,则∠C= .
能经过点A 画出☉O 的切线吗
二、探究学习
1.思考
(1)在上述画图过程中,你画图的依据是 5.如图,在△ABC 中,∠C=90°,点O 在AC
. 上,以OA 为半径的☉O 交AB 于点D,BD 的垂直
(2)根据上述画图,你认为直线l具备什么条件 平分线交BC 于点E,交BD 于点F,连接DE.
就是☉O 的切线了 (1)判断直线 DE 与☉O 的位置关系,并说明
理由;
(2)若 AC=6,BC=8,OA=2,求线段 DE
(3)根据上述画图,你认为直线l如果是☉O 的 的长.
切线,那么直线l具备什么性质
2.总结
(1)切线的判定定理:
(2)切线的性质定理:
注:切线共有几种判定方法
4 1
课时培优作业
6.如图,AB 是☉O 的直径,AE 是弦,EF 切 点,CD 切☉O 于D,AB=6,CD=4,则CB 的长为
☉O 于点E,AF⊥EF. ( )
求证:AE 平分∠FAB. 8
A.2 B.3
2
C.3 D.3
6.已知☉O 的半径OA=1,弦AB,AC 的长分
别为 2、3,则∠BAC 的度数为 ( )
A.15° B.30°或45°
C.75° D.15°或75°
7.如图,A,B 是☉O 上的两
点,AC 是☉O 的切线,∠OBA=
1.如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上一点, 75°,☉O 的半径为1,则OC 的长
∠ABC=30°,过点A 作☉O 的切线交BC 的延长 等于 ( )
线于点D,则∠D= ,∠CAD= . 3 2
A.2 B.2
2
C.33 D.2
8.如图,已知☉O 的直径AB=10,弦AC=6,
∠BAC 的平分线交☉O 于点D,过点 D 作DE⊥
AC 交AC 的延长线于点E.
(1)求证:DE 是☉O 的切线;
第1题图 第2题图 (2)求DE 的长.
2.如图,PA 切☉O 于A,PO 交☉O 于点B.若
PA=6,BP=4,则☉O 的半径为 .
3.如图,已知A 点从(1,0)点出发,以每秒1个
单位的速度沿着x 轴的正方向运动,经过t秒后,以
O、A 为顶点作菱形OABC,使B、C 点都在第一象
限内,且∠AOC=60°,又以P(0,4)为圆心,PC 为
半径的圆恰好与OA 所在的直线相切,则t=
.
如图,已知△ABC,∠ACB=90°,ACD 为AB 的中点,过点D 作BC 的垂线,垂足为点
F,过 点 A、C、D 作 ☉O 交 BC 于 点 E,连 接
CD、DE.第3题图 第4题图 (1)求证:DF 为☉O 的切线;
4.如图,AB 是☉O 的直径,BC 交☉O 于点 (2)若AC=3,BC=9,求DE 的长.
D,DE⊥AC 于点C,要使DE 是☉O 的切线,还需
补充一个条件,则补充的条件不正确的是 ( )
A.DE=DO
B.AB=AC
C.CD=DB
D.AC∥OD
5.已知AB 是☉O 的直径,C 是AB 延长线上一
4 2
