为60°,BO=CO,∴△BOC 为等边三角形,∴BC= =∠BDE,∴∠EBA=∠EDC,∴∠EBA=∠C,
BO=CO.∵AO=BO,∴AO=BO=AC=BC,∴ ∴AB=AC. (2)解:∵AB 为直径,∴BD⊥AC,
四边形AOBC 是菱形. 设CD=a.由(1)知AC=AB=4,则AD=4-a.在
新题看台 Rt△ABD 中,由勾股定理可得BD2=AB2-AD2
(1)证明:在正方 形 ABCD 中,AB=AD.∵ =42-(4-a)2.在 Rt△CBD 中,由勾股定理可得
∠ABE 和∠ADF 都 是A︵E 所 对 应 的 圆 周 角,∴ BD2=BC2-CD2=(23)2-a2.∴42-(4-a)2=
∠ABE = ∠ADF.在 △ADF 和 △ABE 中,
( 3 3
AB=AD 23
)2-a2,整理得a= ,即2 CD={ 2
.
∠ABE=∠ADF,∴△ADF≌△ABE(SAS). 新题看台
BE=DF 1.连接AD,可证△AOD 为等腰直角三角形,
(2)解:理由如下:由(1)有△ADF≌△ABE,∴AF A(2,0),C(1,1).
=AE,∠DAF = ∠BAE.在 正 方 形 ABCD 中, 2.(1)证明:连接EP、FP.∵四边形ABCD 为正
∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAF=90°,∴∠BAF 方形,∴∠BAD=90°,∠BPA=90°,∴∠FPE=90°,∴
+∠BAE=90°,∴∠EAF=90°,∴△EAF 是等腰 ∠BPF=∠APE.又∵∠FBP=∠PAE=45°,AP=
直角三角形,∴EF2=AE2+AF2=2AE2,∴EF= PB,∴△BPF≌△APE(ASA),∴BF=AE,而AB=
2AE,即DE-DF= 2AE,∴DE-BE= 2AE. AD,∴DE=AF. (2)解:连接EF.∵∠BAD=90°,∴
第4节 圆周角(2) 3EF 为☉O 的直径,而☉O 的半径为 ,2 EF= 3,∴
问题导学
问题1:∠BAC=90° 问题2:BC 过圆心O, AF
2+AE2=EF2=(3)2=3.∴DE=AF,DE2+AE2
理由略. =3①.又∵AD=AE+DE=AB,∴AE+DE=2+1
课堂作业 ②.由①②联立方程组,解得AE=1,DE=2或AE=
1.29° 2.D 3.62° 4.22
2,
AE 2 AE
() DE=1.∴ =
或 =2.
5.1 ∠ACB=∠BAD.理由:∵BC 为直径, DE 2 DE
∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAC=90°,又∵ 第4节 圆周角(3)
∠CAD+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BAD. (2) 问题导学
△FAB 为 等 腰 三 角 形.理 由:∵A︵E =A︵B,∴ 实践 探 索 二:1.∠A+∠C=180°,∠ABC+
∠ABE= ∠ACB,由(1)得 ∠ACB= ∠BAD.即 ∠ADC=180° 2.上面的结论依然成立. 3.∠CDE
∠ABE=∠BAD.∴AF=BF,即△FAB 为等腰 =∠B 圆内接四边形性质定理1.圆的内接四边形对
三角形. 角互补 2.圆的内接四边形的外角等于这个角的内
课后作业 对角
1.60° 90° 30° 2.28° 3.8 4.6 5.连接 课堂作业
OE,BC.∵AO 为直径,∴∠AEO=90°.根据垂径定 1.C 2.160° 3.38
1
理,AE=2AC=5. 6.
根据AB=8,BC=6,AC 4.连 接 BD,∵四 边 形 ABCD 内 接 于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°,可 得∠BAD=70°,又∵
=10,可得△ABC 为直角三角形,即 AC 为直径,
AB=AD,∴∠ABD=55°,∵四边形 ABDE 内接
∠D=90°,由勾股定理可求 AD=2 21. 7.证 于☉O,∴∠ABD+∠E=180°,可得∠E=125°.
明:连接OD,可得OD⊥AB.在☉O 中,根据垂径定 课后作业
理得AD=DB,即点D 是AB 的中点. 1.105° 2.55° 55° 3.5 100° 4.3
8.(1)证明:如图,连接AE、 5.40° 6.A 7.D 8.B 9.圆的内接平行四边
BD.∵ED =EC,∴ ∠EDC = 形是矩形.理由:∵圆的内接四边形对角互补,平行
∠C.∵ ∠BAE + ∠EBA = 四边形对角相等,∴对角都是90°,一个角是直角的
∠BDE+∠EDC=90°,∠BAE 平行四边形是矩形.
·9·
10.(1)证明:如图,连接AD. 2 2 , 3×43+4 =5 ∴CD= =2.4.
∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB 5
=90°,即 AD⊥BC.∵AB=AC, 当圆与 AB 相切时,r=CD=2.4;
∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC 当点A 在圆内部,点B 在圆上或圆
=30°,AB =AC,∴ ∠ABC = 外时,AC1 当32 180°-30°
)=75°.∵ 四 边 形 共交点. (2)∵BC>AC,∴以C 为圆心,R 为半
ABDE 为☉O 的内接四边形,∴∠BAC+∠BDE 径所作的圆与斜边AB 有2个交点,则圆的半径应
=180°.∵ ∠BDE+ ∠EDC=180°,∴ ∠EDC= 大于CD,小于或等于AC,∴r的取值范围是2.4<
∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC= r≤3.即当2.430°,∴∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°.∵OB= 共交点. (3)∵☉C 与斜边AB 没有公共交点,∴r
OP,∴△OBP 为等腰直角三角形,∴∠BOP=90°. 4.即
新题看台 当r<2.4或r>4时,☉C 与斜边AB 没有公共
(1)证明:∵AB 为直径,∴∠ADB=90°.又∵ 交点.
CD 平分∠ACB,即∠ACD=∠BCD,∴AD=BD, 12.∵l与☉O 相切,∴d=R,即方程有两个相
180-90° 等的实数根,Δ=16-4m=0,m=4.
∴∠ABD=∠BAD= 2 =45°.
(2)解: 新题看台
2 过B 点作BH⊥
∵Rt△ABD 中,AD=BD,∴AD=BD=2AB= AD,在 Rt△ABH 中
根据勾股定理可求得
52(cm),
1 1
则S△ABD=2AD
·BD=2×52×5 BH=40,即 d=40.
2=25(cm2).在Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2 ∵r=50时,☉B 与拖拉机经过的路线相交,我校受噪
音影响,在AD 上取两点E,F,使BF=BE=50,在
= 102-62=8(cm),
1 1
则S△ABC= AC·2 BC=2 Rt△BEH中根据勾股定理可求得EH=30,即EF=
×6×8=24(cm2).∴S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC= 60,影响时间为60÷500=01.2(分钟).
25+24=49(cm2). 第5节 直线与圆的位置关系(2)
第5节 直线与圆的位置关系(1) 问题导学
问题导学 一、知识回顾
1.略 2.(1)2个 (2)1个 (3)0个 3.(1) 1.(1)相离 (2)相切 (3)相交 > = <
dr 2.d=r 直线与圆只有一个交点 3.略
课堂作业 二、探究学习
1.C 2.A 3.相交 4.4或8 5.(1)相离 1.(1)切线的定义 (2)OA 是半径,OA⊥l
(2)相切 (3)相交 理由略 6.作 AH⊥BC,设 (3)l⊥OA 2.略
课堂作业
AH=x,则BH=x,CH= 3x,BC=x+ 3x=
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
1000,求得x=500(3-1),即d=AH=500(3- 2.6 3.45° 4.55°
1),r=300,∵d>r,∴直线与圆相离,公路不会穿 5.解:(1)直线 DE
过森林公园. 与☉O 相切,理由如下:
课后作业 如图,连接OD.∵OD=
1.相交 2.0311.解:如图,过点C 作AB 的垂线CD,垂足为 分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB.∵∠C=90°,∴
D.(1)∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB= ∠A+ ∠B=90°,∴ ∠ODA + ∠EDB=90°,∴
·10·数学 九年级上册
第4节 圆周角(3)
3.延长AD,画出四边形ABCD 的外角∠CDE,
探索∠CDE 和∠B 的数量关系,你有什么发现
本节课让学生了解圆内接四边形的概念,掌握
圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的概念及其性质定理;让学生经历
1. ;
“圆内接四边形的性质定理”的探索过程,培养学生
2. .
的动手操作、自主探索和合作交流的能力.
1.在圆内接四边形ABCD 中,若∠A∶∠B∶
实践探索一:圆内接四边形的概念
∠C=2∶3∶6,则∠D 等于 ( )
1.过三角形的三个顶点画的这个圆叫什么 A.67.5° B.135°
这个三角形又称为什么
C.112.5° D.45°
2.类比上面的概念,过四边形的四个顶点画的 2.如图,A、B、C、D 是☉O 上的四个点,∠C=
这个圆叫什么 这个四边形又称为什么
100°,则∠BOD= .
3.一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这
个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的
外接圆.
第2题图 第3题图
3.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD,
若∠CAD=76°,则∠CBD= 度.
如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, 4.如图,在☉O 的内接四边
☉O 是四边形ABCD 的外接圆. 形 ABCD 中,AB=AD,∠C=
实践探索二:圆内接四边形的性质 110°.若点 E 在A︵D 上,求∠E 的
1.已知四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,当 度数.
BD 是 直 径 时,你 能 发 现∠A 与∠C、∠ABC 与
∠ADC 有怎样的数量关系 为什么
1.如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,E 是
第1题图
BC 延长线上一点.若∠BAD=105°,则∠DCE 的大
第2题图
小是 .
2.已知四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,当
BD 不是直径时,你上面发现的∠A 与∠C、∠ABC
与∠ADC 的数量关系是否依然成立 为什么
第1题图 第2题图
3 7
课时培优作业
2.已知:图中四边形ABCD 为☉O 的内接四边 内对角;
形,E 为AB 延长线上一点,且∠AOC=110°,则 ②圆内接四边形对角相等;
∠D= ,∠CBE= . ③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补;
3.圆内接四边形ABCD 中,∠A∶∠B∶∠C∶ ④在圆内部的四边形叫圆内接四边形.
∠D=2∶4∶7∶m,则m= ,∠D= . A.1个 B.2个
4.如图,☉C 过原点,且与两坐标轴分别交于 C.3个 D.4个
点A、B,点A 的坐标为(0,3),M 是第三象限内O︵B 9.圆的内接平行四边形是矩形吗 为什么
上一点,∠BMO=120°,则☉C 的半径为 .
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=30°,
以AB 为直径的☉O 交BC 于点D,交AC 于点E.
连接DE,过点B 作BP 平行于DE,交☉O 于点P,
连接OP.
5.如图,如果圆内接四边形ABCD 两组对边的 (1)求证:BD=CD;
延长线分别相交于点E、F,且∠E=40°,∠F=60°, (2)求∠BOP 的度数.
那么∠A= .
6.如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,AB
是圆的直径.若∠BAC=20°,∠ADC 等于 ( )
如图,已知☉O 中,AB 为直径,AB=10cm,弦
A.110° B.100° AC=6cm,∠ACB 的平分线交☉O 于点D.
C.120° D.90° (1)求证:∠ABD=∠BAD=45°;
7.如图,A,B,C,D 四点在☉O 上,四边形 (2)求四边形ADBC 的面积S四边形ADBC.
ABCD 的外角∠DCE=70°,∠BOD 等于 ( )
A.35° B.70°
C.110° D.140°
8.下列关于圆内接四边形叙述正确的有
( )
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的
3 8
