为60°,BO=CO,∴△BOC 为等边三角形,∴BC= =∠BDE,∴∠EBA=∠EDC,∴∠EBA=∠C,
BO=CO.∵AO=BO,∴AO=BO=AC=BC,∴ ∴AB=AC. (2)解:∵AB 为直径,∴BD⊥AC,
四边形AOBC 是菱形. 设CD=a.由(1)知AC=AB=4,则AD=4-a.在
新题看台 Rt△ABD 中,由勾股定理可得BD2=AB2-AD2
(1)证明:在正方 形 ABCD 中,AB=AD.∵ =42-(4-a)2.在 Rt△CBD 中,由勾股定理可得
∠ABE 和∠ADF 都 是A︵E 所 对 应 的 圆 周 角,∴ BD2=BC2-CD2=(23)2-a2.∴42-(4-a)2=
∠ABE = ∠ADF.在 △ADF 和 △ABE 中,
( 3 3
AB=AD 23
)2-a2,整理得a= ,即2 CD={ 2
.
∠ABE=∠ADF,∴△ADF≌△ABE(SAS). 新题看台
BE=DF 1.连接AD,可证△AOD 为等腰直角三角形,
(2)解:理由如下:由(1)有△ADF≌△ABE,∴AF A(2,0),C(1,1).
=AE,∠DAF = ∠BAE.在 正 方 形 ABCD 中, 2.(1)证明:连接EP、FP.∵四边形ABCD 为正
∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAF=90°,∴∠BAF 方形,∴∠BAD=90°,∠BPA=90°,∴∠FPE=90°,∴
+∠BAE=90°,∴∠EAF=90°,∴△EAF 是等腰 ∠BPF=∠APE.又∵∠FBP=∠PAE=45°,AP=
直角三角形,∴EF2=AE2+AF2=2AE2,∴EF= PB,∴△BPF≌△APE(ASA),∴BF=AE,而AB=
2AE,即DE-DF= 2AE,∴DE-BE= 2AE. AD,∴DE=AF. (2)解:连接EF.∵∠BAD=90°,∴
第4节 圆周角(2) 3EF 为☉O 的直径,而☉O 的半径为 ,2 EF= 3,∴
问题导学
问题1:∠BAC=90° 问题2:BC 过圆心O, AF
2+AE2=EF2=(3)2=3.∴DE=AF,DE2+AE2
理由略. =3①.又∵AD=AE+DE=AB,∴AE+DE=2+1
课堂作业 ②.由①②联立方程组,解得AE=1,DE=2或AE=
1.29° 2.D 3.62° 4.22
2,
AE 2 AE
() DE=1.∴ =
或 =2.
5.1 ∠ACB=∠BAD.理由:∵BC 为直径, DE 2 DE
∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAC=90°,又∵ 第4节 圆周角(3)
∠CAD+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BAD. (2) 问题导学
△FAB 为 等 腰 三 角 形.理 由:∵A︵E =A︵B,∴ 实践 探 索 二:1.∠A+∠C=180°,∠ABC+
∠ABE= ∠ACB,由(1)得 ∠ACB= ∠BAD.即 ∠ADC=180° 2.上面的结论依然成立. 3.∠CDE
∠ABE=∠BAD.∴AF=BF,即△FAB 为等腰 =∠B 圆内接四边形性质定理1.圆的内接四边形对
三角形. 角互补 2.圆的内接四边形的外角等于这个角的内
课后作业 对角
1.60° 90° 30° 2.28° 3.8 4.6 5.连接 课堂作业
OE,BC.∵AO 为直径,∴∠AEO=90°.根据垂径定 1.C 2.160° 3.38
1
理,AE=2AC=5. 6.
根据AB=8,BC=6,AC 4.连 接 BD,∵四 边 形 ABCD 内 接 于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°,可 得∠BAD=70°,又∵
=10,可得△ABC 为直角三角形,即 AC 为直径,
AB=AD,∴∠ABD=55°,∵四边形 ABDE 内接
∠D=90°,由勾股定理可求 AD=2 21. 7.证 于☉O,∴∠ABD+∠E=180°,可得∠E=125°.
明:连接OD,可得OD⊥AB.在☉O 中,根据垂径定 课后作业
理得AD=DB,即点D 是AB 的中点. 1.105° 2.55° 55° 3.5 100° 4.3
8.(1)证明:如图,连接AE、 5.40° 6.A 7.D 8.B 9.圆的内接平行四边
BD.∵ED =EC,∴ ∠EDC = 形是矩形.理由:∵圆的内接四边形对角互补,平行
∠C.∵ ∠BAE + ∠EBA = 四边形对角相等,∴对角都是90°,一个角是直角的
∠BDE+∠EDC=90°,∠BAE 平行四边形是矩形.
·9·数学 九年级上册
第4节 圆周角(2)
2.如 图,AB 是 ☉O 的 直 径,∠C=30°,则
∠ABD 的度数是 ( )
本节课让学生进一步巩固圆周角的概念、圆周
角定理,并能运用定理解决有关问题;还要掌握半
圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对
的弦是直径;同学们要学会用联系的观点思考问
题、转化问题.
A.30° B.40°
问题1:BC 是☉O 的直径,A 是☉O 上异于 C.50° D.60°
B、C 的任一点,你能确定∠BAC 的度数吗 3.如图,AB 是☉O 的直径,C、D 是☉O 上的
两点.若∠BCD=28°,则∠ABD= .
4.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,直径AD=
4,∠ABC=∠DAC,则AC 的长为 .
问题2:圆周角∠BAC=90°,弦BC 经过圆心O
吗 为什么
5.已知:BC 是☉O 的直径,A 是☉O 上一点,
AD⊥BC,垂足为D,A︵E=A︵B,BE 交AD 于点F.
(1)∠ACB 与∠BAD 相等吗 为什么
(2)判断△FAB 的形状,并说明理由.
结论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°
的圆周角所对的弦是直径.简称:直径对直角,直角
对直径.
1.如图,AB 是半圆O 的直径,∠BAC=32°,D
为A︵C的中点,∠DAC= .
3 5
课时培优作业
7.如图,OA 是☉O 的半径,以 OA 为直径的
☉C 与☉O 的弦AB 相交于点D.
1.如图,△ABC 内接于☉O,且A︵B∶B︵C∶A︵C 求证:点D 是AB 的中点.
=1∶2∶3,则∠A= ,∠B= ,
∠C= .
8.已知△ABC,以 AB 为直径的☉O 分别交
AC 于点D,交BC 于点E,连接ED,若ED=EC.第1题图 第2题图
() :
, , , , , 1 求证 AB=AC
;
2.如图 点 A B C D 在☉O 上 OB⊥AC.若
∠BOC=56°,则∠ADB= . (2)若AB=4,BC=23,求CD 的长.
3.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,以AB 为
直径的☉O 与BC 交于点D,与AC 交于点E,连接
OD 交 BE 于 点 M,且 MD =2,则 BE 的 长
为 .
第3题图 1.如图,☉C 经过坐标原点O,并与两坐标轴分第4题图
4.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 别交于A,D 两点.已知∠OBA=45°,点D 的坐标
0)、B(1-a,0)、C(1+a,0)(a>0),点 P 在以 为(0,2),求点A 的坐标及圆心C 的坐标.
D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足
∠BPC=90°,则a 的最大值是 .
5.如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,
以OA 为直径的☉D 与AC 相交于点E,AC=10,
求AE 的长.
2.如图,四边形ABCD 为正方形,☉O 过正方
形的顶点A 和对角线的交点P,分别交AB、AD 于
点F、E.
(1)求证:DE=AF;
() 32 若☉O 的半径为 ,AB= 2+1,
AE
求
6.如图,点A,B,C,D 在圆上,AB=8,BC= 2 DE
, 的值6AC=10,CD=4,求AD 的长. .
3 6
