∠BOD=(180°-58°)÷2=61°,∴∠AOD=61°+ 通过桥洞时的最大高度h为4m.
58°=119°. 新题看台
第2节 圆的对称性(2) A
问题导学 第3节 确定圆的条件
1.略 2.连 接 OA,OB,可 证 得△AOE ≌ 问题导学
△BOE,则 ∠AOE = ∠BOE,AE=BE,A︵D = 略
B︵D,A︵C=B︵C. 课堂作业
课堂作业 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
1.10 2.8 3.5 4.5 5.作OP⊥AB 于 2.无数 整个平面(除A 点) 无数 线段AB 的
P,连接OA,在Rt△AOP 中由勾股定理可得OA= 中垂线上 1 三边中垂线的交点 3.6或6.5
5,即半径为5. 4.D 5.D 6.2
6.(1)证明:如图,作OE⊥AB,则 AE=BE, 课后作业
CE=DE,∴BE-DE=AE- 1.外接 内接 2.5m+2n≠9 3.A 4.D
CE,即 AC=BD. (2)解:如 5.A 6.D 7.略 8.(1)略 (2)连接OA,设半
图,连接OC,OA,∵OE⊥AB 径为R,在 Rt△AOD 中,根据勾股定理可得方程
且OE⊥CD,∴OE=4,CE= 122+(R-8)2=R2,解得R=13cm.
DE, ∴ DE = CE = 新题看台
OC2-OE2= 62-42 = 2 5,AE = 1.设直线y=kx+b过A(2,3),B(-3,-7);
可得解析式 =2x-1,又∵ =2x-1不经过点
OA2-OE2= 82-42=43,∴AC=AE-CE y y
C(5,11),∴A,B,C 三点不在同一条直线上,三点
=43-25.
2
7.作CP⊥AB 于P,在 Rt△ABC 中,根据勾 可以构成三角形,三点可以确定一个圆. 2.(1)2
股定理可得AB=9,根据面积法可求CP=22,在 3 2
Rt△ACP 中,根据勾股定理可得AP=1,由垂径定 (2) ()3 3 2 1
理可得AD=2. 第4节 圆周角(1)
课后作业
问题导学
1.A 2.C 3.B 4.①②③④⑤⑥ 5.2
略
6.5cm 7.10cm或40cm 8.103cm 9.253 课堂作业
mm 60 10.50 11.83 47 12.∵CA⊥AB, 1.∠A,∠B,∠D 2.60° 3.∠ABD=75°,
OD⊥AB,OE⊥AC,∴四边形ADOE 是矩形.∵CA ∠AED=40°. 4.∵A︵C=A︵C,∴∠ABC=∠ADC
=AB,OD⊥AB,OE⊥AC,∴OE=OD,即四边形 =60°,同 理 ∠BAC= ∠BDC=60°,∴∠ABC=
ADOE 是正方形. 13.解:(1)∵OE⊥弦CD 于点F, ∠BAC=60°,∴△ABC 为等边三角形.
CD 为8m,EF 为2m,∴EO 垂直平分CD,DF= 课后作业
4m,FO=(DO-2)m.在Rt△DFO 中,DO2=FO2+ 1.C 2.40° 3.30° 4.6 5.B 6.C
DF2,即DO2=(DO-2)2+42,解得DO=5.答:C︵D所
7.∵B︵C=B︵D,∴∠BOD=2∠A=50°. 8.连接
在☉O 的半径 DO 为
BE.∵B︵C=B︵C,∴∠BEC=∠BAC.又∵∠BEC
5m. (2)如图,假设
为△BDE 的外角,∴∠BEC>∠BDC,即∠BAC
矩 形 的 船 为 矩 形
>∠BDC.
MQRN,船 沿 中 点 O
9.(1)解:点 A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥
为中心通过,连接MO.
AB,∴A︵C=B︵C.∵ ∠ADC=30°,∴ ∠AOC =
∵MN=6m,∴MY=YN=3m.在Rt△MOY 中,MO2
∠BOC=2∠ADC=60°,∴∠BOC 的度数为60°.
=YO2+MY2,即52=YO2+32,解得YO=4.答:船能 (2)证明:∵A︵C=B︵C,∴AC=BC.∵∠BOC 的度数
·8·
为60°,BO=CO,∴△BOC 为等边三角形,∴BC= =∠BDE,∴∠EBA=∠EDC,∴∠EBA=∠C,
BO=CO.∵AO=BO,∴AO=BO=AC=BC,∴ ∴AB=AC. (2)解:∵AB 为直径,∴BD⊥AC,
四边形AOBC 是菱形. 设CD=a.由(1)知AC=AB=4,则AD=4-a.在
新题看台 Rt△ABD 中,由勾股定理可得BD2=AB2-AD2
(1)证明:在正方 形 ABCD 中,AB=AD.∵ =42-(4-a)2.在 Rt△CBD 中,由勾股定理可得
∠ABE 和∠ADF 都 是A︵E 所 对 应 的 圆 周 角,∴ BD2=BC2-CD2=(23)2-a2.∴42-(4-a)2=
∠ABE = ∠ADF.在 △ADF 和 △ABE 中,
( 3 3
AB=AD 23
)2-a2,整理得a= ,即2 CD={ 2
.
∠ABE=∠ADF,∴△ADF≌△ABE(SAS). 新题看台
BE=DF 1.连接AD,可证△AOD 为等腰直角三角形,
(2)解:理由如下:由(1)有△ADF≌△ABE,∴AF A(2,0),C(1,1).
=AE,∠DAF = ∠BAE.在 正 方 形 ABCD 中, 2.(1)证明:连接EP、FP.∵四边形ABCD 为正
∠BAD=90°,∴∠BAF+∠DAF=90°,∴∠BAF 方形,∴∠BAD=90°,∠BPA=90°,∴∠FPE=90°,∴
+∠BAE=90°,∴∠EAF=90°,∴△EAF 是等腰 ∠BPF=∠APE.又∵∠FBP=∠PAE=45°,AP=
直角三角形,∴EF2=AE2+AF2=2AE2,∴EF= PB,∴△BPF≌△APE(ASA),∴BF=AE,而AB=
2AE,即DE-DF= 2AE,∴DE-BE= 2AE. AD,∴DE=AF. (2)解:连接EF.∵∠BAD=90°,∴
第4节 圆周角(2) 3EF 为☉O 的直径,而☉O 的半径为 ,2 EF= 3,∴
问题导学
问题1:∠BAC=90° 问题2:BC 过圆心O, AF
2+AE2=EF2=(3)2=3.∴DE=AF,DE2+AE2
理由略. =3①.又∵AD=AE+DE=AB,∴AE+DE=2+1
课堂作业 ②.由①②联立方程组,解得AE=1,DE=2或AE=
1.29° 2.D 3.62° 4.22
2,
AE 2 AE
() DE=1.∴ =
或 =2.
5.1 ∠ACB=∠BAD.理由:∵BC 为直径, DE 2 DE
∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAC=90°,又∵ 第4节 圆周角(3)
∠CAD+∠ACB=90°,∴∠ACB=∠BAD. (2) 问题导学
△FAB 为 等 腰 三 角 形.理 由:∵A︵E =A︵B,∴ 实践 探 索 二:1.∠A+∠C=180°,∠ABC+
∠ABE= ∠ACB,由(1)得 ∠ACB= ∠BAD.即 ∠ADC=180° 2.上面的结论依然成立. 3.∠CDE
∠ABE=∠BAD.∴AF=BF,即△FAB 为等腰 =∠B 圆内接四边形性质定理1.圆的内接四边形对
三角形. 角互补 2.圆的内接四边形的外角等于这个角的内
课后作业 对角
1.60° 90° 30° 2.28° 3.8 4.6 5.连接 课堂作业
OE,BC.∵AO 为直径,∴∠AEO=90°.根据垂径定 1.C 2.160° 3.38
1
理,AE=2AC=5. 6.
根据AB=8,BC=6,AC 4.连 接 BD,∵四 边 形 ABCD 内 接 于☉O,
∴∠BAD+∠C=180°,可 得∠BAD=70°,又∵
=10,可得△ABC 为直角三角形,即 AC 为直径,
AB=AD,∴∠ABD=55°,∵四边形 ABDE 内接
∠D=90°,由勾股定理可求 AD=2 21. 7.证 于☉O,∴∠ABD+∠E=180°,可得∠E=125°.
明:连接OD,可得OD⊥AB.在☉O 中,根据垂径定 课后作业
理得AD=DB,即点D 是AB 的中点. 1.105° 2.55° 55° 3.5 100° 4.3
8.(1)证明:如图,连接AE、 5.40° 6.A 7.D 8.B 9.圆的内接平行四边
BD.∵ED =EC,∴ ∠EDC = 形是矩形.理由:∵圆的内接四边形对角互补,平行
∠C.∵ ∠BAE + ∠EBA = 四边形对角相等,∴对角都是90°,一个角是直角的
∠BDE+∠EDC=90°,∠BAE 平行四边形是矩形.
·9·数学 九年级上册
第4节 圆周角(1)
本节课让学生经历圆周角与圆心角关系的探 1.如图,其中所画出的圆周角有 .
索过程,培养学生的动手操作、自主探索和合作交
流的能力;学会能用圆周角与圆心角的关系进行简
单的说理,培养学生合情推理的意识,掌握说理的
基本方法,从而提高数学素养.
足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈,进
, , 、 2.如图,行无人防守的射门训练 如图 甲 乙两名运动员分 ∠AOB=120°,则∠APB= .
别在C,D 两地,他们争论不休,都说自己所在位置
对球门AB 的张角大.如果你是教练,请评一评他们
两个人,谁的位置对球门AB 的张角大.
3.如图,☉O 的弦AB,DC 的延长线相交于点
E,∠AOD=150°,B︵C为70°.求∠ABD,∠AED.
实践探索一:圆周角的概念
问题:上面的角有什么特征 如果请你命名,
你叫它什么
圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角.
, , , , ,
实践探索二:圆周角的性质 4.如图 点 A B C D 在☉O 上 ∠ADC=
1.操作猜想: ∠BDC=60°.判断△ABC 的形状
,并说明理由.
画弧AB 所对的圆心角∠AOB,然后再画同弧
AB 所对的圆周角∠ACB.你发现了什么
2.验证猜想:
请同学们验证自己的猜想:
定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
度数的一半,也可以说是等于它所对弧的度数的一
半.同弧或等弧所对的圆周角相等.
3 3
课时培优作业
8.如图,点 A,B,C 在☉O 上,点 D 在圆外,
CD,BD 分 别 交☉O 于 点E,F,比 较∠BAC 与
1.如 图,AB,AC ∠BDC 的大小,并说明理由.
是☉O 的弦,延长CA
到点D,使 AD=AB.
若∠D=20°,则∠BOC
等于 ( )
A.20° B.40°
C.80° D.120°
2.一个圆心角为80°,则它所对的弧所对的圆
周角为 .
3.如图,在☉O 中,AB 是弦,C 是A︵B上一点.
若∠OAB=25°,∠OCA=40°,则∠BOC 的大小为
. 9.如图,点A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥AB,
∠ADC=30°.
(1)求∠BOC 的度数;
(2)求证:四边形AOBC 是菱形.
第3题图 第4题图
4.如图,在☉O 中,弦AC=23,点B 是圆上
一点,且∠ABC=45°,则☉O 的半径r= .
5.如图,点A、B、C 是☉O 上的三点,且四边形
ABCO 是平行四边形,OF⊥OC 交☉O 于点F,则
∠BAF 等于 ( )
A.12.5° B.15°
C.20° D.22.5°
正方形 ABCD 的四个顶点都在☉O 上,E 是
☉O 上的一点.第5题图 第6题图 ︵
6.如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上.若 (1)如图,若点E 在AB上,F 是DE 上的一点,
∠C=16°,则∠BOC 的度数是 ( ) DF=BE.求证:△ADF≌△ABE;
A.74° B.48° (2)在(1)的条件下,小明还发现线段DE、BE、
C.32° D.16° AE 之间满足等量关系:DE ーBE= 2AE.请你说
7.如图,已知 AB 是☉O 的直径,B︵C=B︵D, 明理由.
∠A=25°,求∠BOD 的度数.
3 4
