数学 九年级上册
第2节 圆的对称性(2)
2.如图,点P 是半径为5的☉O 内的一点,且
OP=3.设AB 是过点P 的☉O 内的弦,且 AB⊥
本节课要求学生能熟练地运用弦、弧、直径之 OP,则弦AB 的长是 .
间的特定关系解决有关问题,会运用垂径定理及其
3.☉O 的半径为3,一条弦长为4,圆心O 到弦
推论. 的距离为 .
4.如果☉O 中弦AB 与直径CD 垂直,垂足为E,
1.猜想:直径所在的直线就是圆的对称轴.那么 且AE=4,CE=2,那么 ☉O 的半径等于 .
看图,CD 是☉O 的直径,而AB 是垂直CD 的弦. 5.如图,在☉O 中,若弦AB 的长为8cm,圆心
(1)图中,你猜想一下会有哪些等量关系. O 到AB 的距离为3cm,求☉O 的半径.
(2)用语言来叙述这些等量关系.
2.已知:在☉O 中,CD 是直
径,AB 是弦,CD⊥AB,垂足为E.
求证:AE=BE,A︵D =B︵D,A︵C
=B︵C. 第1、2题图 6.已知:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,
大圆的弦AB 交小圆于C,D 两点.
(1)求证:AC=BD.
3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并 (2)若大圆的半径r=8,小圆的半径r=6且圆
且平分弦所对的两条弧.
心 到直线 的距离为 ,求 的长
4.分析定理,得出推论. O AB 4 AC .
可以把它分成5个部分:①垂直于弦;②过圆
心;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对
的优弧.若一条直线满足①②,则可以推出③④⑤.
若我们把这5个条件的位置换一下,就是说:
若把②,③作为题设能不能得出①,④,⑤
若把①,③作为题设能不能得出②,④,⑤
若把②,④作为题设能不能得出①,③,⑤
若把②,⑤作为题设能不能得出①,③,④ 7.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,
总结:①,②,③,④,⑤五个中,知 二 而 可 推
其三. BC=62,以C 为圆心、CA 长为半径画弧,交斜边
AB 于D,求AD 的长.
1.如图,AB 是☉O 的直径,CD 为弦,CD⊥
AB 于 点 E.若 CD =6,BE=1,则☉O 的 直 径
为 .
1.如图,☉O 的半径为13,弦AB 的长度是24,
第1题图 第2题图 ON⊥AB,垂足为N,则ON= ( )
2 9
课时培优作业
A.5 B.7 C.9 D.11 11.如图,CD 是☉O 的直径,弦 AB⊥CD 于
E,CD=14,CE=8,则AB= ,BC=
.
12.已知:如图,在☉O 中,AB,AC 是两条互相
垂直且相等的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为
D,E.
第1题图 第2题图 求证:四边形ADOE 是正方形.
2.如图,在☉O 上作一条弦AB,再作一条与弦
AB 垂直的直径CD,CD 与AB 交于点E,则下列结
论中不一定正确的是 ( )
A.AE=BE B.A︵C=B︵C
C.CE=EO D.A︵D=B︵D
3.过☉O 内一点M 的最长的弦长为6cm,最
短的弦长为4cm,则OM 的长为 ( )
A.3cm B.5cm
C.2cm D.3cm ︵
4.下列语句不正确的是 . 13.如图为桥洞的形状,其正视图是由CD和矩
①平分弦的直径,平分这条弦所对的弧. 形ABCD 构成的.点O 为C
︵D所在圆的圆心,点O 又
②平分弦的直线,必定过圆心. 恰好在水面AB 处.若桥洞跨度CD 为8m,拱高
③一条直线平分弦(这条弦不是直径),那么这 (OE⊥弦CD 于点F)EF 为2m.
条直线垂直这条弦. (1)求C︵D所在☉O 的半径DO;
④弦的垂直平分线一定是圆的直径. (2)若河里行驶来一艘正视图为矩形的船,其
⑤平分弧的直线,平分这条弧所对的弦. 宽为6m,露出水面AB 的高度为hm,求船能通过
⑥弦垂直于直径,这条直径就被弦平分. 桥洞时的最大高度h.
5.已知AB,CD 是☉O 中互相垂直的弦,并且
AB 把CD 分成3cm 和7cm 的两部分,则弦AB
到圆心的距离为 cm.
6.已知☉O 中,弦AB=8cm,圆心到AB 的距
离为3cm,则此圆的半径为 .
7.在半径为25cm的☉O 中,弦AB=40cm,
则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 .
8.☉O 的直径AB=20cm,∠BAC=30°,则弦
AC= .
9.已知☉O 的半径为50mm,弦AB=50mm,
则点 O 到 AB 的 距 离 为 ,∠AOB =
度.
10.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出 如图,☉O 的直径为10,弦AB 长为8,M 是弦
盒外,其截面如图所示.已知EF=CD=80cm,则 AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是 ( )
截面圆的半径为 cm.
A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5
C.33 0∠BOD=(180°-58°)÷2=61°,∴∠AOD=61°+ 通过桥洞时的最大高度h为4m.
58°=119°. 新题看台
第2节 圆的对称性(2) A
问题导学 第3节 确定圆的条件
1.略 2.连 接 OA,OB,可 证 得△AOE ≌ 问题导学
△BOE,则 ∠AOE = ∠BOE,AE=BE,A︵D = 略
B︵D,A︵C=B︵C. 课堂作业
课堂作业 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
1.10 2.8 3.5 4.5 5.作OP⊥AB 于 2.无数 整个平面(除A 点) 无数 线段AB 的
P,连接OA,在Rt△AOP 中由勾股定理可得OA= 中垂线上 1 三边中垂线的交点 3.6或6.5
5,即半径为5. 4.D 5.D 6.2
6.(1)证明:如图,作OE⊥AB,则 AE=BE, 课后作业
CE=DE,∴BE-DE=AE- 1.外接 内接 2.5m+2n≠9 3.A 4.D
CE,即 AC=BD. (2)解:如 5.A 6.D 7.略 8.(1)略 (2)连接OA,设半
图,连接OC,OA,∵OE⊥AB 径为R,在 Rt△AOD 中,根据勾股定理可得方程
且OE⊥CD,∴OE=4,CE= 122+(R-8)2=R2,解得R=13cm.
DE, ∴ DE = CE = 新题看台
OC2-OE2= 62-42 = 2 5,AE = 1.设直线y=kx+b过A(2,3),B(-3,-7);
可得解析式 =2x-1,又∵ =2x-1不经过点
OA2-OE2= 82-42=43,∴AC=AE-CE y y
C(5,11),∴A,B,C 三点不在同一条直线上,三点
=43-25.
2
7.作CP⊥AB 于P,在 Rt△ABC 中,根据勾 可以构成三角形,三点可以确定一个圆. 2.(1)2
股定理可得AB=9,根据面积法可求CP=22,在 3 2
Rt△ACP 中,根据勾股定理可得AP=1,由垂径定 (2) ()3 3 2 1
理可得AD=2. 第4节 圆周角(1)
课后作业
问题导学
1.A 2.C 3.B 4.①②③④⑤⑥ 5.2
略
6.5cm 7.10cm或40cm 8.103cm 9.253 课堂作业
mm 60 10.50 11.83 47 12.∵CA⊥AB, 1.∠A,∠B,∠D 2.60° 3.∠ABD=75°,
OD⊥AB,OE⊥AC,∴四边形ADOE 是矩形.∵CA ∠AED=40°. 4.∵A︵C=A︵C,∴∠ABC=∠ADC
=AB,OD⊥AB,OE⊥AC,∴OE=OD,即四边形 =60°,同 理 ∠BAC= ∠BDC=60°,∴∠ABC=
ADOE 是正方形. 13.解:(1)∵OE⊥弦CD 于点F, ∠BAC=60°,∴△ABC 为等边三角形.
CD 为8m,EF 为2m,∴EO 垂直平分CD,DF= 课后作业
4m,FO=(DO-2)m.在Rt△DFO 中,DO2=FO2+ 1.C 2.40° 3.30° 4.6 5.B 6.C
DF2,即DO2=(DO-2)2+42,解得DO=5.答:C︵D所
7.∵B︵C=B︵D,∴∠BOD=2∠A=50°. 8.连接
在☉O 的半径 DO 为
BE.∵B︵C=B︵C,∴∠BEC=∠BAC.又∵∠BEC
5m. (2)如图,假设
为△BDE 的外角,∴∠BEC>∠BDC,即∠BAC
矩 形 的 船 为 矩 形
>∠BDC.
MQRN,船 沿 中 点 O
9.(1)解:点 A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥
为中心通过,连接MO.
AB,∴A︵C=B︵C.∵ ∠ADC=30°,∴ ∠AOC =
∵MN=6m,∴MY=YN=3m.在Rt△MOY 中,MO2
∠BOC=2∠ADC=60°,∴∠BOC 的度数为60°.
=YO2+MY2,即52=YO2+32,解得YO=4.答:船能 (2)证明:∵A︵C=B︵C,∴AC=BC.∵∠BOC 的度数
·8·
