数学 九年级上册
第2节 圆的对称性(1)
D.A︵B所对的圆心角与C︵D所对的圆心角相等
4.在☉O 中,圆心角∠AOB=90°,点O 到AB
本节课学习的重点知识是理解圆的中心对称 的距离为4,则☉O 的直径长为 ( )
性及有关性质,会运用圆心角、弧、弦之间的关系解
A.42 B.82
决有关问题.
C.24 D.16
5.如图,在☉O 中,AC=BD,∠AOB=50°,求
按照书上44-45页的实践操作. ∠COD 的度数.
(1)在上述操作过程中,你有什么发现
(2)在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间有什
么关系
定理:在同圆或等圆中
推论:在同圆或等圆中,如果 中
有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
圆心角定理:圆心角的度数与 相等.
(与半径无关)
6.如图,已知A、B、C、D 在☉O 上,AB=CD.
求证:∠AOC=∠DOB.
1.如图,已知☉O 的半径OA=5cm,弦CD=5
cm,则弦CD 所对圆心角为 .
2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=28°,以
C 为圆心,CA 为半径的圆交AB 于点D,交BC 于
︵ 7.已知:如图,AB 是☉O 的直径,点 , 在点E,
C D
则AD的度数为 .
☉O 上,CE⊥AB 于E,DF⊥AB 于F,且 AE=
BF,弧AC 与弧BD 相等吗 为什么
3.若A︵B和C︵D的度数相等,则下列命题中正确
的是 ( )
A.A︵B=C︵D
B.A︵B与C︵D的长度相等
C.A︵B所对的弦和C︵D所对的弦相等
2 7
课时培优作业
6.如图所示,AB,CD 是☉O 的直径,DE,BF
是弦,且DE=BF,求证:A︵E=C︵F.
1.如图,AB 是半圆的直径,C、D 是半圆上两
个点,A︵D=C︵D.若∠C=32°,则∠ADC= .
2.如图,AB 是直径,B︵C=C︵D=D︵E,∠BOC=
40°,∠AOE 的度数是 .
3.如图,AB,CD 是☉O 的直径,∠AOC=30°,
OE⊥AB,OF⊥CD,则E︵B= ,D︵E=
.
1.在☉O 中,AB,CD 是两条相等的弦,则下列
说法中错误的是 ( )
A.AB,CD 所对的弧相等
4.如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,连 B.AB,CD 所对的圆心角相等
接OC,BC.若∠OCB=30°,则∠AOC 的度数是 C.△AOB 和△COD 能完全重合
( ) D.点O 到AB,CD 的距离相等
2.如图,已知AB 是☉O 的直径,弦AC∥OD.
(1)求证:B︵D=C︵D;
(2)若A︵C的度数为58°,求∠AOD 的度数.
A.30° B.60°
C.90° D.不能确定
5.在☉O 中,若A︵B=2C︵D,试比较 AB 和
2CD 的大小关系.
2 8圆上,理由:根据矩形对角线相等且互相平分的性 ∠CBO=∠BAO=∠BCO,∴∠AOB=∠BOC.∵
质. (2)点E,F,G,H 在同一个圆上,理由:根据 OB=OB,AO=OC,∴△OAB≌△OCB(SAS),∴
矩形对角线相等且互相平分的性质和线段中点的 AB=BC.
定义. 2.解:如图,以 BC 为直 新题看台
径作圆O,连接 AO 交圆于两点 1.PO∶AO=1∶ 3
P1、P2,则AP1 最小,AP2 最大. 2.解:甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长,
1
OC=2BC=1
,AC=2,OP1= 1即 ( 1
2πAA1+A1A2+A2A3+A3B
)=2π×AB
,
OP2=1,∴根根据勾股定理,得 AO= 22+12= 因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大
5.∴AP1= 5-1,AP2=1+ 5.故线段AP 的最 半圆的弧长相等,因此它们同时到达终点.
小值和最大值分别是-1+ 5和1+ 5. 第2节 圆的对称性(1)
第1节 圆(2) 问题导学
相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等
问题导学
(1)任意两点 (2)
两个圆心角、两条弦、两条弧 它所对的弧的度数
经过圆心的 (3)任意两点
间的 大于半圆 A︵CB 小于半圆 B︵C或A︵B 课堂作业
(4)顶点在圆心 (5)圆心 半径 1.60° 2.56° 3.D 4.B 5.∠COD=50°
课堂作业 6.证明:∵AB=CD,∴A
︵B=C︵D,∴∠AOB=
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ ∠COD
,∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC,即
(6)× 2.5 3.= 4.A 5.提示:连接OC,OD, ∠AOC=∠DOB.
:
证明△COE 与△DOF , OE OF, 7.解 弧 AC 与弧全等 可得 = 从而 BD 相等
;理由:连接 OC,
根据
得证. OD. △COE ≌ △DOF
,得∠COE =∠DOF,
弧 弧
6.解:(1)如图,连接 ∴ AC= BD.
OB AB OC,OB 课后作业.∵ = =
OC,∴ AB = BO,∴ 1.116° 2.60° 3.90° 120° 4.B
5.解:如图,取A︵AOB A B的中点 ,∠ = ∠ =20°. E
(2)∵ ∠EBO = ∠A + 1连接 AE、BE,则A︵E=B︵E= 2
∠AOB,∴∠EBO=2∠A.∵OB=OE,∴∠EBO
A︵B.∵A︵B=2C︵D,∴A︵E=B︵E=
=∠E,∴∠E=2∠A,∴∠EOD=∠A+∠E=
C︵D,∴AE=BE=CD,AE+BE
3∠A=60°.
=2CD.在△ABE 中,由三角形的三边关系,可知
课后作业
AE+BE>AB,即2CD>AB.
1.C 2.C 3.C
6.证 明:连 接 OE,OF,可 得 △DOE ≌
4.证明:∵OA = OB = OC = OD,∠AOB
△BOF,∴ ∠DOE = ∠BOF.又 ∵ ∠AOD =
=∠COD,∴△AOB ≌△COD,∴AB =CD.
∠BOC,∴∠AOE=∠FOC,A︵E=C︵F.
5.证明:∵OC⊥AB,∴∠FOC =∠EOB =
新题看台
90°,而半径OC =OB,且OF =OE,∴ △FOC ≌
1.A
△EOB,∴∠C = ∠B.∵ ∠CED = ∠BEO,
2.(1)证明:如图,连接OC.
∴ ∠CDE =∠EOB=90°,即BD⊥CF.
∵ OA = OC,∴ ∠OAC =
6.55° 7.20
∠ACO.∵AC∥OD,∴∠OAC
8.证明:如图,连接 OA、OC.
=∠BOD,∠COD=∠ACO,∴
∵OA=OB,OB=OC,∴∠ABO
∠BOD=∠COD,∴B︵D=C︵D.
= ∠BAO,∠CBO = ∠BCO.∵
︵ ︵ ︵ ︵ 1︵
BO 平 分 ∠ABC,∴ ∠ABO = (2)解:∵BD=CD,∴BD=CD= BC,2 ∴
·7·
∠BOD=(180°-58°)÷2=61°,∴∠AOD=61°+ 通过桥洞时的最大高度h为4m.
58°=119°. 新题看台
第2节 圆的对称性(2) A
问题导学 第3节 确定圆的条件
1.略 2.连 接 OA,OB,可 证 得△AOE ≌ 问题导学
△BOE,则 ∠AOE = ∠BOE,AE=BE,A︵D = 略
B︵D,A︵C=B︵C. 课堂作业
课堂作业 1.(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
1.10 2.8 3.5 4.5 5.作OP⊥AB 于 2.无数 整个平面(除A 点) 无数 线段AB 的
P,连接OA,在Rt△AOP 中由勾股定理可得OA= 中垂线上 1 三边中垂线的交点 3.6或6.5
5,即半径为5. 4.D 5.D 6.2
6.(1)证明:如图,作OE⊥AB,则 AE=BE, 课后作业
CE=DE,∴BE-DE=AE- 1.外接 内接 2.5m+2n≠9 3.A 4.D
CE,即 AC=BD. (2)解:如 5.A 6.D 7.略 8.(1)略 (2)连接OA,设半
图,连接OC,OA,∵OE⊥AB 径为R,在 Rt△AOD 中,根据勾股定理可得方程
且OE⊥CD,∴OE=4,CE= 122+(R-8)2=R2,解得R=13cm.
DE, ∴ DE = CE = 新题看台
OC2-OE2= 62-42 = 2 5,AE = 1.设直线y=kx+b过A(2,3),B(-3,-7);
可得解析式 =2x-1,又∵ =2x-1不经过点
OA2-OE2= 82-42=43,∴AC=AE-CE y y
C(5,11),∴A,B,C 三点不在同一条直线上,三点
=43-25.
2
7.作CP⊥AB 于P,在 Rt△ABC 中,根据勾 可以构成三角形,三点可以确定一个圆. 2.(1)2
股定理可得AB=9,根据面积法可求CP=22,在 3 2
Rt△ACP 中,根据勾股定理可得AP=1,由垂径定 (2) ()3 3 2 1
理可得AD=2. 第4节 圆周角(1)
课后作业
问题导学
1.A 2.C 3.B 4.①②③④⑤⑥ 5.2
略
6.5cm 7.10cm或40cm 8.103cm 9.253 课堂作业
mm 60 10.50 11.83 47 12.∵CA⊥AB, 1.∠A,∠B,∠D 2.60° 3.∠ABD=75°,
OD⊥AB,OE⊥AC,∴四边形ADOE 是矩形.∵CA ∠AED=40°. 4.∵A︵C=A︵C,∴∠ABC=∠ADC
=AB,OD⊥AB,OE⊥AC,∴OE=OD,即四边形 =60°,同 理 ∠BAC= ∠BDC=60°,∴∠ABC=
ADOE 是正方形. 13.解:(1)∵OE⊥弦CD 于点F, ∠BAC=60°,∴△ABC 为等边三角形.
CD 为8m,EF 为2m,∴EO 垂直平分CD,DF= 课后作业
4m,FO=(DO-2)m.在Rt△DFO 中,DO2=FO2+ 1.C 2.40° 3.30° 4.6 5.B 6.C
DF2,即DO2=(DO-2)2+42,解得DO=5.答:C︵D所
7.∵B︵C=B︵D,∴∠BOD=2∠A=50°. 8.连接
在☉O 的半径 DO 为
BE.∵B︵C=B︵C,∴∠BEC=∠BAC.又∵∠BEC
5m. (2)如图,假设
为△BDE 的外角,∴∠BEC>∠BDC,即∠BAC
矩 形 的 船 为 矩 形
>∠BDC.
MQRN,船 沿 中 点 O
9.(1)解:点 A、B、C、D 都在☉O 上,OC⊥
为中心通过,连接MO.
AB,∴A︵C=B︵C.∵ ∠ADC=30°,∴ ∠AOC =
∵MN=6m,∴MY=YN=3m.在Rt△MOY 中,MO2
∠BOC=2∠ADC=60°,∴∠BOC 的度数为60°.
=YO2+MY2,即52=YO2+32,解得YO=4.答:船能 (2)证明:∵A︵C=B︵C,∴AC=BC.∵∠BOC 的度数
·8·
