数学 九年级上册
第3节 一元二次方程的根与系数的关系
本节课学习的重点知识是一元二次方程的根 1.一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1、
与系数的关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0 x2,则下列结论正确的是 ( )
( b A.x =-1
,x =2
a≠0)的根是x1,x2,那么x
1 2
1+x2=- , ·a x1 x2 B.x1=1,x2=-2
c
= .需要注意的是:在运用根与系数关系解题时要 C.x1+x2=3a
D.x1x2=2
保证方程有根的前提,即b2-4ac≥0.
2.若x1、x2 是一元二次方程x2-2x-1=0的
两个根,则x21-x1+x2 的值为 ( )
1.填表: A.-1 B.0
x x x x x ·x C.2 D.3一元二次方程 1 2 1+ 2 1 2
3.若方程x2+x-1=0的两实根为α,β,那么
x2-2x+1=0
下列说法不正确的是 ( )
x2-x-6=0 A.α+β=-1
2x2+3x=0 B.αβ=-1
2 C.α26x -1=0 +β
2=3
3x2-2x=2 1 1D.α+ =-1β
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2 4.已知x 、x 21 2 是关于x 的方程x +ax-2b=
-4ac≥0时,方程有两个实数根,计算x1+x2 和 0的两个实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba
x1·x2. 的值是 ( )
1 1
A.4 B.-4
C.4 D.-1
5.若x=-1是关于x 的一元二次方程x2+
3x+m+1=0的一个解,则m 的值为 .
6.关于x 的一元二次方程x2+2x-2m+1=0
的两实数根之积为负数,则实数 m 的取值范围
是 .
7.已知,关于x 的方程x2-2mx=-m2+2x
的两个实数根x1,x2 满足|x1|=x2,求实数 m
的值.
3.概括总结:对于任何一个有根的一元二次方
程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和
等于方程一次项系数除以二次项系数所得的商的
相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得
的商.
1 5
课时培优作业
9.关于x 的方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两实数根,求m 的范围.
1.若关于x 的一元二次方程x2+bx+c=0的 (2)设方程两实根为x1,x2,且 x1-x2 =1,
两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则b+c的值是 求m 的值.
( )
A.-10 B.10
C.-6 D.-1
2.已知关于x 的方程ax2+bx+c=0的两根
分别为-3和1,则方程bx2+cx+a=0的两根为
( )
1 1
A.- 和1 B. 和3 2 1
1 1
C. 和3 -1 D.-
和
2 -1
3.已知 m,n 是方程x2-x-1=0的两实数
1.关于x 的一元二次方程x2+2(m-1)x+
, 1 1根 则 + 的值为 (m n
) m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x2+x1>0,
1 x2x1>0,则m 的取值范围是 ( )
A.-1 B.-2 1 1A.m≤2 B.m≤
且m≠0
1 2
C.2 D.1 C.m<1 D.m<1且m≠0
4.已知α,β 是关于x 的一元二次方程x2+ 2.关于x 的方程(k-1)x2+2kx+2=0.
(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满 (1)求证:无论k为何值,方程总有实数根;
1 1 (2)设, x
、x 是方程(k-1)x2+2kx+2=0的
足 + =-1 则m 的值是 ( ) 1 2α β x x
两个根,记 2 1 , 的值能为 吗
A.3或-1 B.3 S=x +x +x1+x2 S 21 2
C.1 D.-3或1 若能,求出此时k的值;若不能,请说明理由.
5.若α,β 是方程x2-2x-3=0的两个实数
根,则α2+β2= .
6.设x1、x2 是方程x2-4x+m=0的两个根,
且x1+x2-x1x2=1,则x1+x2= ,m=
.
7.若关于x 的方程x2+(k-2)x+k2=0的两
根互为倒数,则k= .
1
8.已知关于x 的方程x2-(k+1)x+4k
2+1
=0的两根是一个矩形两邻边的长,且矩形的对角
线长为 5,求k的值.
1 6(4)
9 1
x1=-3,x2=- 所以当2 x1 =x2
时,m=-2.
课后作业 课后作业
1.②③ 2.2 3.-6或2 4.B 5.D 1.A 2.B 3.A 4.B 5.10 6.4 3
() , () 1, 2 7.-16.1x1=7x2=14 2x1=2 x2=11 8.解:设此方程的两根分别是x1、x2,则x1+
(3)x1=-1,x2=-3 (4)x1=1,x2=-1 b , · c 1x =- =k+1x x = = k2 矩形新题看台 2 a 1 2 a 4 +1.∵
1.3或-3 2.(1)证明:∵m≠0,Δ=(m+2)2 的对角线长为 5,∴x2+x21 2=(x1+x2)2-2x1x2
-4m×2=m2-4m+4=(m-2)2,而(m-2)2≥
( )2, ( 1 1
, , () :( = 5 ∴ k+1
)2-2( k2+1)=5,即 k2+
0 即Δ≥0 ∴方程总有两个实数根. 2 解 x- 4 2
1)(mx-2)=0,x-1=0或 mx-2=0,∴x1=1, 2k-6=0,解得k=2或k=-6.∵方程的两根是矩
2 1
x2= . 当 m 为正整数1或2时,x2为整数,即 形两邻边的长,∴b2-4ac≥0,即(k+1)2-4(4k
2
m
方程的两个实数根都是整数,∴正整数m 的值为1 ) , 3+1 ≥0 解得k≥ ,2 ∴k=2.或2.
:() 2
第3节 一元二次方程的根 9.解 1 ∵关于x 的方程mx -2mx+m-2
=0有两个实数根,
与系数的关系
∴m≠0且Δ=4m2-4m(m-2)=8m≥0,解
问题导学
得m≥0.
1. ∴m 的取值范围为m>0.
一元二次方程 x1 x2 x1+x2x1·x2 (2)
m-2
∵ x1 + x2 = 2,x1x2 = ,又
x2 x 1 1 2 1 m-2 +1=0
x1-x2 =1,
x2-x-6=0 -2 3 1 -6 ∴(x1-x 22)=1,∴(x1+x 22)-4x1x2=1,
2x2+3x=0 0 3 3- - 0 m-22 2 代入得4-4× m =1
,
6 6 1 解得:m=8;检验 m=8是原方程的解且符合6x2-1=0 - 0 -6 6 6 题意.
3x2-2x=2 1+ 7 1- 7 2 2
新题看台
3 3 3
-3 1.B
b c 2.(1)证明:当· k=1
时,原方程可化为2x+2
2.x1+x2=-a x1 x2=a =0,解得x=-1,此时该方程有实根;当k≠1时,
课堂作业 方程是一元二次方程,∵b2-4ac=(2k)2-4(k-
1
1.C 2.D 3.D 4.A 5.1 6.m> 1)×2=4k
2-8k+8=4(k-1)2+4>0,∴无论k
2 为何值,方程总有实数根.综上所述,无论k 为何
7.解:原方程可变形为:x2-2(m+1)x+m2=0 x x
∵x ,x 是方程的两个根,∴Δ≥0,即: 值,方程总有实数根. (2)解:若S=2,则
2+ 1
1 2 x1 x2
2
4(
1
m+1)2-4m2≥0,∴m≥- (x +x )-2xx2. +x1+x
1 2 1 2
2=2,即 xx +x1+x2=2
,
1 2
又x1,x2 满足 x1 =x2,∴x1=x2 或x1= 2k
由根与系数的关系可知, ,
-x2,即Δ=0或x x1+x2=- x1x2=1+x2=0. k-1
, 1 2由Δ=0 得 m=- ;由 x1+x2=0,即: ,∴k2-3k+2=0,解得k=2或k=1(不合题2 k-1
2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意,舍去), 意,舍去),∴S 的值是2时,k=2.
·4·
