没 有 平 方 根,所 以 b2 - 4ac ≥ 0,x1 = 数根
-b+ b2-4ac 2, -b- b -4ac
课堂作业
x2= . 5.略2a 2a 1.D 2.B 3.k>1 4.(1)有两个不相等的
课堂作业 实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数
-3+ 5 -3- 5 根 (4)有两个相等的实数根
1.5 2.D 3.()2 2 1x1= 课后作业
1.B 2.B 3.1
-1,x2=-2 (2)
1
x1=4,x2=- (3)没有实2 4.解:∵2☆a 的值小于0,∴22a+a=5a<0,
数解 (4)x =3+ 15,x =3- 15 解得a<0.在方程2x21 2 -bx+a=0中,b2-4ac=
课后作业 (-b)2-8a≥-8a>0,∴方程2x2-bx+a=0有
-1± 5 两个不相等的实数根.
1.x1=-1,x2=-3 2. 2 3.43+ () 9 () 9 () 95.1m>-
1 8
2m=-8 3m<-8
3 4.D 5.(1)x1=1,x2=-3 (2)x1=- ,3 1 6.k< 且8 k≠0 7.k=0 1+ 5 1- 5
x2=1 (3)y1= ,4 y2=
(
4 4
)x1= 8.(1)证明:∵关于x 的一元二次方程x2-
( ) ( ) , 2 ( )2
3+ 105, 3- 105
2m+1x+m m+1 =0 ∴b -4ac= 2m+1
8 x2=
() ,
8 6.1x1=1x2=3 -4m(m+1)>0,∴方程总有两个不相等的实数
1 根. (2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0(2)x1=x2= 解:()根据题意,得3 7. 1 m≠1.∵ 代入方程中得到m(m+1)=0.∵(2m-1)2+(3+
a=m-1,b=-2m,c=m+1,∴b2-4ac= m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m
2m+2 -5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5,∵m(m+1)(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,则x1=2(m-1)= =0,∴上式=3×0+5=5.
m+1, 2m-2x2= ( )=1. (2)由(1) ,
m+1 新题看台
知
m-1 2m-1 x1=m-1=1 1.A 2.解:(1)△ABC 是等腰三角形.理由如
2 , , 2+ ∵方程的两个根都为正整数 ∴ 是正 下:∵x=-1是方程的根,∴(a+c)×(-1)
2-2b
m-1 m-1 +(a-c)=0,∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0.
整数,∴m-1=1或 m-1=2,解得 m=2或3.即 ∴a=b.∴△ABC 是等腰三角形. (2)△ABC 是
m 为2或3时,此方程的两个根都为正整数. 直角三角形.理由如下:∵方程有两个相等的实数
新题看台 根,∴根的判别式为(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴
1.C 4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,∴△ABC 是直
2.解:令x2-3x+1=0,得到一个关于x 的一 角三角形.
元二 次 方 程.∵a=1,b= -3,c=1,∴x=
第2节 一元二次方程的解法(6)
-b± b2-4ac 3± 5, 3+ 5= 解得2a 2 x1=
, 问题导学
2 x2=
1.a=0或b=0 2.(1)x2+2x=x(x+2)
3- 5
.∴x22 -3x+1=
(x-x1)(x-x 22)=(x- (2)x -25=(x+5)(x-5) (3)x2+3x+2=
(x+1)(x+2) (4)x+3-x(x+3)=(x+3)(1
3+ 5)( 3- 5x- ). -x) (5)(2 2 2x-1
)2-x2=(3x-1)(x-1)
3.(1)() x1=0
,x2=-2 (2)x1=5,x2=-5 (3)
第2节 一元二次方程的解法 5 x1=-1,x2=-2 (4)x1=1,x2=-3 (5)x1=
问题导学
, 11x2=
1.(1)
-1+ 5 -1- 5 3
x1= , ()2 x2= 2 2x1= 课堂作业
x2= 3 (3)没有实数解 2.(1)有两个不相等的 1.x-1=0 x-2=0 2.C 3.D 4.(1)x1
实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没 有实 =0,x2=7 (2)x1=x2=1 (3)x1=5,x2=-5
·3·
(4)
9 1
x1=-3,x2=- 所以当2 x1 =x2
时,m=-2.
课后作业 课后作业
1.②③ 2.2 3.-6或2 4.B 5.D 1.A 2.B 3.A 4.B 5.10 6.4 3
() , () 1, 2 7.-16.1x1=7x2=14 2x1=2 x2=11 8.解:设此方程的两根分别是x1、x2,则x1+
(3)x1=-1,x2=-3 (4)x1=1,x2=-1 b , · c 1x =- =k+1x x = = k2 矩形新题看台 2 a 1 2 a 4 +1.∵
1.3或-3 2.(1)证明:∵m≠0,Δ=(m+2)2 的对角线长为 5,∴x2+x21 2=(x1+x2)2-2x1x2
-4m×2=m2-4m+4=(m-2)2,而(m-2)2≥
( )2, ( 1 1
, , () :( = 5 ∴ k+1
)2-2( k2+1)=5,即 k2+
0 即Δ≥0 ∴方程总有两个实数根. 2 解 x- 4 2
1)(mx-2)=0,x-1=0或 mx-2=0,∴x1=1, 2k-6=0,解得k=2或k=-6.∵方程的两根是矩
2 1
x2= . 当 m 为正整数1或2时,x2为整数,即 形两邻边的长,∴b2-4ac≥0,即(k+1)2-4(4k
2
m
方程的两个实数根都是整数,∴正整数m 的值为1 ) , 3+1 ≥0 解得k≥ ,2 ∴k=2.或2.
:() 2
第3节 一元二次方程的根 9.解 1 ∵关于x 的方程mx -2mx+m-2
=0有两个实数根,
与系数的关系
∴m≠0且Δ=4m2-4m(m-2)=8m≥0,解
问题导学
得m≥0.
1. ∴m 的取值范围为m>0.
一元二次方程 x1 x2 x1+x2x1·x2 (2)
m-2
∵ x1 + x2 = 2,x1x2 = ,又
x2 x 1 1 2 1 m-2 +1=0
x1-x2 =1,
x2-x-6=0 -2 3 1 -6 ∴(x1-x 22)=1,∴(x1+x 22)-4x1x2=1,
2x2+3x=0 0 3 3- - 0 m-22 2 代入得4-4× m =1
,
6 6 1 解得:m=8;检验 m=8是原方程的解且符合6x2-1=0 - 0 -6 6 6 题意.
3x2-2x=2 1+ 7 1- 7 2 2
新题看台
3 3 3
-3 1.B
b c 2.(1)证明:当· k=1
时,原方程可化为2x+2
2.x1+x2=-a x1 x2=a =0,解得x=-1,此时该方程有实根;当k≠1时,
课堂作业 方程是一元二次方程,∵b2-4ac=(2k)2-4(k-
1
1.C 2.D 3.D 4.A 5.1 6.m> 1)×2=4k
2-8k+8=4(k-1)2+4>0,∴无论k
2 为何值,方程总有实数根.综上所述,无论k 为何
7.解:原方程可变形为:x2-2(m+1)x+m2=0 x x
∵x ,x 是方程的两个根,∴Δ≥0,即: 值,方程总有实数根. (2)解:若S=2,则
2+ 1
1 2 x1 x2
2
4(
1
m+1)2-4m2≥0,∴m≥- (x +x )-2xx2. +x1+x
1 2 1 2
2=2,即 xx +x1+x2=2
,
1 2
又x1,x2 满足 x1 =x2,∴x1=x2 或x1= 2k
由根与系数的关系可知, ,
-x2,即Δ=0或x x1+x2=- x1x2=1+x2=0. k-1
, 1 2由Δ=0 得 m=- ;由 x1+x2=0,即: ,∴k2-3k+2=0,解得k=2或k=1(不合题2 k-1
2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意,舍去), 意,舍去),∴S 的值是2时,k=2.
·4·数学 九年级上册
第2节 一元二次方程的解法(6)
(2)x2-25=0
本节课学习的重点是用因式分解法解一元二
次方程,需要注意的是用因式分解法解一元二次方
程必须是方程的一边为0,另一边能分解成两个一
次因式的积,另外今天的作业过程中要体会“降次” (3)x2+3x+2=0
化归的思想方法.
1.式子ab=0说明了什么
(4)x+3-x(x+3)=0
2.把下列各式因式分解.
(1)x2+2x
(5)(2x-1)2-x2=0
(2)x2-25
(3)x2+3x+2
4.概括总结.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)通过移项把一元二次方程右边化为0.
(
() ( ) 2
)将方程左边分解为两个一次因式的积.
4x+3-x x+3
(3)令每个因式分别为0,得到两个一元一次
方程.
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原
方程的解.
(5)(2x-1)2-x2
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两
个一次方程为 和 .
2.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是
3.尝试根据“若ab=0,则a=0或b=0”解下 ( )
列方程并用公式法验证解的正确性. 3
(1)x2+2x=0 A.只有一个根x=4
B.只有一个根x=0
3
C.有两个根x1=0,x2=4
3
D.有两个根x1=0,x2=-4
1 3
课时培优作业
3.方程(x-1)2=x-1的正确解法是 ( ) 好是等腰△ABC 的两条边长,则△ABC 的周长为
A.化为x-1=0 ( )
B.化为x-1=1 A.7 B.10
C.化为x(x-1)=0 C.11 D.10或11
D.化为(x-1)(x-1-1)=0 6.用适当的方法解下列方程:
4.用因式分解法解下列方程: (1)2(x-7)2+(7x-x2)=0
(1)x2=7x
(2)5(2x-1)2=(1-2x)(x+3)
(2)5x2-10x=-5
(3)2(x+1)2=x2-1
(3)5x2-125=0
(4)(2x-1)2+2(2x-1)=3
(4)3(x+3)2-x(x+3)=0
1.对 于 实 数 a,b,定 义 运 算“*”:a*b=
2
{a -ab (a≥b)1.下列方程:①x2-2x-7=0;②(2x-1)2-1 .例如4*2,因为4>2,所以4*2ab-b2 (a=0;③(x-5)2=2(5-x),用因式分解法求解比较 =42-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x
简便的是 (填序号). +6=0的两个根,则x1*x2= .
2.若关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+ 2.已知关于x 的方程mx2-(m+2)x+2=0
m2-3m+2=0的一个根是0,则 m 的值是 (m≠0).
. (1)求证:方程总有两个实数根.
3.对于两个不相等的实数a、b,定义一种新的 (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数
运算如下:a*b=a(a+b),如3*2=3×(3+2)= m 的值.
15.若x*4=12,则x 的值是 .
4.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元
二次方程x2-6x+8=0的根,则该三角形的周长为
( )
A.8 B.10
C.8或10 D.12
5.已知3是关于x 的方程x2-(m+1)x+2m
=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰
1 4
