数学 九年级上册
第2节 一元二次方程的解法(5)
也能得到判别式的值的符号:当一元二次方程有两
个不相等的实数根时,b2-4ac>0;当一元二次方程
本节课学习的重点是一元二次方程ax2+bx+ 有两个相等的实数根时,b2-4ac=0;当一元二次方
c=0(a≠0)根的情况与b2-4ac 的关系并能灵活 程没有实数根时,b2-4ac<0.
运用.
1.下列一元二次方程中有两个相等实数根的是
1.用公式法解下列方程: ( )
(1)x2+x-1=0 A.2x2-6x+1=0
B.3x2-x-5=0
C.x2+x=0
D.x2-4x+4=0
(2)x2-23x+3=0 2.若关于x 的一元二次方程(k-1)x2+4x+
1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
( )
A.k<5
(3)2x2-2x+1=0 B.k<5,且k≠1
C.k≤5,且k≠1
D.k>5
3.若关于x 的一元二次方程x2-2x+k=0无
2.观察上面解一元二次方程的过程,然后尝试 实数根,则实数k的取值范围是 .
不解方程,判断下列方程根的情况: 4.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)x2+2x-5=0 (1)x2-4x=2
(2)x2=4x-4
(2)-x2+26x-6=0
(3)x2-5x=-7
(3)4x2+1=-3x
3.由问题2思考并概括总结:一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由b2-4ac 来判
定:当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2 (4)5x2=25x-1
-4ac<0时,方程没有实数根;我们把b2-4ac 叫
做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判
别式.
反之,若已知一个一元二次方程的根的情况,
1 1
课时培优作业
6.已知关于x 的一元二次方程kx2-(2k+1)x
+k+3=0有两个不相等的实数根,求k 的取值
1.若关于x 的一元二次方程x2-2x+kb+1 范围.
=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b
的大致图像可能是 ( )
A. B.
7.已知关于x 的一元二次方程x2-(2k-1)x
+k2=0有两个不相等的实数根,求k 的最大整
数值.
C. D.
2.已知关于x 的方程(k-1)x2- 1+2kx+ 8.已知关于x 的方程x2-(2m+1)x+m(m
1 +1)=0.
=0有实数根,则k的取值范围为 (4
)
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
1
A.k≥-2 B.k≥- (2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m2 -1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简
C.k>-2且k≠1 D.以上都不对 再求值).
3.关于x 的方程kx2-4x-4=0有两个不相
等的实数根,则k的最小整数值为 .
4.定义新运算:对于任意实数m、n 都有m☆n
=m2n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘
方运算.例如:-3☆2=(-3)2×2+2=20.根据以
上知识解决问题:若2☆a 的值小于0,请判断方程: 1.已知a,b,c分别是三角形的三边,则关于x
2x2-bx+a=0的根的情况. 的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根
的情况是 ( )
A.没有实数根
B.可能有且仅有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5.m 为何值时,关于x 的一元二次方程2x2- 2.已知关于x 的一元二次方程(a+c)x2+
(4m+1)x+2m2-1=0: 2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为△ABC 三边
(1)有两个不相等的实数根 的长.
(2)有两个相等的实数根 (1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC
(3)没有实数根 的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断
△ABC 的形状,并说明理由.
1 2没 有 平 方 根,所 以 b2 - 4ac ≥ 0,x1 = 数根
-b+ b2-4ac 2, -b- b -4ac
课堂作业
x2= . 5.略2a 2a 1.D 2.B 3.k>1 4.(1)有两个不相等的
课堂作业 实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数
-3+ 5 -3- 5 根 (4)有两个相等的实数根
1.5 2.D 3.()2 2 1x1= 课后作业
1.B 2.B 3.1
-1,x2=-2 (2)
1
x1=4,x2=- (3)没有实2 4.解:∵2☆a 的值小于0,∴22a+a=5a<0,
数解 (4)x =3+ 15,x =3- 15 解得a<0.在方程2x21 2 -bx+a=0中,b2-4ac=
课后作业 (-b)2-8a≥-8a>0,∴方程2x2-bx+a=0有
-1± 5 两个不相等的实数根.
1.x1=-1,x2=-3 2. 2 3.43+ () 9 () 9 () 95.1m>-
1 8
2m=-8 3m<-8
3 4.D 5.(1)x1=1,x2=-3 (2)x1=- ,3 1 6.k< 且8 k≠0 7.k=0 1+ 5 1- 5
x2=1 (3)y1= ,4 y2=
(
4 4
)x1= 8.(1)证明:∵关于x 的一元二次方程x2-
( ) ( ) , 2 ( )2
3+ 105, 3- 105
2m+1x+m m+1 =0 ∴b -4ac= 2m+1
8 x2=
() ,
8 6.1x1=1x2=3 -4m(m+1)>0,∴方程总有两个不相等的实数
1 根. (2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0(2)x1=x2= 解:()根据题意,得3 7. 1 m≠1.∵ 代入方程中得到m(m+1)=0.∵(2m-1)2+(3+
a=m-1,b=-2m,c=m+1,∴b2-4ac= m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m
2m+2 -5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5,∵m(m+1)(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,则x1=2(m-1)= =0,∴上式=3×0+5=5.
m+1, 2m-2x2= ( )=1. (2)由(1) ,
m+1 新题看台
知
m-1 2m-1 x1=m-1=1 1.A 2.解:(1)△ABC 是等腰三角形.理由如
2 , , 2+ ∵方程的两个根都为正整数 ∴ 是正 下:∵x=-1是方程的根,∴(a+c)×(-1)
2-2b
m-1 m-1 +(a-c)=0,∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0.
整数,∴m-1=1或 m-1=2,解得 m=2或3.即 ∴a=b.∴△ABC 是等腰三角形. (2)△ABC 是
m 为2或3时,此方程的两个根都为正整数. 直角三角形.理由如下:∵方程有两个相等的实数
新题看台 根,∴根的判别式为(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴
1.C 4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,∴△ABC 是直
2.解:令x2-3x+1=0,得到一个关于x 的一 角三角形.
元二 次 方 程.∵a=1,b= -3,c=1,∴x=
第2节 一元二次方程的解法(6)
-b± b2-4ac 3± 5, 3+ 5= 解得2a 2 x1=
, 问题导学
2 x2=
1.a=0或b=0 2.(1)x2+2x=x(x+2)
3- 5
.∴x22 -3x+1=
(x-x1)(x-x 22)=(x- (2)x -25=(x+5)(x-5) (3)x2+3x+2=
(x+1)(x+2) (4)x+3-x(x+3)=(x+3)(1
3+ 5)( 3- 5x- ). -x) (5)(2 2 2x-1
)2-x2=(3x-1)(x-1)
3.(1)() x1=0
,x2=-2 (2)x1=5,x2=-5 (3)
第2节 一元二次方程的解法 5 x1=-1,x2=-2 (4)x1=1,x2=-3 (5)x1=
问题导学
, 11x2=
1.(1)
-1+ 5 -1- 5 3
x1= , ()2 x2= 2 2x1= 课堂作业
x2= 3 (3)没有实数解 2.(1)有两个不相等的 1.x-1=0 x-2=0 2.C 3.D 4.(1)x1
实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没 有实 =0,x2=7 (2)x1=x2=1 (3)x1=5,x2=-5
·3·
