数学 九年级上册
第2节 一元二次方程的解法(4)
公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公式
解一元二次方程的方法叫做公式法.这个公式说明
本节课学习的重点是用公式法解一元二次方 方程的根是由方程的系数a,b,c所确定的,利用这
程,用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般 个公式,我们可以由一元二次方程中系数a,b,c的
形式ax2+bx+c=0(a≠0),进而确定a,b,c 的 值,直接求得方程的解.
值,再求出b2-4ac的值,在b2-4ac≥0的前提下, 5.为什么在得出求根公式时有限制条件b2-
-b± b2-4ac
代入公式x= 求解;当 22a b -4ac<0
4ac≥0
时,方程无实数解(根).
作业时要理解用配方法推导一元二次方程求
根公式的过程,记住一元二次方程的求根公式,系
数和常数为负数时,代入求根公式注意符号不能出
错.另外要明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac
≥0. 1.用求根公式解方程x2+3x=-1,先求得b2
-4ac= ,则x1= ,x2=
.
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤是
2.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公
什么
式正确的是 ( )
12± 144-48
A.x= 2
-12± 144-12
B.x= 2
2.用配方法解方程.
(1)2x2-4x-7=0 12± 144+12C.x= 2
12± 144-48
D.x= 6
3.用公式法解下列方程.
()2
() 2 1x +3x+2=023x -7x+5=0
(2)2x2-7x=4
3.尝试用配方法解一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
(3)x2=3x-8
4.概括总结:一般地,对于一般形式的一元二
次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,
-b± b2-4ac
它的根是x= (2 ),这个2a b -4ac≥0
9
课时培优作业
(4)x(x-6)=6 (2)3x(3x-2)+1=0
7.关于x 的一元二次方程(m-1)x2-2mx+
1.方程x2+4x+3=0的根是 . m+1=0.
2.若实数a、
x
b 满足x2+xy-y2=0,则 (1)求出方程的根;y
= .
3.已知三角形的两条边长分别是 3和23,第
三条边的长是x2-6x+6=0的根,这个三角形的
周长是 . (2)m 为何整数时,此方程的两个根都为正
4.用公式法解方程 2x2+43x=22,其中 整数
求的b2-4ac的值是 ( )
A.16 B.±4
C.32 D.64
5.用求根公式法解下列方程.
(1)x2+2x-3=0
1.下列方程没有实数根的是 ( )
(2)3x2-2x-1=0 A.x2+4x=10 B.3x2+8x-3=0
C.x2-2x+3=0 D.(x-2)(x-3)=12
2.阅读下面的例题,分解因式x2+2x-1.
解:令x2+2x-1=0,得到一个关于x 的一元
二次方程.
1 ∵a=1,b=2,c=-1,(3)2y2-y-2=0 -b± b2-4ac -2±22
∴x= 2a = 2 =-1± 2.
解得x1=-1+ 2,x2=-1- 2.
∴x2+2x-1=(x-x1)(x-x2)
=[x-(-1+ 2)][x-(-1- 2)]
() 2 14 -3x
2+2x+1=0 =(x+1- 2)(x+1+ 2).
这种分解因式的方法叫做求根法,请你利用这
种方法分解因式:x2-3x+1.
6.用求根公式法解下列方程.
(1)(x-3)2+2x(x-3)=0
1 0第2节 一元二次方程的解法(2) 1=2 3.首先把二次项系数化为1. 4.用配方法
问题导学
解一元二次方程的一般步骤为:系数化为1,移项,
1.二次三项式a2+2ab+b2、a2-2ab+b2 能
配方,开方,求解,定根.
改写成a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=
课堂作业
(a-b)2 的 形 式,称 之 为 完 全 平 方 式. 2.C 1 1 9 3
1 1 1.(1) (2)
3.(1)4 2 (2)4 2 4.
(1)(x-2)2=0 x= 36 6 8 4
3 9
2 (2)(
()
x+3)2=5 x=-3± 5 2.-2 3.2 - 2 4.D 5.1 x1=
课堂作业 2+ 14, 2- 14 3+22
25 5 4 2 x2=
(2)x1= ,x2=
1.(1) (2) (3)
2 2 2
4 2 25 5 2 2 3-22
(3)
1
x1= ,x2=1 (
1
2 2 3 4
)x1=- ,2 x2=(4)43 23 (5)2 2 2.C 3.
(1)x1=3,
-3
课后作业
x2=-1 (2)
3+ 17 3- 17
x1= ,2 x2=
(
2 3
)x1 1.B 2.B 3.D 4.(x-2)2+2(x-2)+2
3
=x2=-32 (4)x1=0,x 102=4 =0 5.8或-4 6.(1)x1=2+ ,2 x2=2-
课后作业
10
1.1 2.5 3.C 4.B 5.B 6.(1)x =x () ,2 2x1=-2+ 6x2=-2- 6
(3)x1=1 2
() 7+ 57, 7- 57 5=9 2x1= ()2 x2= 2 3x1= 0
,x2=- () ,2 4x1=-1+ 11x2=-1- 11
, -p+ p
2-4q 2 2 7 49 49
-m+nx2=-m-n (4)x = , 7.2x -7x+3=2(x - x+ -1 ) +32 2 16 16
7 2
-p- p2-4q 25 25
x =2(x- ) - ,最小值是-2= 4 8 82 7.5
9 9
8.解:根据题意,得(2x2+3x-4)-(x2+5x 8.-8x2+24x-19=-8(x2-3x+4-4 )
-5)=x2-2x+1=(x-1)2,∵对于任意实数x, 3 2
(x-1)2≥0;∴多项式2x2+3x-4≥x2+5x-5. -19=-8 (x-2 ) -1≤-1<0
9.1 9.x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-
x+1 1-x 2 2 2
10.解:∵ =8x,∴(x+1)(x+ (2x)=(x +2+2x)(x +2-2x)
x-1 x+1 10.解:设花园与墙相邻的边长为x m.根据题
1)-(1-x)(x-1)=8x,∴x2-4x+1=0,∴x2 意,得S=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2
-4x+4=-1+4,∴(x-2)2=3,∴x=2± 3. +32.答:当花园与墙相邻的边长为4m时,花园的
新题看台 面积最大,最大面积为32m2.
1.C 2.a2-8a+20=(a-4)2+4≥4>0 新题看台
第2节 一元二次方程的解法(3) 1.A 2.m>3
问题导学 第2节 一元二次方程的解法(4)
1.后一个方程中的二次项系数变为1,即方程 问题导学
前一个方程两边都除以2就得到后一个方程,这样 1.二次项系数化1,移项,配方,变形,开平方,
就转化为学过的方程的形式,用配方法即可求出方
, () 2+32, 2-32求解 定根. 2.1x1= 2 x2= 2
程的解. 2.x2
5 5
-2x+1=0 x
2-2x=-1 (2)没有实数解 3.在用配方法求ax2+bx+c=0
2 2 2 2
( 5x-4 ) = ( 3 ) 5 3 , ( ) , b b -4ac x- =± x1=2x2 a≠0 的根时 得 ,因为负数4 4 4 (x+2a) = 4a2
·2·
没 有 平 方 根,所 以 b2 - 4ac ≥ 0,x1 = 数根
-b+ b2-4ac 2, -b- b -4ac
课堂作业
x2= . 5.略2a 2a 1.D 2.B 3.k>1 4.(1)有两个不相等的
课堂作业 实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数
-3+ 5 -3- 5 根 (4)有两个相等的实数根
1.5 2.D 3.()2 2 1x1= 课后作业
1.B 2.B 3.1
-1,x2=-2 (2)
1
x1=4,x2=- (3)没有实2 4.解:∵2☆a 的值小于0,∴22a+a=5a<0,
数解 (4)x =3+ 15,x =3- 15 解得a<0.在方程2x21 2 -bx+a=0中,b2-4ac=
课后作业 (-b)2-8a≥-8a>0,∴方程2x2-bx+a=0有
-1± 5 两个不相等的实数根.
1.x1=-1,x2=-3 2. 2 3.43+ () 9 () 9 () 95.1m>-
1 8
2m=-8 3m<-8
3 4.D 5.(1)x1=1,x2=-3 (2)x1=- ,3 1 6.k< 且8 k≠0 7.k=0 1+ 5 1- 5
x2=1 (3)y1= ,4 y2=
(
4 4
)x1= 8.(1)证明:∵关于x 的一元二次方程x2-
( ) ( ) , 2 ( )2
3+ 105, 3- 105
2m+1x+m m+1 =0 ∴b -4ac= 2m+1
8 x2=
() ,
8 6.1x1=1x2=3 -4m(m+1)>0,∴方程总有两个不相等的实数
1 根. (2)解:∵x=0是此方程的一个根,∴把x=0(2)x1=x2= 解:()根据题意,得3 7. 1 m≠1.∵ 代入方程中得到m(m+1)=0.∵(2m-1)2+(3+
a=m-1,b=-2m,c=m+1,∴b2-4ac= m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m
2m+2 -5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5,∵m(m+1)(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,则x1=2(m-1)= =0,∴上式=3×0+5=5.
m+1, 2m-2x2= ( )=1. (2)由(1) ,
m+1 新题看台
知
m-1 2m-1 x1=m-1=1 1.A 2.解:(1)△ABC 是等腰三角形.理由如
2 , , 2+ ∵方程的两个根都为正整数 ∴ 是正 下:∵x=-1是方程的根,∴(a+c)×(-1)
2-2b
m-1 m-1 +(a-c)=0,∴a+c-2b+a-c=0,∴a-b=0.
整数,∴m-1=1或 m-1=2,解得 m=2或3.即 ∴a=b.∴△ABC 是等腰三角形. (2)△ABC 是
m 为2或3时,此方程的两个根都为正整数. 直角三角形.理由如下:∵方程有两个相等的实数
新题看台 根,∴根的判别式为(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,∴
1.C 4b2-4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,∴△ABC 是直
2.解:令x2-3x+1=0,得到一个关于x 的一 角三角形.
元二 次 方 程.∵a=1,b= -3,c=1,∴x=
第2节 一元二次方程的解法(6)
-b± b2-4ac 3± 5, 3+ 5= 解得2a 2 x1=
, 问题导学
2 x2=
1.a=0或b=0 2.(1)x2+2x=x(x+2)
3- 5
.∴x22 -3x+1=
(x-x1)(x-x 22)=(x- (2)x -25=(x+5)(x-5) (3)x2+3x+2=
(x+1)(x+2) (4)x+3-x(x+3)=(x+3)(1
3+ 5)( 3- 5x- ). -x) (5)(2 2 2x-1
)2-x2=(3x-1)(x-1)
3.(1)() x1=0
,x2=-2 (2)x1=5,x2=-5 (3)
第2节 一元二次方程的解法 5 x1=-1,x2=-2 (4)x1=1,x2=-3 (5)x1=
问题导学
, 11x2=
1.(1)
-1+ 5 -1- 5 3
x1= , ()2 x2= 2 2x1= 课堂作业
x2= 3 (3)没有实数解 2.(1)有两个不相等的 1.x-1=0 x-2=0 2.C 3.D 4.(1)x1
实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没 有实 =0,x2=7 (2)x1=x2=1 (3)x1=5,x2=-5
·3·
