信阳市高中2022-2023学年高一下学期7月月考
数学试题
分值：150分考 试时间：150分钟 使用时间：2023年7月2日
一、单选题
1.集合，集合，则
A.
B.
C.
D.
2.已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
3.已知，则的大小关系是
A.
B.
C.
D.
4.在中，边上的高等于，则
A.
B.
C.
D.
5.已知函数，若，则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
6.甲、乙两校各有3名教师报名支数，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是
A.
B.
C.
D.
7.已知在中，角所对的边分别为，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的面积为
A.
B.
C.
D.
8.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过$EM$作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.设复数，则下列结论正确的是
A.若，则是纯虚数
B.若，则$|z|$的最小值为
C.若，则
D.若，则在复平面内对应的点的坐标为
10.在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是
A.若，则的形状是等腰三角形
B.，若，则这样的三角形有两个
C.若，则面积的最大值为
D.若的面积，则的最大值为1
11.已知一组样本数据，现有一组新的，则与原样本数据相比，新的样本数据
A.平均数不变
B.中位数不变
C.极差变小
D.方差变小
12.圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，例如，如果交点为的两条相交直线与圆相交于与，则），如下图，已知圆的半径为3，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是
A.
B.的取值范围是
C.当时，为定值
D.时，的最大值为28
三、填空题
13.若复数是实数，则实数 .
14.已知函数.任取，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
15.在中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是 .
16.四面体中，.，且异面直线和所成的角为，若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为 .
四、解答题
17.如图，A.B两点在河的同侧，且A、B两点均不可到达，测量者在可岸边选定两点.测得，同时在两点分别测得，
（1）求B，C两点间的距离；
（2）求A，B两点间的距离。
18.在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围；
（3）若的内切圆的周长为，当的值最小时，求的面积.
19.如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的一个动点.
（1）求圆柱的表面积；
（2）求四棱锥的体积的最大值.
20.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.
（1）求的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，位数精确到0.1）
（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.
21.如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点.
（1）当为线段中点时，求证：平面平面；
（2）当直线$AP$与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值.
22.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和果胜丙的概率均为乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相再独立.经抽签，第一场比赛申轮空.
（1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率；
（3）求甲最终获胜的概率。1.D
2.D
3.A
4.C
5.D
6.B
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.CD
ak上19时组面7sak艾门
13.1
14.m>
15.816.25
3
面站个州面平
17.(1)
km:(2)
6
,面5前○-4同
km
4
详解】(I)在ABCD中，∠DBC=180≌∠CDB-△4CD-乙4CB=45丛
=男
BC
DC
由正弦定理
siny sin.∠DBC
得：
BC=
DCsiny
n30
2
6
sin /DBC
sin454
。。9o州
n
UM年
即B,C两点间距离为：
(2)在△ACD中，∠ADC=∠ADB+∠CDB=60,∠ACD=60
.∠DAC=60
.AC=DC=
2
同y铁，下的5(1【47
在△MBC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos4S
5=国包)9以丙甲式州
48
Γ2428
59=(04明四水
即4，B两点间距离为：6km
4
比你话地内京岸移的国
8①号2)9：g125
51=89-
【详解】解：(1)m∥n,m=0,√5)，i=(cosC,si加C)
式岸淋吊演，种豫队5月(
∴smC-5csc-0,即mc=5:Ce0.网，C=背5909+=
2)C丽
2元
s cc
出55贡丙过式必率示的甲心消甲1法(
由正弦定理，得·
b
=2=1,
sinA sin B sinc sin及国s,可元的整是开
3
a=sin4b=sinB=sn2-0a+b=in4+sin2π-④=5sin4+马
3台速达兴练法甲《样密达州甲灯
930030A（G64=9平原的效场甲6积
~66
6
(3)由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC=d2+b2-ab,
8
由题意可知：a4BC的内切圆周长1=2w=4红，
所以内切圆半径r=2
答案第1页，共4项
如图，设圆1为△ABC的内切圆圆心，D,E为切点，
可知aCD1≌aCE,又C-}可得
(明
-Ex
C1=4,CD=CE=25,
长大绿的
刻四场
由切线长定理可知从圆外一点引圆的两条切线长相等，装觉中”必B
s(D).0s
a+b-c=45
,200.6-s分0,1=(090.0+20.02c00+c01联图武直迹率由Q)【联】
.c2=(a+b-4v5)2a2年602 ab cose=2+-ab,+240001+200x0×03+00.00102-元
化简得3ab+48=85(a+b)≥16、5√ab(当且仅当a=b时取等号)
0r代是
E乙.0>E62S00x0t4200.0×01米年单3的前以图
即3ab-165历+48≥024，或b≤9
20又ab>25,ab≥48，即a.CB=abcoC=bcp4,+m),m0中货e0六按中
00=u喻.0（亿0m200+0
当且仅当a=b=4W5时，CA.CB的值最小为24，
阳达效中间
此时MC的面积：S=bsnC号×4得×中写=l25
P
甲各c5(S
19.0)14+6元
2)5:d州中t全中牙小道整中
中，8人器中君
3
4
【详解】(1)如图：
5以中，8还中来：水必有
中签中未
D
中
连接BD,在△ABD中，AB=1,AD=2,∠BAD=120,
湖密中为
由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2 AB-ADcos∠BAD=7,
5件B
C中
。染中米
所以BD=√万，设圆柱底面半径为r,由正弦定理，得2r=
BD
2
早中春中中其
in∠B4DSin120°示3)A中，8中米
所以，=V②
0茶中界
3
故医桂的表面积5-26+P2停写+回年
长唯尘是出上装中置盛中小间
的输风超(0，图
由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD
-BC:+CD-BC CD228C-CD-BC-CD-BC.CD.BC:CDST
当且仅当BC=CD=√万时，等号成立，
,010,)8所死9
所以5amBC-cDn∠cD7s60,
=58k且.38151之点中的4依4
因为5 sin.∠B4D=1x2n120=5:变43，面年-又a前78
所以四棱锥P一ABCD的体积，
女蓝前保23西平三9直是8.热刀面平人明1由()
答案第2项共4项