湛江市 2022-2023 学年度第二学期期末高中调研测试
高二数学试卷
（满分：150分，考试时间：120分钟） 2023年 7月
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写
在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题如需改动，先划
掉原来的答案，然后再写上新的答案。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设全集U 0,1,2,4,6,8 ，集合M 0,4,6 ,N 0,1,6 ，则 =（ ）
A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1,2,4,6,8 D．U
2．已知 a,b R ， i是虚数单位，若 a 2i与1 bi互为共轭复数，则b （ ）
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
π 3
3．已知 是第二象限角， sin ，则 tan （ ）
4 5
3 4 1
A． B． C． D． 7
4 3 7
4．圆台的上 下底面半径分别是 r 1,R 4，且圆台的母线长为 5，则该圆台的体积是（ ）
A．30π B． 28π C． 25π D．24π
5．已知 a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且( a＋2b )与 (2a－b )共线，则( )
1 1
A．x＝ ，y＝1 B．x＝
3 2
，y＝－4
1
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
4
6．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其 25%分位数、中位数与 75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
7．已知 x2 y2 2kx 4y k 2 k 2 0表示的曲线是圆，则 k的值为（ ）
A． 6， B． 6, C． ,6 D． ,6
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{#{QQABLYCAggAIABBAAQBCAwXQCgGQkgCCAAgOQBAYsEIASANABCA=}#}
f (x) x2 18．已知函数 , g(x) sin x ，则图象为如图的函数可能是（ ）
4
A． y f (x) g(x) 1 B． y f (x) g(x) 1
4 4
C． y f (x)g(x) y
g(x)
D．
f (x)
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
1 2
9．对于抛物线上 x y，下列描述正确的是（ ）
8
1
A．开口向上，焦点为 0,2 B．开口向上，焦点为 0,
16
C．焦点到准线的距离为 4 D．准线方程为 y 4
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若 BA,BM ,BN 不能构成空间的一个基底，那么 A，B，M，N共面
B．直线 l的方向向量为 a 1, 1,2 1 ，直线 m 的方向向量为b 2,1, ，则 l与 m垂直
2
C．直线 l的方向向量为 a 0,1, 1 ，平面α的法向量为n 1, 1, 1 ，则 l⊥α
D．平面α经过三点 A(1,0, 1),B(0,1,0),C( 1,2,0),n
(1,u, t)是平面α的法向量，则u t 1
11．有一散点图如图所示，在 5 个 x, y 数据中去掉D 3,10 后，下列说法中正确的是（ ）
A．残差平方和变小
B．相关系数 r变小
C．决定系数 R2变小
D．解释变量 x与响应变量 y的相关性变强
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{#{QQABLYCAggAIABBAAQBCAwXQCgGQkgCCAAgOQBAYsEIASANABCA=}#}
12．若函数 y f x 的图象上至少存在两点，使得函数的图象在两点处的切线互相平行，则称 y f x 为
R函数，则下列函数可称为 R函数的有（ ）
A． f (x) x2 sin x B． f (x) x 2 ln x
3 cos x
C． f (x) x e x D． f (x)
3 ex
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
1 6 2x 13． 的展开式中 x2的系数为________．
x
14．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为 5%，第二台加工的次品率为 4%，加工出来
的零件混放在一起，已知第一 二台车床加工的零件数分别占总数的 40%，60%，从中任取一件产品，则该
产品是次品的概率是___________.
15．数列 an 中， a1 2,an 1 2an 0，若其前 k 项和为 86，则 k ________．
x2 y2 P 3 5
5
16．已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)经过点 ,2 ，双曲线 C的离心率为 ，则双曲线 C 的焦点到a b 2 3
其渐近线的距离为_______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知在 ABC中， cos A 6 ， a,b,c分别是角 A,B,C所对的边.
3
（1）求 tan 2A；
（2）若 sin B
2 2
， c 2 2，求 ABC的面积.
2 3
18．（12 分）
已知数列 an 是公差不为零的等差数列， a1 2，且 a1,a3 ,a9 成等比数列.
（1）求数列 an 的通项公式；
1 1 1
（2）数列 bn 满足b1 , a2 b n，求数列 bn 的前 n项和 Sn .n bn 1
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{#{QQABLYCAggAIABBAAQBCAwXQCgGQkgCCAAgOQBAYsEIASANABCA=}#}
19．（12 分）
如图①，在等腰直角三角形 ABC中， A 90 ,AB 3,D,E 分别是 AC,BC上的点，且满足DE / /AB .将
CDE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥 P ABED .
(1)设平面 ABP 平面DEP l，证明： l⊥平面 ADP；
(2)若 PA 5,DE 2，求直线 PD与平面 PEB所成角的正弦值.
20．（12 分）
已知函数 f x ex ax（ a R，e 为自然对数的底数）.
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)求函数 f x 的极值的最大值.
21．（12 分）
3
甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以往的比赛分析,甲乙对阵时,若甲发球,则甲得分的概率为 ,若乙发球,
5
1
则甲得分的概率为 .该局比赛甲乙依次轮换发球权(甲先发球),每人发两球后轮到对方进行发球.
3
(1)求在前 4 球中,甲领先的概率;
(2)12球过后,双方战平(6:6),已知继续对战奇数球后,甲率先取得 11分获得胜利(获胜要求净胜 2分及以
上).在此条件下，设净胜分为 X (甲,乙的得分之差)，求 X 的分布列.
22．（12 分）
x2 y2
已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1，F2，点M 0, 2 是椭圆C的一个顶点，△F1MFa b 2
是等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M 分别作直线MA，MB交椭圆于 A，B两点，设两直线MA，MB的斜率分别为 k1，k2，且 k1 k2 8，
证明：直线 AB过定点．
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高二数学评分参考答案
1．A
【分析】由题意可得 的值，然后计算 即可.
【详解】由题意可得 ，则 .故选：A.
2．D
【分析】由共轭复数的概念求解即可.
a 1
【详解】∵ a 2i与1 bi互为共轭复数，∴ b 2 .故选：D.
3．D
【分析】根据已知条件，结合同角三角函数的关系和正切函数的两角和公式求解即可
π 3
【详解】解： 是第二象限角， sin cos
1 sin 2 4，所以4 5
， 4 4 5
sin
tan tan
所以 tan
3 3 4 4 tan 1 3 ，所以 ，即 ，
4 cos 4 1 tan tan
4 1 tan 4
4 4
解得 tan 7，故选：D
4．B
【分析】利用圆台的体积公式即可求得该圆台的体积.
【详解】圆台的上 下底面半径分别是 r 1,R 4，且圆台的母线长为 5，
则圆台的高为 52
1
(4 1)2 4，则该圆台的体积是 π(42 12 4 1) 4 28π故选：B3
5．B
2x 1 2 x ,
【分析】由题得 a＋2b＝λ(2a－b)，即 4 3 , 解方程组即得解.
4 y 2y 2 ,
【详解】由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使 a＋2b＝λ(2a－b)，
4
,
2x 1 2 x , 3
1
∴ 4 3 ,
解得 x , 故答案为 B
2 4 y 2y 2 , y 4.
6．D
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【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【详解】因为 25% 22 5.5，所以样本数据的 25%分位数为第六个数据即 66；
76 76
中位数为： 76，
2
因为75% 22 16.5，所以样本数据的 75%分位数为第十七个数据即 82.故选：D.
7．C
2 2
【分析】方程配方后得 x k y 2 6 k ，根据圆的半径大于 0求解.
2
【详解】由方程 x2 y2 2kx 4y k 2 k 2 0可得 x k y 2 2 6 k ，
所以当 r 6 k 0时表示圆，解得 k 6 .故选：C.
8．D
【分析】
由函数的奇偶性可排除 A、B，结合导数判断函数的单调性可判断 C，即可得解.
【详解】
对于 A， y f x g x 1 x2 sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 A；
4
y 1对于 B， f x g x x2 sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 B；
4
y f x g x x2 1 对于 C， sin x，则 y 2xsin x
x
2 1 cos x，
4 4
2 2 y 1 2当 x 时， 0，与图象不符，排除 C.4 2 2 16 4
2
故选：D.
9．AC
【分析】写出标准形式即 x2 8y，即可得到相关结论
1 x2【详解】由抛物线 y，即 x2 8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为 0,2 ，焦点到准线的距离为
8
4，准线方程为 y= 2．故选：AC
10．ABD
【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断 4个选项即可.
【详解】对于 A，若 BA,BM ,BN 不能构成空间的一个基底，则BA,BM ,BN 共面，可得 A，B，M，N共面，
A正确；
对于 B， a b 2 1 1 0，故 a b，可得 l与 m垂直，B正确；
对于 C， a n 0 1 1 0，故 a n，可得 l在α内或 l / / ，C错误；
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对于 D， AB ( 1,1,1)，易知 AB n，故 1 u t 0，故u t 1，D正确.故选：ABD.
11．AD
【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况．
【详解】解：从散点图可分析出，若去掉D点，则解释变量 x与响应变量 y的线性相关性变强，且是正相关，
所以相关系数 r变大，决定系数 R2变大，残差平方和变小.故选：AD
12．BD
【分析】根据导数的几何意义只需判定各选项函数是否存在不同的点的导函数值相等即可.
【详解】A项：因为 f (x) 2x cos x，令 g x f x ，则 g (x) 2 sin x 0恒成立，
所以 f x 在R 上单调递增，不存在两点的导函数值相等，
所以 f (x) x2 sin x不是 R函数，A错误；
B项： f x 定义域为 0, ， f (x) 2x ln x x ，令 g x f x ，
所以 g (x) 2 ln x 3，x＞0.
令 g x 0 3 3，则 x e 2；令 g x 0，则 x e 2，
3 3
当 x 0,e 2 时， f
x 单调递减；当 x e 2 , 时， f x 单调递增.
3且 x e 2是 f x 的极小值点，存在两点的导函数值相等，
所以 f (x) x 2 ln x 是 R函数，故 B正确；
C项： f (x) e x x 2，函数 f x 的定义域为R ，
令 g x f x ，则 g x ex 2x x，令 h x g x h x e 2，
令 h x 0 x ln 2；令 h x 0 x ln 2，
即 h x 在 , ln 2 上单调递减，在 ln 2, 上单调递增，
所以 h x g x h ln 2 2 2ln 2 0，所以 f x 在R 上单调递增，
x3
不存在两点的导函数值相等，所以 f (x) e x 不是 R函数，C错误；
3
D 1项： f (x) 2x sin x ex cos x 1 ex x ( sin x cos x) 2 sin x π ，e e ex 4
取 x
π 3
1 ， x2 π，则 f x1 f x2 0
cos x
，所以 f (x) x 是 R函数，D正确.4 4 e
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故选：BD
13. 240.
k n k k
【分析】根据二项展开式的通项Tk 1 Cna b ,k 0,1, 2,...,n，运算求解.
2x 1
6 k
k 6 k
1 k
【详解】 6 k k 6 2k 的展开式的通项为：Tk 1 C6 2x 1 2 C x ,k 0,1,2,...,6
x x 6
k 2 T 1 2令 ，则 24 C2x2 23 6 240x
1 6
∴ 2x
的展开式中 x
2的系数为 240
x
故答案为：240.
11
14．0.044/
250
【分析】直接由全概率公式求解即可.
【详解】该产品是次品的概率是 40% 5% 60% 4% 0.044 .
故答案为：0.044.
15． 7
【分析】由题意可知 an 是以 a1 2为首项，公比为 2的等比数列，由等比数列的前 n项和公式求解即可.
an 1
【详解】由 a1 2,an 1 2an 0可得： = 2a ，所以 an 是以 a1 2为首项，公比为 2的等比数列，所以n
2 1 k 2 k
其前 k项和为 S 86，故1 2 129，即 k 7 .k 1 2
16．4
【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线，
利用点到直线距离公式求解即可.
2
3 5 3 5
【详解】由双曲线经过点 P ,2 ，则 2 22 ，①
2 2 1a b2
c 5
双曲线离心率为： e ，②又 a2 b2a 3 c
2，③
x2 y2
联立①②③解得： a2 9,b2 16,c2 25，所以双曲线标准方程为： 1
9 16
所以双曲线的一个焦点为 5,0 ，一条渐近线为 4x 3y 0，
4 5 3 0
所以双曲线 C的焦点到其渐近线的距离为：d 42 ，故答案为：4.4 3 2
17．本题考查了三角恒等变换和解三角形，考查了正弦定理和面积公式，是对三角形基本量的计算，该类
题型只需正确应用公式即可得解
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【详解】（1）因为 cos A 6 且 A (0, ),sin A 1 cos2 A 3 ， ………….2分
3 3
∴ tan A sin A 2 ………….3分
cos A 2
tan2A 2 tan A∴ 2 2 2 ……………………………………….5分1 tan A
2 2 2 2
（2）由 sin B ，得 cos B ， ……………………………………….6分
2 3 3
由 B (0, ) 2，所以sinB 1 cos B
1
， ………………………………………7分
3
则 sinC sin(A B) sin AcosB cos AsinB 6 ， ……………………………………….8分
3
csin A
由正弦定理，得a 2， ……………………………………….9分
sinC
∴ ABC S 1的面积为 acsinB 2 2 . ……………………………………….10分
2 3
18．【详解】（1）设数列 an 的公差为d ，
2 2
由 a1 2， a3 a1a9有： (2 2d ) 2 2 8d ， ………………………………………2分
解得 d 2或 d 0 (舍去) ……………………………………….3分
∴ an 2n . ……………………………………….5分
1 1（2） 2nb b ， ……………………………………….6分n n 1
1 1 2n, 1 1 2 n 1 , , 1 1∴ 2 2b b b b b b ， ……………………………………8分n n 1 n 1 n 2 2 1
1 1 2
将它们累加得： n n 2.bn b
………….10分
1
b 1
1 1 1 1 n
∴ n 2 ，则 Sn 1 n n 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 .
……………………………………….12分
19．
【详解】（1） DE∥ AB,DE 平面 PAB, AB 平面 PAB，
DE / /平面 PAB . ……………………………………….2分
DE 平面 PDE，平面 PDE 平面 PAB l，
DE / /l . ……………………………………….3分
由图①DE AC，得DE DA,DE DP，
l DA, l DP .
DA,DP 平面 ADP,DA DP D，
l 平面 ADP； ……………………………………….5分
（2）由题意，得DE DP 2,DA 1 .
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AP 5 DP 2 DA 2 , DA DP.
又DE DP,DE DA，以D为坐标原点，DA,DE,DP的方向分别为 x轴， y轴， z轴正方向，建立如图所
示的空间直角坐标系Dxyz . ……………………………………….6分
则D 0,0,0 ,E 0, 2,0 ,B 1,3,0 ,P 0,0, 2 ，
PD 0,0, 2 ,PE 0,2, 2 ,PB 1,3, 2 . ………………………………………7分
设平面 PBE的一个法向量为 n x, y, z .
n PB x, y, z 1,3, 2 x 3y 2z 0
则 n ，令 z 1，得 y 1, x 1，故
n PE x, y, z 0,2, 2 2y 2z 0
n 1,1,1 . ……………………………………….9分
设 PD与平面 PEB所成角为 .
n PD 1,1,1 0,0, 2
sin cos n,PD 2 3 . ……………………………………….11分
n PD 2 1 1 1 2 3 3
直线 PD与平面 PEB 3所成角的正弦值为 . ………………………………………12分
3
20．(1) f x 的定义域为 , ， f x ex a， ……………………………………….1分
当 a 0时， ' > 0，∴ f x 在 , 上单调递增. ……………………………………….2分
当 a<0时，令 f x 0，得 x ln a ，
当 x , ln a 时， f x 0； ………………………………………3分
当 x ln a , 时， ' > 0， ………………………………………4分
∴ f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a , 上单调递增. ……………………………………….5分
综上，当 a 0时， f x 在 , 上单调递增；
当 a<0时， f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a , 上单调递增……………………………….6分
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(2)由（1）知当 a 0时， f x 无极值； ……………………………………….7分
当 a<0 f x ln a 时， 存在极小值，且极小值为 f ln a e a ln a a a ln a ，无极大
值. ……………………………………….9分
设 g x x x ln x， x 0，则 g x ln x，
令 g x 0，得 x 1，当 x 0,1 时， g x 0，当 x 1, 时， g x 0，
……………………………….10分
∴ g x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减.∴ g x 的最大值为 g 1 1 ln1 1.
∴ f x 的极小值的最大值为 1. ………………………………………12分
3 3 1 1 1
21【详解】（1）甲与乙的比分是 4:0的概率为 ………………………………………1分
5 5 3 3 25
3 2 1 1 3 3 2 1 16
比分是 3:1的概率为 2 2 ……………………………………….2分
5 5 3 3 5 5 3 3 75
P 1 16 19故前 4球中,甲领先的概率 ……………………………………….4分
25 75 75
（2）依题意,接下来由甲先发球.继续对战奇数球后,甲获得 11分胜利,即甲 11:6或 11:8获胜,即在接下来的比
赛中,甲乙的比分为 5:0或 5:2,且最后一球均为甲获胜.
2 2
记比分为 5:0为事件A ,则 P(A) 3 1 3 3 ………………………………………6分
5 3 5 125
记比分为 5:2为事件 B ,即前 6场比赛中,乙获胜两场,期间甲发球 4次,乙发球两次
3 2 2 2 2P(B) C2 1 C2 2
2 4 3
3 2 3 2 1 1 52
1 14 5 5 3 2 3
C4 C2 ………………8分
5 5 5 3 3 3 625
3 52 67
故甲依题意获胜的概率为 ………………………………………10分
125 625 625
X 的所有可能取值为 3,5
由条件概率有, P(X 3)
52
,P(X 15 5) , ……………………………………….11分
67 67
故 X 的分布列为
X 3 5
52 15
P
67 67
……………………………………….12分
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22．【详解】（1）由题意点M 0, 2 是椭圆C的一个顶点，知b 2， …………………………………1分
因为△F1MF2是等腰直角三角形，所以 a 2b，即 a 2 2， ……………………………………….2分
x 2 y 2
所以椭圆C的标准方程为： 1． ……………………………………….4分
8 4
（2）若直线 AB的斜率存在，设其方程为 y kx m，由题意知m 2．
y kx m
由 x2
2
y2 ，得 1 2k x2 4kmx 2m2 8 0， ……………………………………….5分
1 8 4
由题意知 8(8k 2 4 m2 ) 0，设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
x x 4km x x 2m
2 8
所以 1 2 2 ， 1 2 2 ， ……………………………………….6分1 2k 1 2k
k k y1 2 y2 2 kx1 m 2 kx m 2因为 k1 k2 8
2
，所以 1 2 x1 x2 x1 x2
2k (m 2) x1 x2 2k m 2 4km
x x 2m2
8
1 2 8
，
k km 1所以 4，整理得m k 2， ……………………………………….8分
m 2 2
1 1 1
故直线 AB的方程为 y kx k 2，即 y k x 2，所以直线 AB过定点 , 2 ．2 2 2
………………………………………10分
若直线 AB的斜率不存在，设其方程为 x x0， A x0, y0 ， B x0 , y0 ．
y0 2 y0 2 1
由题意得 8x x ，解得 x0 ，0 0 2
1 1
此时直线 AB的方程为 x ，显然过点 , 2 ． ……………………………………….11分2 2
1
综上，直线 AB过定点 , 2
．……………………………………….12分
2
湛江市 2022-2023学年度第二学期期末高中调研测试 高二数学答案 第 8 页 （共 8页）
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