福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题（扫描版含答案）

龙岩市 2022～2023 学年第二学期期末高二教学质量检查
数学参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C B C D B
第 7 题 简 析 ： f x f x e x 2x 1 f x f x 2x 1 F (x) f x f x x , 令 x ， 所 以e e
F (x) x2 x c f (x) 2 x 2 x xx ，所以 f (x) ( x x c)e ，又 f 0 3，所以 f (x) ( x x 3)e ，又 f x 5e ，e
所以 x2 x 3 5，所以 1 x 2 .
2 ln
5
b ln 5 ln 2 2 f (x) ln x 1 x第 8 题简析：因为 5 ，构造 ，易得： f (x)max ，所以b a，又易得 e x 1，5 x e
2
1 1x e2022 2023 e (2023 )2022 1 (2022 2022令 ，得 ，所以 ，即 ) ，所以 a c，综上b a c .
2022 2022 2022 e 2023
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 9 10 11 12
答案 AB CD ABD BCD
第 11 题简析：作出函数 f (x)的图象，由图象可知 A 正确，B正确
对于 C 选项 f 2 x af x 0 f (x) 0或 f (x) a，由函数 f (x)的图象可知 a 0或 a 1，故 C 错误.
2
对于 D 选项 f x a f x 0 f (x) 0或| f (x) | a，由函数 | f (x) |的图象可知 (0,1)
2 3 1 2 3
第 12 题简析：由题意知点M 在 A1C1 上动点，点 N的轨迹为以 B1为圆心， 为半径的 圆弧，所以 B1N ，3 4 3
所以 A 错误；
易得 BD 平面 A1C1CA，所以CM BD，所以 B 正确；
当线段 MN 取最小值时， M 是 A1C1 的中点， N 为圆弧的中点，所以 B1N x(B1A1 B1C1) xB1D1 ，所以
2
B1N 3x 3 6 x y 6，所以 ，所以 C 正确；
B1D 61 2 2 3
当 1时，M 与C1重合，与 AM 垂直的平面，即与体对角线 AC1垂直的平面 ，显然 //平面 A1BD ，而与平面
A1BD 平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是 2 的正六边形，所以截面面积的最大值为
3
( 2)2 6 3 3
4 ，所以 D 正确.
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1 1
13． 1 14． 15． 2 16． ( , ]
3 2
x 1 ln x
第 16 题简析：法一：依题意： 2a e 在 0， 上恒成立，
x x
h x e x 1 ln x
2 x
设 ， h x x e ln x
x x x2
令 g x x2e x ln x ， g x 2xe x x2e x 1 0 ， 则 g x 在 0， 上 单 调 递 增 ，
x
g 1 1
1 1
e 2 ln 2
1 1
e 2 ln16 0， g 1 e 0 x

，所以 0 ,1 使 g x 0，
2 4 4 2
0

当 0 x x0 时， g x 0,h x 0,h x 在 0，x0 单调递减；当 x x0时， g x 0,h x 0,h x 在 0，x0 单调
ln 1
递增， h x min h x g x x 2 x0 ，由 00 0 e ln x 0 2 x x
ln x 1 1 x 1
0 得 x 00 e ln x0 , x0e 0 0 ln e 0 ln ，设x0 x0 x0 x0
w x xe x ，则 w x0 w ln
1 ， w x
1 1 1 1在 ， 上单调递增，所以 x0 ln
x
，即 x ln x ,e 00 0 ，故
x0 2 x0 x0
h x h x e x 1 ln x0 1 1 ln x x0min 0 0 0 1，所以 2a
1
1,a
x0 x0 x0 x0 x0 x0 2
法 二 ： f x xe x ln x 1 eln x x ln x 1 et， 可 证 t 1 ， 当 且 仅 当 t 0 时 取 “ ”， 令
t x ln x,eln x x x ln x 1 xe x x ln x 1, xe x，即 ln x 1 x
1 x
当 2a 1，即 a 时， xe ln x 1 x 2ax，此时不等式恒成立；
2
1
当 2a 1，即 a 时，设 h x x ln x，h x 0 1 1在 ， 上单调递增，h 1 0,h 1 1 0， x0 0,1 ，2 e e
使 h x0 0，
即 x 10 ln x0 0, x0 ln x ,e
x0 ， x e x0 x0 0 ln x0 1 ln x0 x0 2ax0 与 xe ln x 1 2ax恒成立矛盾，故x0
1
舍去，综上， a .
2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本题满分 10 分）
1 x
解：（1）因为a 0所以 f x
2x2
.
f x x 2所以 ...........................................
2x3
， 1 分
所以 f 1 1 ， ........................................... 2 分
2
又 f 1 0，
所以曲线 y f x 在点 1，f 1 处的切线方程为： x 2y 1 0 . .................4 分
2x2f x 4x a（2） 2 由函数 f x 在 x 1处取得极值可知： 2x2 a
f 1 0 6 a ，即 0，解得： a 6 . ...........................................6 分
2 a 2
f x 1 x f x 2 x 1 x 3 此时， 2 ， ,2x 6 2x2 2 6
当 x , 1 3, 时， f x 0，
当 x 1,3 时， f x 0 ,
所以 a 6符合题意.
综上， f x 的单调递增区间为 , 1 , 3, ， f x 的单调递减区间为 1,3 .
.................................................................................. 10 分
18．（本题满分 12 分）
证明：（1）证明：如图所示，取 PD中点M ，连接EM ,AM . …………1 分
E,M 分别为 PC,PD的中点，
EM //DC 1，且 EM DC .
2
又由已知，可得EM //AB且 EM=AB，
四边形 ABEM 为平行四边形，
BE //AM . ……3 分
又 AM 平面 PAD , BE 平面 PAD .
BE //平面 PAD . ………………4 分
（2）如图，以点 A为原点建立空间直角坐标系 A xyz，………………5 分
则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) ．
由E为棱 PC的中点，得E(1,1,1)．

向量 BD (－1,2,0)， PB (1,0,-2)．
设n= (x,y, z)为平面 PBD的法向量，
x 2y 0,
则
x 2z 0.
不妨令 y 1，得 x 2, z 1，即n= (2，1，1)为平面PBD的一个法向量．……8 分

又向量 BE (0,1,1)，
设直线BE 与平面PBD所成角为 ，

sin 2 3= |cos< n,BE> |= .……11 分
6 2 3
直线 BE 与平面 PBD 3所成角的正弦值为 .……12 分
3
19．（本题满分 12 分）
解：（1）由题意知样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值为：
x 10 0.1 30 0.2 50 0.3 70 0.25 90 0.15 53 , ........................ 2 分
又由 2 342， 342 18.5，
P(X 90) P(X 1 2 ) [1 P( 2 X 2 )] 0.02275 .
2
................................................................................ 5 分
3
（2）由题意，抽取 2 人进入复赛的人数Y ~ B(2, )，Y 0,1,2 .......................... 6 分
20
P(Y 0) C02 (
17)2 289 ,
20 400
P(Y 1) C1( 3 )(17 51 2 ) ，20 20 200
P(Y 2) C 22 (
3 )2 9 .
20 400
Y 的概率分布列为
Y 0 1 2
289 51 9
P
400 200 400
..............................................10 分
3 3
Y 的数学期望为 E(Y ) 2 . ............................................12 分20 10
20．（本题满分 12 分）
解：（1）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，
AA1 AB 2，∴矩形 ABB1A1为正方形，
又 E 是 A1B的中点，
AE A1B . .................................. 1 分
又 平面 A1BC 平面 ABB1A1，
平面 A1BC 平面 ABB1A1 A1B， E
且 AE 平面 ABB1A1 .
AE⊥平面 A1BC . .......................................3 分
又 BC 平面 AEBC ,
AE BC . .........................................4 分
（2）在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1 平面 ABC .
又 BC 平面 A1BC ,
BB1 BC .
又 AE BC ,
AE,BB1 平面 ABB1A1且相交,
BC 平面 ABB1A1 .
所以 BC,BA,BB1两两垂直.
所以如图以 B为原点，建立空间直角坐标系. ..................................................... 6 分
A1BC的面积为2 2 ,
BC 2 .
则 A 0,2,0 , A1 0,2,2 ,B 0,0,0 ,C 2,0,0 ,E(0,1,1) ,
A1C (2, 2, 2), AE (0, 1,1) .
设 A1D A 1
C (2 , 2 , 2 )(0 1)，

BD BA1 A1D (2 , 2 2 , 2 2 ) .
又 BA 0,2,0 ,BC 2,0,0 ,

设平面 ABD的法向量m x, y, z ，

m BD 2 x (2 2 )y (2 2 )z 0
则 ，
m BA 2y 0
不妨取 z ，则 x 1 , y 0，

∴m 1 ,0, ，.................................................................................................8 分

由（1） AE⊥平面 A1BC，∴平面 BCD的一个法向量 n AE 0, 1,1 , ..9 分

cos m,n m n | cos 2 | 1 ...........................11 分
m n (1 )2 2 2 3 2
1
解得 .
2
又由图可知当D为 A1C的中点时，二面角 A BD C为钝二面角符合题意，
综上，在 A1C
AD 1
上存在一点 D，此时 1 ，
A1C 2
使得二面角 A BD C 2 的大小为 . .......................................... 12 分
3
21．（本题满分 12 分）
解：（1）（ⅰ）根据散点图可得 y随 x的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断 y c d x适合作为人次 y
关于活动推出天数 x的回归方程类型. .............................................................. 2 分
x
（ⅱ）由（ⅰ）知， y c d ，两边同时取对数得 ln y ln c ln d x，
令 ln y v, ln c m, ln d n, 则 v nx m,由题意知，
7
又 x 1 (1 2 3 4 5 6 7) 4, x 2 140 ，
7 ii 1
7
xivi 7xv
所以 n i 1 134.82 7 4 4.24 ,7 2 2 =0.575
x2 7x 140 7 4i
i 1
所以m v n x 4.24 0.575 4 1.94 ，所以 v 1.94 0.575x，..................4 分
c e1.94 6.96 0.575， d e 1.78 ,
则 y关于 x的回归方程为 y 6.96 1.78x . ........................... 6 分
（2）依题意 X 服从超几何分布，
当 N 450时， P(X 50) 0，
C 50 C 250 C 50 C 250
当 N 450时， P(X 50) 200 N 200 f (N ) 200 N 200300 ，记 300 , .............8 分CN CN
f (N 1) C 250 300 2
N 1 200
CN (N 199)(N 299) N 498N 299 199
则 300 250 f (N ) CN 1CN 200 (N 1)(N 449) N
2 448N 449 ,
由 N 2 498N 299 199 N 2 448N 449解得 N 1199 , .....................10 分
所以当 450 N 1198时 f (N 1) f (N ) ,
当 N 1199时 f (1200)=f (1199) ,
当 N 1200时 f (N 1) f (N ) ,
故当 N 1199或 N 1200时 f (N )最大，所以 N 的估计值为1199或1200 . …12 分
22.（本题满分 12 分）
解：（1） f x 1 ax 1 a (x 0) , ...................................1 分
x x
①若a 0，则 f x 0，即 f x 在 0, 单调递减,
②若a 0，令 f x 0 1，有 x ，令 f x 0 1，有0 x ，
a a
即 f x 0, 1 1 在 单调递减，在 , 单调递增, ...........................3 分
a a
综上： a 0， f x 在 0, 单调递减,
若 a 0 f x 0, 1 1 ， 在 单调递减，在 , 单调递增. .......................... 4 分
a a
2
（2） g x x ax ln x b ax x ln x b，
令 g x 0得： ax2 x ln x b 0，
因为 x 0， ax ln x b 0，因为 x1, x2是 g x 的两个零点，x
所以， ax1 ln x
b b
1 0,ax2 ln x2 0， ......................................6 分x1 x2

所以 a x1 x2 ln x2 ln x
1 1
1 b 0 ,
x x 1 2
b ax x x1x2 ln x 2 ln x1 1 2 ， .................................................7 分x2 x1
要证明 x2 ax1 1 b x1 ax2 1 ，
只需证 ax1x2 x2 b ax1x2 x1，
ln x ln x
即证明 x2 x x 2 11 2 xx2 x
1
1
1 x1 ln x2 x2 1 t x变形为 ，令 2 1，
x2 x1 x1 x1
则证明1 1 ln t t 1, ............................................. 9 分
t
设 h t ln t 1 1 t 1 ， h t t 1 2 0， h t 在 1, 单调递增， t t
所以 h t h 1 0 ln t 1 1，即 ,
t
设u t ln t t 1 ，u t 1 t 0，u t 在 1, 单调递减，
t
所以，u t u 1 0，即， ln t t 1，
综上： x2 ax1 1 b x1 ax2 1 . ............................................. 12 分