北师大版数学九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习 (含答案)

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名称 北师大版数学九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习 (含答案)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2023-07-05 13:53:50

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2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1.方程的解是
A. B. C.或 D.或
2.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根,则该等腰三角形的底边长为( )
A.2 B.4 C.8 D.2或4
3.已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为(  )
A.10 B.14 C.10或14 D.8或10
4.关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m≠0)的解是x1=-2,x2=3,则方程a(x+m-5)2+n=0的解是(  )
A.x1=-2,x2=3 B.x1=-7,x2=-2
C.x1=3,x2=-2D.x1=3,x2=8
5.若,则代数式的值( )
A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3
6.用换元法解方程+=2时,若设=y,则原方程可化为关于y的方程是(   )
A.y2﹣2y+1=0 B.y2+2y+1=0 C.y2+y+2=0 D.y2+y﹣2=0
二、填空题
7.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是_____.
8.关于的一元二次方程有一个根是,则的值是_______.
9.对于实数,定义运算“◎”如下:◎.若◎,则_____.
10.已知(x2+3x)2+5(x2+3x)+6=0,则x2+3x值为_____.
11.设a,b是一个直角三角形两条直角边的长,且,则这个直角三角形的斜边长为________.
12.如果--8=0,则的值是________.
三、解答题
13.解方程:
(1) (2)
(3)x2+6x+5=0; (4)2(x 1)2=3x 3;
(5). (6).
(7); (8).
(9); (10).
(11) (12)
(13) (14)
14.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:
(1)求与之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?
15.“通过等价变换,化复杂为简单,化陌生为熟悉,化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如:解方程x﹣=0,就可利用该思维方式,设=y,将原方程转化为:这个熟悉的关于y的一元二次方程,解出y,再求x.这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下列问题:
(1)填空:若,则的值为   ;
(2)直接写出方程的根;
(3)解方程:2﹣8=0.
16.阅读下列问题与提示后,将解方程的过程补充完整,求出x的值.
问题:解方程(提示:可以用换元法解方程),
17. 若m,n,p满足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+p的值.
18.阅读材料:一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解.如解方程:.
解:令,则原方程变为,解得,.
当时,即,∴,.
当时,即,∴,.
所以原方程的解是,,,.
根据上述材料解方程.
19.阅读下列材料,解答问题:
为解方程,我们可以将视为一个整体,然后设,则,原方程可化为,解此方程得.当时,,∴;当时,,∴,∴原方程的解为.
(1)填空:在原方程得到方程(*)的过程中,利用________法达到了降次的目的,体现了________的数学思想;
(2)解方程:
20.问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以
把代入已知方程,得
化简,得:
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式)
(1)已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为: ;
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根,求一个一元二方程,使它的根分别是已知方程的倒数.
答案
一、单选题
C.A.B.D.B.A.
二、填空题
7.2或﹣1
8.1.
9.-3或4
10.﹣2.
11.
12.4或-2.
三、解答题
13.解:(1)方程移项得:,
开方得:,
解得:,;
(2)方程移项得:,
分解因式得:,
解得:,.
(3)x2+6x+5=0,
x2+6x=-5,
x2+6x+9=-5+9,
(x+3)2=4,
解得:x+3=±2,
x1=-1,x2=-5;
(4)2(x 1)2=3x 3,
2(x 1)2=3(x 1),
∴(x 1)(2x 2 3)=0,
∴x 1=0,2x 2 3=0,
∴x1=1,x2=2.5.
(5),
∴,
∴,;
(6),
∴,
∴,,
∴,.
(7),
∴,

(8),
∴,
∴,
,.
(9)x2-2x+1=0,
∴(x-1)2=0,
∴ x1=x2=1;
(10)x(x+3)-(2x+6)=0,
∴(x+3)(x-2)=0,
∴x+3=0或x-2=0,
解得 x1=-3,x2=2.
(11),
分解因式得:,
即:或,
∴,;
(12),
移项,分解因式得:,
即:或,
∴,;
(13),
分解因式得:,
即:或,
∴,;
(14),
化简得:,
分解因式得:,
∴.
14.解:(1)设一次函数解析式为:,根据图象可知:当,;当,;
∴,解得:,
∴与之间的函数关系式为;
(2)由题意得:,
整理得:,解得:.,
∵让顾客得到更大的实惠,∴.
答:商贸公司要想获利2090元,这种干果每千克应降价9元.
15.解:(1)设,原方程转化为,解得,,
当t=0时,;当时,(舍去);
所以的值为0;
故答案为0;
(2)设,原方程转化为,解得,,
当t=1时,则,解得,
当t=2时,则|x|=2,解得,
所以原方程的解为,,,;
(3)设=t,原方程转化为,解得,,
当t=﹣4时,=﹣4,不合题意舍去;
当t=2时,=2,则,解得=,=,
经检验,原方程的解为=,=.
16.设,则有,
原方程可化为:,


解得,(不合题意,舍去),

,,

经检验都是方程的解.
17. 解 :本题由m-n=8,可得:
m=n+8,
把m=n+8代入mn+p2+16=0,
得n2+8n+16+p2=0,即(n+4)2+p2=0,
根据非负数的非负性质可求出n=-4,p=0,
所以m=4,
又因为(n+4)2≥0,p2≥0,
所以,解得,
所以m=n+8=4,
所以m+n+p=4+(-4)+0=0.
18.令,则原方程变为,
解得,.
当时,即,∴,.
当时,即,∴,.
∴原方程的解是,,,.
19.解:(1) 由题意,得
在原方程得到方程y2-5y+4=0的过程中,利用了换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想.
故答案为:换元,转化;
(2)设,则原方程可化为,
解得
当时,,
解得或;
当时,,
解得或,
∴原方程的解为.
故答案为:(1)换元 转化;(2)
20.解:(1)y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则(x≠0),于是(y≠0).
把代入方程,得,
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有,可得有一个解为x=0,与已知不符,不符合题意.
∴c≠0.
∴所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).