北师大版数学九年级上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习 （含答案）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．方程的解是
A． B． C．或 D．或
2．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
3．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
4．关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=-2，x2=3，则方程a（x+m-5）2+n=0的解是（　　）
A．x1=-2，x2=3 B．x1=-7，x2=-2
C．x1=3，x2=-2D．x1=3，x2=8
5．若，则代数式的值（ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．1或-3
6．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
二、填空题
7．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是_____．
8．关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．
9．对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
10．已知(x2+3x)2+5(x2+3x)+6=0，则x2+3x值为_____．
11．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.
12．如果－－8=0，则的值是________．
三、解答题
13．解方程：
（1） （2）
（3）x2+6x+5=0； （4）2（x 1）2=3x 3；
（5）． （6）．
（7）； （8）．
（9）； （10）．
（11） （12）
（13） （14）
14．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
15．“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：
（1）填空：若，则的值为　 　；
（2）直接写出方程的根；
（3）解方程：2﹣8＝0．
16.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
17. 若m，n，p满足m－n=8，mn＋p2＋16=0，求m＋n＋p的值.
18．阅读材料：一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：．
解：令，则原方程变为，解得，．
当时，即，∴，．
当时，即，∴，．
所以原方程的解是，，，．
根据上述材料解方程．
19．阅读下列材料，解答问题：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程得.当时，，∴；当时，，∴，∴原方程的解为.
(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；
(2)解方程：
20．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以
把代入已知方程，得
化简，得：
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数．
答案
一、单选题
C．A．B.D.B.A．
二、填空题
7．2或﹣1
8.1．
9．-3或4
10.﹣2．
11．
12.4或-2.
三、解答题
13.解：（1）方程移项得：，
开方得：，
解得：，；
（2）方程移项得：，
分解因式得：，
解得：，．
（3）x2+6x+5＝0，
x2+6x＝-5，
x2+6x＋9＝-5＋9，
（x+3）2＝4，
解得：x+3＝±2，
x1＝-1，x2＝-5；
（4）2（x 1）2＝3x 3，
2（x 1）2＝3（x 1），
∴（x 1）（2x 2 3）＝0，
∴x 1＝0，2x 2 3＝0，
∴x1＝1，x2＝2.5．
（5），
∴，
∴，；
（6），
∴，
∴，，
∴，．
（7），
∴，
；
（8），
∴，
∴，
，．
（9）x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴ x1=x2=1；
（10）x（x+3）-（2x+6）=0，
∴（x+3）（x-2）=0，
∴x+3=0或x-2=0，
解得 x1=-3，x2=2．
（11），
分解因式得：，
即：或，
∴，；
（12），
移项，分解因式得：，
即：或，
∴，；
（13），
分解因式得：，
即：或，
∴，；
（14），
化简得：，
分解因式得：，
∴．
14.解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：．，
∵让顾客得到更大的实惠，∴.
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
15.解：（1）设，原方程转化为，解得，，
当t＝0时，；当时，（舍去）；
所以的值为0；
故答案为0；
（2）设，原方程转化为，解得，，
当t＝1时，则，解得，
当t＝2时，则|x|＝2，解得，
所以原方程的解为，，，；
（3）设＝t，原方程转化为，解得，，
当t＝﹣4时，＝﹣4，不合题意舍去；
当t＝2时，＝2，则，解得＝，＝，
经检验，原方程的解为＝，＝．
16.设，则有，
原方程可化为：，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，，
，
经检验都是方程的解．
17. 解 ：本题由m－n＝8,可得:
m＝n＋8,
把m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0,
得n2＋8n＋16＋p2＝0,即(n＋4)2＋p2＝0,
根据非负数的非负性质可求出n=－4,p=0,
所以m=4,
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以，解得，
所以m＝n＋8＝4，
所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
18.令，则原方程变为，
解得，．
当时，即，∴，．
当时，即，∴，．
∴原方程的解是，，，．
19.解：(1) 由题意，得
在原方程得到方程y2-5y+4=0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：换元，转化；
(2)设，则原方程可化为，
解得
当时，，
解得或；
当时，，
解得或，
∴原方程的解为.
故答案为：(1)换元 转化；(2)
20.解：（1）y2－y－2=0．
（2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）．
把代入方程，得，
去分母，得a+by+cy2=0．
若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意．
∴c≠0．
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．