6.4平面向量的应用专题训练：正余弦定理求三角形周长、面积的最值-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（有答案）

专题训练—正余弦定理求面积、周长最值
一、解答题
1．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.
(1)求的值；
(2)若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．在中，，，．
(1)求；
(2)若角为钝角，求的周长．
3．是钝角三角形，内角所对的边分别为，则最大边的取值范围为__________.
4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.
(1)求C；
(2)若角C的平分线交AB于点D，且，求的最小值.
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.
(1)当 时，求的面积;
(2)求周长的取值范围.
6．在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
7．已知内角所对的边长分别为.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．(1)(2)
【详解】（1）若选①，由已知得，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
若选②，由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
又，所以，所以，又，
由，，解得.
（2）由的面积为2，得，所以，由（1）可得，
由余弦定理得，所以，所以，
所以的周长为.
2．(1) (2)18
【详解】（1）
在中，因为，所以，
因为，，所以，
由，得，
解得
（2）因为，为钝角，所以，
由得，
整理得，解得或（舍），所以.
所以的周长为.
3．
在中，由余弦定理可得：，可得，又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：.
4．(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，所以，
又，则，所以，又因，所以；
（2）因为角C的平分线交AB于点D，
所以，由，得，
即，所以，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
5．(1)
(2)
【详解】（1）由，得 ，
即，即，当 时，，得;当时，，由正弦定理得，
由余弦定理及已知条件可得，联立. 解得，
故三角形的面积为.（2）法一：由余弦定理可得:，
由得，当且仅当a=b取等号.又，即.
即周长的取值范围是. 法二:，
中，由正弦定理有，
.即周长的取值范围是.
6．(1)(2) 解：选①：因为，
由，可得，由正弦定理得:
，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，因为，所以.选②：因为，
由正弦定理得，又因为，可得，则，
即，可得，因为，所以.选③：因为，可得，由余弦定理得，又因为，所以.
（2）解：因为，且， 由余弦定理知，即，
可得，又由，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的面积，即的面积的最大值为.
7．(1) (2)
【详解】（1）由余弦定理得，即，
所以，又，则.
（2）法一：为锐角三角形，，则，
所以，可得，
又，则，故
由，即而，
所以，故面积的取值范围为.
法二：由，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点落在线段（端点除外）上，
当时，，
当时，，
.
答案第3页，共4页