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1.2集合间的基本关系（分层练习）
【练基础】
1.（多选）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )
A． A B．－2∈A
C．{0,2} A D．A {y|y<3}
【解析】由题得集合A＝{0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0,2}，所以C，D正确，B错误.
故选ACD.
2.（多选）下列选项中的两个集合相等的有( )
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}
C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝
D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}
【解析】A中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，所以P＝Q；B中P是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3,5,7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1 Q，所以P≠Q；C中P＝{0,1}，当n为奇数时x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，所以Q＝{0,1}，P＝Q；D中集合P表示直线y＝x＋1上点的横坐标构成的集合，而集合Q表示直线y＝x＋1上点的坐标构成的集合，所以P≠Q.
故选AC.
3. 已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B A，则X可以取的值为( )
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6 D．1，2，6
【解析】由B A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6.
故选D.
4. 已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③ A；④{3，－3} A.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
【解析】根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3} A，错误；
③ A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3} A，任何集合都是其本身的子集，正确；共有3个正确．
故选B.
5. 已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
【解析】方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，
所以方程有两个不相等的实数根，
所以集合M有2个元素，所以集合M有22＝4个子集．
故选C.
6. 若集合A＝{x|x≥0}，且B A，则集合B可能是( )
A．{1,2} B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1} D．R
【解析】因为集合A＝{x|x≥0}，且B A，所以集合B是集合A的子集。当集合B＝{1,2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1 A，不满足题意；当集合B＝{－1,0,1}时，－1 A，不满足题意；当集合B＝R时，－1 A，不满足题意.
故选A.
7. 已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
【解析】由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q P，a＝1或a＝－1.
故选D.
8. （多选）集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值可以为( )
A.2 B.－1
C.－2 D.4
【解析】∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或－1.
故选AB.
【练综合】
1. 集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是( )
A.SPM B.S＝PM
C.SP＝M D.P＝MS
【解析】由题意知M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，S＝{…，－7，3，13，23，…}，故SP＝M.
故选C.
2. 已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( )
A．A B B．AB
C．BA D．A∈B
【解析】因为x A，所以B＝{ ，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B.
故选D.
3. 已知非空集合P满足：(1)P {1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________.
【解析】由a∈P，6－a∈P，且P {1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4时同选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共7个.
4. 已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A B时，求实数m的取值范围．
【解析】集合A在数轴上表示如图．
要使A B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，
即x<－知，－≤－2，
即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8.
5. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝ 满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.
综上可知，当m≤3时，B A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
(3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，
即m＜2时，B＝ 满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有或
解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．
6. 已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}.
(1)若M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1，
∴实数a的取值范围是{a|a≥－1}.
(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M N，
∴当M＝时，Δ＝22－4×(－a)<0，得a<－1；
当M≠时，当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M N，符合题意.
当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
若M N，则M＝N，
从而无解.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}.
【练思维】
1. 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
【解析】x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
故选B.
2. 定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．16 D．15
【解析】由题中所给定义，可知P－Q＝{1,2,3,4,5}，所以P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.
故选B.
3. 已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________.
【解析】集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每个元素出现在A的4个子集，即在其和中出现4次.故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.
4. 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
【解析】由题意知C {0，2，4，6，7}，C {3，4，5，7，10}，所以C {4，7}．又因为C≠，所以C＝{4}，{7}或{4，7}．
【练创新】
1. 设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则( )
A．MN B．NM
C．M∈N D．N∈M
【解析】①当n＝2m，m∈Z时，x＝2n＋1＝4m＋1，m∈Z，
②当n＝2m＋1，m∈Z时，x＝2n＋1＝4m＋3，m∈Z，
综合①②得：集合N＝{x|x＝4m＋1或x＝4m＋3，m∈Z}，又集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，即MN.
故选A.
2. 已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2·(x2＋3x－4)＝0}，集合P是否能成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.
【解析】当P＝时，P是Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
当P≠时，由于Q＝{－1，－4，1}，因此
当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝－4，此时P＝{4，－1}，不是Q的一个子集；
当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝－28，此时P＝{－4，7}，不是Q的一个子集；
当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个实数根，所以m＝2，此时P＝{1，2}，不是Q的一个子集.
综上所述，若集合P能成为集合Q的一个子集，满足条件的m的取值范围是.
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1.2集合间的基本关系（分层练习）
【练基础】
1.（多选）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )
A． A B．－2∈A
C．{0,2} A D．A {y|y<3}
2.（多选）下列选项中的两个集合相等的有( )
A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n＋1)，n∈Z}
B．P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}
C．P＝{x|x2－x＝0}，Q＝
D．P＝{x|y＝x＋1}，Q＝{(x，y)|y＝x＋1}
3. 已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B A，则X可以取的值为( )
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6 D．1，2，6
4. 已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③ A；④{3，－3} A.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
5. 已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
6. 若集合A＝{x|x≥0}，且B A，则集合B可能是( )
A．{1,2} B．{x|x≤1}
C．{－1,0,1} D．R
7. 已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
8. （多选）集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值可以为( )
A.2 B.－1
C.－2 D.4
【练综合】
1. 集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是( )
A.SPM B.S＝PM
C.SP＝M D.P＝MS
2. 已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是( )
A．A B B．AB
C．BA D．A∈B
3. 已知非空集合P满足：(1)P {1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________.
4. 已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A B时，求实数m的取值范围．
5. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
6. 已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}.
(1)若M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M N，求实数a的取值范围.
【练思维】
1. 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
2. 定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．16 D．15
3. 已知集合A＝{1,3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________.
4. 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
【练创新】
1. 设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则( )
A．MN B．NM
C．M∈N D．N∈M
2. 已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|(x＋1)2·(x2＋3x－4)＝0}，集合P是否能成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.
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