北师大版数学九年级上册 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 教案

2.4　用因式分解法求解一元二次方程
整体设计
教学目标
【知识与技能】　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　会用因式分解法解一元二次方程.
【过程与方法】
能根据一元二次方程的特征,选择适当的求解方法,体会解决问题的灵活性和多样性.
【情感态度与价值观】
体会用因式分解实现“降次”、“化归”的思想方法.
教学重难点
【重点】　用因式分解法解一元二次方程.
【难点】　将方程右边化为零后,对左边进行正确的因式分解.
教学准备
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习因式分解的方法.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
1.用配方法解一元二次方程的关键是什么 (将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式)
2.用公式法解一元二次方程应先做什么 (将方程化为一般形式)
3.选择合适的方法解下列方程.
(1)x2-6x＝7;　(2)3x2＋8x-3＝0.
[设计意图]　以问题串的形式引导学生思考,回忆两种解一元二次方程的方法,有利于学生衔接前后知识,形成清晰的知识脉络,为学生后面的学习做好铺垫.
导入二:
在上课之前,要求大家复习因式分解的方法,下面我们看一个小问题:
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果相等,这个数是几 你是怎样求出来的
小颖、小明、小亮都设这个数为x,根据题意,可得方程x2＝3x,但是他们的解法却各不相同.
小颖:由方程,得x2-3x＝0,因此x＝,所以x1＝0,x2＝3,所以这个数是0或3.
小明:方程x2＝3x的两边同时约去x,得x＝3.所以这个数是3.
小亮:由方程x2＝3x,得x2-3x＝0,即x(x-3)＝0,于是x＝0或x-3＝0,因此x1＝0,x2＝3,所以这个数是0或3.
他们做得对吗 为什么 你是怎么做的
[设计意图]　这个问题比较简单,学生未必选用配方法或公式法求解,部分学生可能会选用小明和小亮的方法.“你是怎样求出来的 ”意在引导学生思考其他求解方法,学生的解法可能是多种多样的.
新知构建
一、概念引入
思路一
　[过渡语]　同学们,老师被一道题难住了,想请同学们帮助一下.
【课件】　一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 如果能,这个数是几 你是怎样求出来的
学生独自完成,教师巡视指导,选择不同答案准备展示.
【生1】　设这个数为x,
根据题意,可列方程x2＝3x,
∴x2-3x＝0,∵a＝1,b＝-3,c＝0,
∴b2-4ac＝9,∴x1＝0,x2＝3,
∴这个数是0或3.
【生2】　设这个数为x,
根据题意,可列方程x2＝3x,
∴x2-3x＝0,∴x2-3x＋,
即,
∴x-或x-＝-,
∴x1＝3,x2＝0,∴这个数是0或3.
【生3】　设这个数为x,
根据题意,可列方程x2＝3x,
∴x2-3x＝0,即x(x-3)＝0,
∴x＝0或x-3＝0,∴x1＝0,x2＝3,
∴这个数是0或3.
【生4】　设这个数为x,
根据题意,可列方程x2＝3x,
两边同时约去x,得x＝3,
∴这个数是3.
【师】　同学们在下面用了多种方法解决此问题,观察以上四个同学的做法,是否存在问题 你认为哪种方法更合适 为什么
【生5】　我认为第四位同学的做法不正确,因为要方程两边同时约去x,必须确保x不等于0,但题目中没有说明.
【生6】　补充一点,刚才讲x需确保不等于0,而此题恰好x＝0,所以不能约去,否则会丢根.
【师】　这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密,相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励,激发学生的学习热情)现在请第三位同学为大家说说他的想法.
【生3】　由x(x-3)＝0,得x1＝0或x2＝3,因为我想3×0＝0,0×(-3)＝0,0×0＝0,反过来,如果ab＝0,那么a＝0或b＝0,所以a与b至少有一个等于0.
【师】　好,这时我们可这样表示:如果a×b＝0,那么a＝0或b＝0,这就是说,当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时,这两个一元一次方程中用的是“或”,而不用“且”,所以由x(x-3)＝0得到x＝0或x-3＝0时,中间应写上“或”字.
我们再来看第三位同学解方程x2＝3x的方法,他是把方程的一边变为0,而另一边分解成两个因式的乘积,然后利用若ab＝0,则a＝0或b＝0,把一元二次方程变成一元一次方程,从而求出方程的解.我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就采用因式分解法来解一元二次方程.
[设计意图]　通过独立思考,使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感态度,提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展,同时进一步点明因式分解的理论依据及实质,总结本节课的重点.
思路二
　[过渡语]　(针对导入二)同学们,下面我们来总结一下他们三个同学的做法.
小明的做法是不正确的,方程两边同时除以x,这样解使方程少了一个解,原因在于两边同时除以的因式x可能为0,而方程两边不可以同时除以0.
点评:如果ab＝0,那么a＝0或b＝0.(注意:这里用的是“或”而不是“且”,要和学生解释清楚原因)
总结:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用小亮的方法求解,这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
我们再来看下面哪些方程用因式分解法求解比较简便
(1)x2-2x-3＝0;
(2)(2x-1)2-1＝0;
(3)(x-1)2-18＝0;
(4)3(x-5)2＝2(5-x).
分析:第(1)(4)小题用因式分解法求解比较简便.
结论:如果一个一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积,那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解.
[设计意图]　本环节通过教师引导来组织同学探究因式分解法解一元二次方程的一般步骤和思路.
二、例题讲解
　[过渡语]　同学们,下面我们通过例题来熟悉用因式分解法解一元二次方程.
(教材例题)解下列方程.
(1)5x2＝4x;　(2)x(x-2)＝x-2.
〔解析〕　第(1)小题先化为一般形式,再提取公因式分解因式求解.第(2)小题先移项,然后把x-2看成一个整体,提取公因式求解.
解:(1)原方程可变形为5x2-4x＝0,
即x(5x-4)＝0,
∴x＝0或5x-4＝0,
∴x1＝0,x2＝.
(2)原方程可变形为x(x-2)-(x-2)＝0,
即(x-2)(x-1)＝0,
∴x-2＝0或x-1＝0,
∴x1＝2,x2＝1.
　解下列方程.
(1)x2-4＝0;　(2)(x＋1)2-25＝0.
〔解析〕　第(1)小题方程的右边是0,左边x2-4可分解因式,即x2-4＝(x-2)(x＋2),这样,方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解.第(2)小题方程的右边是0,左边是(x＋1)2-25,可以把x＋1看做一个整体,这样左边就是一个平方差,利用平方差公式即可分解因式,从而求出方程的解.
解:(1)原方程可化为(x＋2)(x-2)＝0,
∴x＋2＝0或x-2＝0,
∴x1＝-2,x2＝2.
(2)原方程可化为[(x＋1)＋5][(x＋1)-5]＝0,
∴(x＋1)＋5＝0或(x＋1)-5＝0,
∴x1＝-6,x2＝4.
[知识拓展]　一元二次方程四种基本解法的比较如下表所示:
方法 适合方程类型 注意事项
直接开平方法 (x＋a)2＝b b≥0时有解,b<0时无解.
配方法 x2＋px＋q＝0 二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方.
公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) b2-4ac≥0时,方程有解;b2-4ac<0时,方程无解.先化为一般形式后,再用公式法求解.
因式分解法 方程的一边为0,另一边可分解成两个一次因式的积. 方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式.
课堂小结
当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,可用因式分解法来解一元二次方程.
检测反馈
1.一元二次方程(x-1)(x-2)＝0可化为一元一次方程:　　　　　　或　　　　　　,方程的根是　　　　　　　　.
解析:(x-1)(x-2)＝0可化为一元一次方程:x-1＝0或x-2＝0,求得方程的根为x1＝1,x2＝2.
答案:x-1＝0　x-2＝0　x1＝1,x2＝2
2.方程3x2＝0的根是　　　　,方程(y-2)2＝0的根是　　　　,方程(x＋1)2＝4(x＋1)的根是　　　　　　.
答案:x1＝x2＝0　y1＝y2＝2　x1＝-1,x2＝3
3.解方程x(x＋1)＝2时,要先把方程化为　　　　　　,再选择适当的方法求解.方程的两根为x1＝　　　　,x2＝　　　　.
答案:x2＋x-2＝0　1　-2
4.用因式分解法解下列方程.
(1)x2＋16x＝0;
(2)5x2-10x＝-5;
(3)x(x-3)＋x-3＝0;
(4)2(x-3)2＝9-x2.
解:(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0,
∴x＝0或x＋16＝0,
∴x1＝0,x2＝-16.
(2)原方程可变形为x2-2x＋1＝0,
即(x-1)2＝0,
∴x1＝x2＝1.
(3)原方程可变形为(x-3)(x＋1)＝0,
∴x-3＝0或x＋1＝0,
∴x1＝3,x2＝-1.
(4)原方程可变形为2(x-3)2＋x2-9＝0,
即(x-3)(2x-6＋x＋3)＝0,
即(x-3)(3x-3)＝0,
∴x-3＝0或3x-3＝0,
∴x1＝3,x2＝1.
板书设计
2.4　用因式分解法求解一元二次方程
1.概念引入
2.例题讲解
布置作业
【必做题】
教材第47页随堂练习.
【选做题】
教材第47页习题2.7的1题.