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2.3简谐运动的回复力和能量
考点一、回复力 1
考点二、简谐运动的能量 5
考点三、简谐运动中各物理量的变化 5
【巩固练习】 9
考点一、回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
（2023春 南海区校级期中）对于简谐运动的回复力和位移的关系，下列图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据F＝﹣kx可知，回复力F与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反，回复力F与位移x的关系图像为一条直线，斜率为负值，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023春 大兴区期中）如图是弹簧振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．1s时，回复力最大
B．1s末，机械能最小，2s末机械能最大
C．1s末、3s末、5s末回复力均相同
D．0～6s是一个完整的周期
【解答】解：A、由图可知在第1秒末，振子的位移最大，离平衡位置最远且沿x正方向，故A正确；
B、由图可知在第1秒末，振子的位移最大，势能最大，动能为零。由于简谐运动系统的机械能守恒，所以t＝1s和t＝2s振动系统的机械能相等，故B错误；
C、根据回复力的公式F＝﹣kx，即回复力的大小与位移成正比，但方向始终与位移方向相反，t＝1、5s时回复力为负，t＝3s时回复力为正，故C错误；
D、完成一次全振动所需的时间称为周期，从图象可以看出周期T＝4s，故D错误。
故选：A。
（2022秋 慈溪市期末）在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（ ）
A．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
B．乘客只有在地心处才处于完全失重状态
C．乘客在地心处的回复力最小
D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离的平方成反比
【解答】解：AC、乘客做简谐运动，地心是简谐运动的平衡位置，此时回复力最小为零，乘客到达地心即到达平衡位置时速度最大，加速度最小为零，故A错误，C正确；
B、乘客在地心时位于平衡位置，所受合力为零，处于平衡状态，不是完全失重状态，故B错误；
D、地心是简谐运动的平衡位置，乘客做简谐运动，万有引力提供回复力，回复力与相对于平衡位置的位移大小，即相对于地心的距离成正比，即乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离的成正比，故D错误。
故选：C。
（2023 电白区校级模拟）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在C点和D点的回复力相同
C．t＝0.3s时，振子的速度方向为竖直向上
D．t＝0.75s到t＝1.25s的时间内，振子通过的路程为cm
【解答】解：A.O点为平衡位置，回复力为0，重力和弹簧弹力提供回复力，弹簧的弹力不为0，故A错误；
B.振子在C、D的回复力大小相同，方向不同，故B错误；
C.t＝0.3s时，振子的速度方向竖直向上，故C正确；
D.简谐运动位移表达式为：，t＝0.75s时，；当t＝1.25时，
在0.75s到1.25s内，振子通过的路程为：，故D错误。
故选：C。
（2023春 新会区校级期中）如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示．已知弹簧的劲度系数为0.5N/cm.则（ ）
A．在t＝2.75s时，振子的位移和速度方向相同
B．在t0时，振子所受的回复力大小为0.5N
C．在t＝1.5s时，弹簧振子的弹性势能最大
D．振子的振动方程为x＝5sin（2πt）cm
【解答】解：A、在t＝2.75s时，振子的位移为正，但向平衡位置运动，即速度方向为负，故振子的位移和速度方向相反，故A错误；
B、根据胡克定律F＝kx可知在t0时，振子所受的回复力大小为2N，故B错误；
C、在t＝1.5s时，弹簧振子的位移大小最大，弹性势能最大，故C正确；
D、根据图像可知弹簧振子的周期为T＝2s，故振子的振动方程为x＝5sin（）cm＝5sin（πt）cm，故D错误。
故选：C。
考点二、简谐运动的能量
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
4．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
考点三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
（2022秋 崂山区校级期末）如图是单摆做阻尼振动的位移﹣时间图象，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼振动是一种受迫振动
B．摆球在P与N时刻的势能相等
C．摆球在P与N时刻的动能相等
D．摆球在P与N时刻的机械能相等
【解答】解：A、阻尼振动是由于受到阻力而做的运动，受迫振动是由于受到驱动力而做的运动，故A错误；
BCD、由于单摆在运动过程中要克服阻力做功，振幅逐渐减小，摆球的机械能逐渐减少，所以摆球在P点所对应时刻的机械能大于在N点所对应的机械能，摆球的势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的（Ep＝mgh）。单摆摆球的质量是定值，由于PN两时刻摆球的位移大小相同，故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同，势能也相同，但由于P点的机械能大于N点的机械能，所以P点对应时刻的动能大于在N点对应时刻的动能，故B正确，CD错误；
故选：B。
（多选）（2023春 南海区校级期中）如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从平衡位置O点向a点运动的过程中（ ）
A．回复力在增大 B．速度在减小
C．位移方向向右 D．加速度方向向左
【解答】解：振子从平衡位置O点向a点运动的过程中，由F回＝﹣kx可知振子受到的回复力向右且不断增大，故A正确；
振子从平衡位置O点向a点运动的过程中，弹性势能逐渐增大，动能逐渐减小，速度在减小，故B错误；
位移由平衡位置指向振子所处位置，方向向左，故C错误；
回复力指向平衡位置，加速度方向向右，故D错误；
故选：AB。
（多选）（2023春 呈贡区校级期中）如图所示，质量为m的小球放在劲度系数为k的轻弹簧上（不拴接），小球上下振动而又始终未脱离弹簧。则（ ）
A．小球的振幅可以大于
B．在最大振幅下弹簧对小球的最大弹力是2mg
C．小球在振动过程中机械能守恒
D．弹簧的最大弹性势能为
【解答】解：A、小球向上到达最高点时，相对平衡位置的位移大小等于振幅，弹簧处于原长是临界状态，在平衡位置时弹簧的弹力：kA＝mg，解得：A，故A错误；
B、小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，故有：Fm﹣mg＝mg，解得：Fm＝2mg，故B正确；
C、在振动过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故C错误；
D、弹力最大时，弹性势能最大，由Fm＝2mg＝kxm得最大形变量xm，最大弹性势能E弹，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2023 浙江模拟）如图，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m的A、B两物体，正在竖直方向做振幅为x0的简谐运动，当达到最高点时弹簧恰好为原长。当系统振动到某个位置时，剪断A、B间细绳，此后A继续做简谐运动。则下列说法中正确的是（ ）
A．如果在平衡位置剪断绳子，A依然可以到达原来的最低位置
B．如果在最高点剪断绳子，则B带走的能量最多
C．无论在什么地方剪断绳子，此后A振动的振幅一定增大，周期一定减小
D．如果在最低点剪断绳子，此后A振动过程中，振幅为
【解答】解：A、如果在平衡位置剪断绳子，振子质量减小，假设依然可以到达剪断前的最低点，则与剪断前比较，弹簧弹性势能的增加量大于振子动能和重力势能的减小量，机械能不守恒了，所以假设错误，所以A到不了原来的最低点，故A错误；
B、由于在上升过程中，AB间的绳子拉力一直对B做正功，所以到达最高点时，B的机械能最大，则如果在最高点剪断绳子，则B带走的机械能最多，带走的能量也最多，故B正确；
C、当在最高点剪断绳子时，此时A的速度为0，弹簧处于原长，回复力等于mg，而原来没有剪断绳子时，在最高点回复力等于2mg，振幅为x0，最大位移处的回复力和振幅成正比，所以在最高点剪断绳子时，此后A的振幅为，振幅比剪断绳子前变小了，故C错误；
D、剪断绳子后，根据A平衡得出新的平衡位置在弹簧原长下端处，如果在最低点剪断绳子，不难得出此后A的振幅为，故D正确。
故选：BD。
（2023春 兰州期中）如图所示，倾角为α的斜面体（光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球，开始时，小球静止于O点。压缩弹簧使其长度为时将小球由静止开始释放，重力加速度为g，弹簧弹性势能的表达式，Δx为弹簧形变量。
（1）证明小球所做运动为简谐运动；
（2）小球振动到最低点时弹簧的弹性势能。
【解答】解：（1）设小球在斜面上平衡时，设弹簧伸长量为Δl，有mgsinα﹣kΔl＝0
当小球离开平衡位置向下的位移为x时，弹簧伸长量为x+Δl，小球所受合力为F合＝mgsinα﹣k（x+Δl）
联立以上各式可得F合＝﹣kx可知小球做简谐运动；
（2）小球做简谐运动的振幅为
小球振动最低点时伸长量为Δx＝A+Δl
弹性势能
答：（1）见解析；
（2）小球振动到最低点时弹簧的弹性势能为。
【巩固练习】
（2022春 徐汇区校级期末）做机械振动的弹簧振子到达最大位移处时，下列物理量数值为零的是（ ）
A．振幅 B．速度 C．回复力 D．加速度
【解答】解：简谐运动的最大位移处，速度最小为零，加速度、位移最大，而简谐运动的振幅保持不变．故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2022秋 吴江区校级月考）下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）
A．回复力是使物体回到平衡位置的力
B．回复力可以是恒力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
【解答】解：A、回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的合力，方向总是指向平衡位置，故A正确；
BC、回复力的方向总是指向平衡位置，回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反，满足F＝﹣kx，所以不是恒力，故BC错误；
D、回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同。故D错误。
故选：A。
（2022秋 德州期中）一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知（ ）
A．频率是1Hz
B．振幅是10m
C．在t＝1.8s时，质点的加速度方向与速度方向相反
D．在t＝1s时，质点所受合外力为零
【解答】解：A、由图可知，质点运动的周期T＝2s
则频率fHz＝0.5Hz
故A错误；
B、由图可知，该质点的振幅为A＝5m
故B错误；
C、由图像可知，1.5s～2s时间内质点位移为负值，速度为负值，根据F＝﹣kx可知，回复力为正值，根据牛顿第二定律得，加速度为正值，所以1.8s时质点的加速度方向与速度方向相反，故C正确；
D、t＝1s时质点振动到正向最大位移处，质点所受的合外力最大，故D错误。
故选：C。
（2022 南京模拟）如图所示是弹簧振子在0～0.4s时间内做简谐运动的图像，由图像可知（ ）
A．在0.25～0.3s时间内，回复力越来越小
B．t＝0.7s时刻，振子的速度最大
C．振子的动能和势能相互转化的周期为0.4s
D．振子的动能和势能相互转化的周期为0.2s
【解答】解：A．在0.25～0.3s时间内，振子的位移增大，根据F回＝﹣kx可知回复力越来越大。故A错误；
B．由图可知，该振子的周期为0.4s，且t＝0.3s时，振子位移最大，可知在t＝0.7s＝0.4s+0.3s＝T+0.3s时刻振子的位移最大，而做简谐运动的振子在位移最大时速度为零。故B错误；
CD．动能与势能相互转化的周期等于简谐运动周期的一半，即0.2s。故C错误，D正确。
故选：D。
（2022秋 江苏月考）如图所示，轻质弹簧的上端固定，下端连接一质量为m的金属小球，托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，一段时间内小球在竖直方向做周期为T的简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球做简谐运动的表达式为xsin（t）
B．小球做简谐运动的表达式为xsin（t﹣π）
C．小球相邻两次加速度大小等于的时间为
D．小球相邻两次加速度大小等于g的时间为
【解答】解：AB．小球处于平衡位置时，弹簧的伸长量为，托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，可知此时小球处于最大位移处，小球做简谐运动的振幅为
设小球做简谐运动的表达式为
若以向上为正方向，则t＝0时刻，小球的位移为
解得
则小球做简谐运动的表达式为
若以向下为正方向，则t＝0时刻，小球的位移为
解得
则小球做简谐运动的表达式为
故AB错误；
CD．托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，可知此时小球处于最大位移处，小球的加速度最大，且大小为
可知小球加速度大小等于g的位置分别位于正、负最大位移处，故小球相邻两次加速度大小等g的时间为，根据简谐运动特点，小球相邻两次加速度大小等于的时间一定不等于，故C错误，D正确。
故选：D。
（2022秋 常熟市月考）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑直杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（ ）
A．小球做简谐运动
B．小球动量的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
【解答】解：A、物体做简谐运动的条件是在运动过程中所受回复力与位移成正比，且方向始终指向平衡位置，可知小球在杆中点到接触弹簧过程中，所受合力为零，故小球不是做简谐运动，故A错误；
B、假设杆中点为O，小球向右压缩弹簧至最大压缩量时的位置为A，小球向左压缩弹簧至最大压缩量时的位置为B，可知小球做周期为T的往复运动，运动过程为O→A→O→B→O，结合动量既有大小，又有方向可知小球的动量变化的周期等于小球运动的周期T，故B错误；
C、根据对称性可知小球从O→A→O与O→B→O，这两个过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，结合能量守恒定律可知两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，故C正确；
D、小球的沿杆做匀速运动时，初速度发生变化，小球在匀速阶段的时间也发生变化，小球的初速度为时，小球在匀速阶段的时间变成2倍；接触弹簧过程，根据弹簧振子的周期公式T可知小球与弹簧接触的时间不变，所以小球运动周期大于T小于2T，故D错误；
故选：C。
（2022春 富县校级期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向．则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0～1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．t＝3s时，摆球的位移为振幅的
D．t＝3s时，摆球的速度方向与加速度方向相反
【解答】解：A、第1s末和第5s末摆球位于关于平衡位置对称的两个位置，故A错误；
B、0～1s的时间内，位移x逐渐增大，由F＝﹣kx知摆球的回复力逐渐增大，故B错误；
C、设振幅为A，则t＝3s时，摆球的位移为x＝AsinπA，故C正确；
D、t＝3s时，摆球在做加速运动，摆球的速度方向与加速度方向相同，故D错误。
故选：C。
（2022春 鼓楼区期末）如图所示，质量可以忽略的弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，物体沿斜面方向做振一幅较小的简谐振动。取平衡位置处为坐标原点，位移x向下为正，则下列分别是物体的回复力F、加速度a、弹簧弹性势能Ep、速度v与位移x变化关系。其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、设斜面倾角为θ，小球处于平衡位置时，有kx0＝mgsinθ
设小球在平衡位置处再向下运动x，合外力为F＝mgsinθ﹣k（x+x0）＝﹣kx
故F﹣x图像是过原点的直线，且斜率为负，故A错误；
B、物体的加速度为ax
故a﹣x图像是过原点的直线，且斜率为负，故B错误；
C、当物块位移x＝0时，弹簧处于伸长状态，弹性势能不为0，故C错误；
D、物体做简谐振动的位移表达式为x＝Asin（ωt+φ）
速度表达式为v＝ωAcos（ωt+φ）
联立可得：
可知v﹣x函数为椭圆方程，故D正确；
故选：D。
（2022秋 嘉定区校级月考）如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是（ ）
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
【解答】解：A、物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，故A正确；
B、物体B做简谐运动的回复力是弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，故B错误；
C、物体A与滑块B看成一个振子在做简谐运动，其回复力大小满足F＝﹣kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，故C正确；
D、物体间有最大静摩擦力时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有：kA＝（M+m）a
以物体A为研究对象，由牛顿第二定律得：μmg＝ma
联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为，故D正确。
本题选择不正确的，
故选：B。
（2022秋 盐亭县校级月考）某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度为正的最大值
B．t＝3s时，振子的速度为零，位移为负的最大值
C．t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
D．t＝1s和t＝5s时都是势能为零，动能最大
【解答】解：A、t＝1s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值，故A错误；
B、t＝3s时，振子的速度为零，位移为负的最大值，故B正确；
C、t＝4s时，振子的速度为正，加速度为零，故C错误；
D、t＝1s和t＝5s时速度都为零，势能最大，故D错误；
故选：B。
（2022秋 城阳区期末）如图，光滑水平面上质量为2m的物体A紧靠竖直墙壁，通过一劲度系数为k的轻质弹簧与物体B连接，质量均为m的B、C靠在一起但不粘连，开始时A、B、C均静止。现给C施加一水平向左的恒力F，使B、C一起运动。当弹簧某次压缩到最短时撤去恒力F，设弹簧始终没超出弹性限度，重力加速度为g。
（1）试证明恒力F作用过程中，B、C的运动为简谐运动，并计算出平衡位置；
（2）撤去恒力F后，求弹簧的最大弹性势能。
【解答】解：（1）在平衡位置，有：
规定向左为正，当BC向左偏离平衡位置为x时，回复力（即合外力）：
F回＝F﹣k（x+x0）＝﹣kx，
因此得证。
（2）由简谐振动的知识可知：弹簧压缩到最短时，BC前进的位移s＝2x0
设撤去F后，B、C回到弹簧原长处的速度大小为v1，由功能关系得：
Fs，解得：
到弹簧最长时AB共速，A、B组成的系统动量守恒，以v1的方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv1＝3mv2
根据能量守恒定律得：
解得：
答：（1）证明过程如上所述。处于平衡位置时弹簧的压缩量是；
（2）撤去恒力F后，弹簧的最大弹性势能是。
（2022春 船山区校级期中）如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
（1）物块做简谐运动的振幅是多少？
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。（已知做简谐运动的物体所受的回复力需要满足：F＝﹣kx）
【解答】解：（1）物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力
根据平衡条件，有：mgsinα＝k Δx
解得：
则物块做简谐运动的振幅为：
（2）物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为：k（x+Δx）＝k（x）
故合力为：F＝mgsinα﹣k（x）＝﹣kx，故物块做简谐运动。
答：（1）物块做简谐运动的振幅是（）；
（2）证明过程如上述。
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2.3简谐运动的回复力和能量
考点一、回复力 1
考点二、简谐运动的能量 3
考点三、简谐运动中各物理量的变化 4
【巩固练习】 6
考点一、回复力
(1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置．
(2)回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供．
2．回复力公式：F＝－kx.
(1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关．
(2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反．
4．物体做简谐运动的判断方法
(1)简谐运动的回复力满足F＝－kx；
(2)简谐运动的振动图像是正弦曲线．
（2023春 南海区校级期中）对于简谐运动的回复力和位移的关系，下列图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 大兴区期中）如图是弹簧振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是（ ）
A．1s时，回复力最大
B．1s末，机械能最小，2s末机械能最大
C．1s末、3s末、5s末回复力均相同
D．0～6s是一个完整的周期
（2022秋 慈溪市期末）在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（ ）
A．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
B．乘客只有在地心处才处于完全失重状态
C．乘客在地心处的回复力最小
D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离的平方成反比
（2023 电白区校级模拟）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C、D两点之间做简谐运动，O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时，以竖直向上为正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B．振子在C点和D点的回复力相同
C．t＝0.3s时，振子的速度方向为竖直向上
D．t＝0.75s到t＝1.25s的时间内，振子通过的路程为cm
（2023春 新会区校级期中）如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示．已知弹簧的劲度系数为0.5N/cm.则（ ）
A．在t＝2.75s时，振子的位移和速度方向相同
B．在t0时，振子所受的回复力大小为0.5N
C．在t＝1.5s时，弹簧振子的弹性势能最大
D．振子的振动方程为x＝5sin（2πt）cm
考点二、简谐运动的能量
简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒．
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大．
2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去．
3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能．
4．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型．
考点三、简谐运动中各物理量的变化
1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表．
振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同．
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大．
(3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大．
（2022秋 崂山区校级期末）如图是单摆做阻尼振动的位移﹣时间图象，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼振动是一种受迫振动
B．摆球在P与N时刻的势能相等
C．摆球在P与N时刻的动能相等
D．摆球在P与N时刻的机械能相等
（多选）（2023春 南海区校级期中）如图所示，弹簧振子在a、b两点间做简谐运动，在振子从平衡位置O点向a点运动的过程中（ ）
A．回复力在增大 B．速度在减小
C．位移方向向右 D．加速度方向向左
（多选）（2023春 呈贡区校级期中）如图所示，质量为m的小球放在劲度系数为k的轻弹簧上（不拴接），小球上下振动而又始终未脱离弹簧。则（ ）
A．小球的振幅可以大于
B．在最大振幅下弹簧对小球的最大弹力是2mg
C．小球在振动过程中机械能守恒
D．弹簧的最大弹性势能为
（多选）（2023 浙江模拟）如图，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m的A、B两物体，正在竖直方向做振幅为x0的简谐运动，当达到最高点时弹簧恰好为原长。当系统振动到某个位置时，剪断A、B间细绳，此后A继续做简谐运动。则下列说法中正确的是（ ）
A．如果在平衡位置剪断绳子，A依然可以到达原来的最低位置
B．如果在最高点剪断绳子，则B带走的能量最多
C．无论在什么地方剪断绳子，此后A振动的振幅一定增大，周期一定减小
D．如果在最低点剪断绳子，此后A振动过程中，振幅为
（2023春 兰州期中）如图所示，倾角为α的斜面体（光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l0的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的小球，开始时，小球静止于O点。压缩弹簧使其长度为时将小球由静止开始释放，重力加速度为g，弹簧弹性势能的表达式，Δx为弹簧形变量。
（1）证明小球所做运动为简谐运动；
（2）小球振动到最低点时弹簧的弹性势能。
【巩固练习】
（2022春 徐汇区校级期末）做机械振动的弹簧振子到达最大位移处时，下列物理量数值为零的是（ ）
A．振幅 B．速度 C．回复力 D．加速度
（2022秋 吴江区校级月考）下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）
A．回复力是使物体回到平衡位置的力
B．回复力可以是恒力
C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
（2022秋 德州期中）一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知（ ）
A．频率是1Hz
B．振幅是10m
C．在t＝1.8s时，质点的加速度方向与速度方向相反
D．在t＝1s时，质点所受合外力为零
（2022 南京模拟）如图所示是弹簧振子在0～0.4s时间内做简谐运动的图像，由图像可知（ ）
A．在0.25～0.3s时间内，回复力越来越小
B．t＝0.7s时刻，振子的速度最大
C．振子的动能和势能相互转化的周期为0.4s
D．振子的动能和势能相互转化的周期为0.2s
（2022秋 江苏月考）如图所示，轻质弹簧的上端固定，下端连接一质量为m的金属小球，托住小球使弹簧处于原长，在t＝0时由静止释放，一段时间内小球在竖直方向做周期为T的简谐运动。已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球做简谐运动的表达式为xsin（t）
B．小球做简谐运动的表达式为xsin（t﹣π）
C．小球相邻两次加速度大小等于的时间为
D．小球相邻两次加速度大小等于g的时间为
（2022秋 常熟市月考）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑直杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（ ）
A．小球做简谐运动
B．小球动量的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
（2022春 富县校级期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向．则下列说法正确的是（ ）
A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置
B．0～1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小
C．t＝3s时，摆球的位移为振幅的
D．t＝3s时，摆球的速度方向与加速度方向相反
（2022春 鼓楼区期末）如图所示，质量可以忽略的弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，物体沿斜面方向做振一幅较小的简谐振动。取平衡位置处为坐标原点，位移x向下为正，则下列分别是物体的回复力F、加速度a、弹簧弹性势能Ep、速度v与位移x变化关系。其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2022秋 嘉定区校级月考）如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是（ ）
A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供
B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供
C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k
D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为
（2022秋 盐亭县校级月考）某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t＝1s时，振子的速度为零，加速度为正的最大值
B．t＝3s时，振子的速度为零，位移为负的最大值
C．t＝4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
D．t＝1s和t＝5s时都是势能为零，动能最大
（2022秋 城阳区期末）如图，光滑水平面上质量为2m的物体A紧靠竖直墙壁，通过一劲度系数为k的轻质弹簧与物体B连接，质量均为m的B、C靠在一起但不粘连，开始时A、B、C均静止。现给C施加一水平向左的恒力F，使B、C一起运动。当弹簧某次压缩到最短时撤去恒力F，设弹簧始终没超出弹性限度，重力加速度为g。
（1）试证明恒力F作用过程中，B、C的运动为简谐运动，并计算出平衡位置；
（2）撤去恒力F后，求弹簧的最大弹性势能。
（2022春 船山区校级期中）如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
（1）物块做简谐运动的振幅是多少？
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。（已知做简谐运动的物体所受的回复力需要满足：F＝﹣kx）
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