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2.4单摆
考点一、单摆 1
考点二：单摆的回复力 1
考点三、单摆的周期 3
【巩固练习】 5
考点一、单摆
1．单摆的组成：由细线和 组成．
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比
考点二：单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力．
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 ，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．
关于单摆，下列说法错误的是（ ）
A．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
B．在摆角很小的情况下，单摆的运动可以看成简谐运动
C．在摆角很小的情况下，回复力F的方向与相对平衡位置的位移x的方向相反
D．在摆角很小的情况下，回复力F的大小与相对平衡位置的位移x的大小成反比
关于单摆，下列说法正确的是（ ）
A．单摆可以由弹性细线与小球构成
B．单摆受三个力：重力、拉力、回复力
C．单摆的回复力一定满足F＝﹣kx的条件
D．单摆做简谐运动时，其频率与振幅有关
（多选）（2021秋 中山市校级月考）关于甲、乙图对应的说法正确的是（ ）
A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动
B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置O点
C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力
D．图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力不为零
（多选）如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是（ ）
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
（2023 房山区一模）一个单摆在竖直平面内沿圆弧做往复运动。某时刻摆球由A点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为30°，O点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在O点受重力、拉力、向心力
B．摆球摆动到O点时所受合外力为零
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，动能增加
D．摆球经过P点时摆角小于10°，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力
考点三、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量 (填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅 (填“有关”或“无关”)，但与摆长 (填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期 (填“越大”“越小”或“不变”)．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家 首先提出的．
(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量
（2023春 杭州期中）关于单摆的认识，下列说法正确的是（ ）
A．摆球运动到平衡位置时，摆球所受的合力为零
B．伽利略通过对单摆的深入研究，得到了单摆的周期公式
C．将摆钟由绍兴移至北京，为保证摆钟走时准确，需将钟的摆长调长些
D．利用单摆测重力加速度的实验时，误将摆线长L0做摆长，用T2﹣L0图的斜率测量结果偏小
（2022秋 唐山期末）在同一地点，甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像如图所示，由图像可知（ ）
A．甲、乙两个单摆的振幅之比为1：2
B．甲、乙两个单摆的摆长之比为1：2
C．从t＝0起，乙第一次到达最大位移时，甲正在向负向运动
D．从t＝0起，甲第一次到达最大位移时，乙正在做加速运动
（2023春 昌乐县期中）如图所示，细线一端拴一个小球，另一端固定在O点，小球沿弧线ABC来回摆动，B点是悬线的最低点，则（ ）
A．小球摆到B点时，速度为水平方向，加速度为零
B．小球摆到A点时，速度为零，且处于平衡状态
C．小球在整个运动过程中一定有一个位置处于平衡状态
D．若小球运动到某一点时细线断开，则此后小球做匀变速运动
（2022秋 宝山区期末）将单摆置于下列各物理情景中，其中单摆的周期不发生变化的是（ ）
A．单摆处于加速下降的升降机中
B．单摆处于减速下降的升降机中
C．摆球带正电，且处于竖直向下的匀强电场中
D．摆球带正电，且悬点处也有带正电的小球
（2022秋 锦州期末）自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们对月球的向往又进一步加深了，希望能够早日登上月球．假设未来的宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面．已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上周期相同，下列办法可行的是（ ）
A．将摆球的质量增加为原来的6倍
B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍
D．将摆长增长为原来的6倍
一、单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．
二、单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
【巩固练习】
（2022秋 嘉峪关期末）单摆的振动周期在发生哪些情况中增大（ ）
A．摆球质量增大
B．摆长减小
C．单摆由赤道移到北极
D．单摆由海平面移到高山顶上
（多选）（2022秋 烟台期末）如图所示，光滑球面半径为R，将A、B两小球置于球面上等高处，它们距球面最低点O的距离远远小于R，C球处于球面的球心处，在小球B所处位置和O点之间放置一光滑直线轨道，小球B可以沿直线轨道下滑，不计空气阻力，若将三球同时由静止释放，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球比C球先到达O点 B．C球比A球先到达O点
C．A球比B球先到达O点 D．B球比A球先到达O点
（多选）（2022秋 秦安县校级期末）如图所示是一个单摆（θ＜5°），其周期为T，则下列说法正确的是（ ）
A．把摆球的质量增加一倍，其周期也增加一倍
B．此摆由C→B运动的时间为T
C．摆球由B→O时，势能向动能转化
D．摆球由O→C时，动能向势能转化
（多选）（2022秋 新罗区校级期末）如图所示，三根细线a、b、c于O处打结，每根细线的长度均为L，a、b细线上端固定在同一水平面上相距为L的A、B两点上，c细线下端系着一个小球（小球直径可以忽略），小球质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π
B．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝2π
C．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π
D．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝π
（多选）（2022秋 兰州期末）如图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（ ）
A．两摆球的质量相等 B．两单摆的振幅相等
C．两单摆的相位差为 D．两单摆的摆长相等
（2022春 小店区校级月考）电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一长度为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电量为+q的小球（可质为质点），小球静止在图中A点，细线绷紧。现将小球拉至B点（∠AOB＜5°），由静止释放。已知重力加速度为g。则小球做简谐运动的过程中（ ）
A．机械能守恒
B．回复力等于重力、电场力和细线拉力的合力
C．周期为
D．周期为
（2022秋 桓台县校级期中）如图所示，光滑圆槽固定在水平面上，O点为圆心，C点为最低点。甲球从A点由静止释放，同时从O点由静止释放乙球，甲球在A、B之间摆动，光滑圆槽的半径R远大于甲球运动的弧长。甲球、乙球均可视为质点，当乙球运动到C点时，甲球（ ）
A．在C点 B．在B点 C．在B、C之间 D．在A、C之间
（2022秋 广陵区校级期中）单摆做小角度摆动的周期为T0，下列说法正确的是（ ）
A．将该单摆放到月球上，摆动周期变大
B．重力与绳子拉力的合力提供摆球的回复力
C．摆动过程中，绳子的拉力始终大于摆球的重力
D．摆动过程中，绳子的拉力始终小于摆球的重力
（2022秋 天心区校级期中）如图所示，MN为半径较大且为R的光滑圆弧的一部分，小球B放在MN上离最低点C很近的B处（弧BC所对圆心角小于5°），另一小球A在C点正上方h高处，同时释放两小球，若A球下落至C点时正好与B球相碰（两小球可视为质点），则h可能为（ ）
A． B． C．2π2R D．
（2022秋 吴江区校级月考）图（a）、（b）分别是甲、乙两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两单摆的振幅相等
B．t＝2s时，甲单摆的重力势能最小，乙单摆的动能为零
C．甲、乙两单摆的摆长之比为4：1
D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定相等
（2022秋 高新区期中）如图甲，将力传感器固定于天花板上，传感器上O点为单摆的固定悬点现将摆球拉到A点，最大摆角未知。现释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2，sin5°＝0.087，cos5°＝0.996。求：
（1）单摆的摆长；
（2）最大摆角的余弦值；
（3）单摆的振幅。（小数点后保留两位）
（2022春 通州区期末）简谐运动具有如下特点：
①简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即F＝﹣kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
②简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即。
（1）如图甲所示，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a．当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出此时摆球受力的示意图，并写出此时摆球受到的回复力F回大小；
b．请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时是简谐运动，且周期。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ≈θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法。长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电荷量为+q，质量为m的小球。将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示。若带电小球在乙图中做小角度的简谐运动，请分析求出带电小球在乙图中振动的周期。
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2.4单摆
考点一、单摆 1
考点二：单摆的回复力 1
考点三、单摆的周期 4
【巩固练习】 8
考点一、单摆
1．单摆的组成：由细线和小球组成．
2．理想化模型
(1)细线的质量与小球相比可以忽略． (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略．
考点二：单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.从回复力特点可以判断单摆做简谐运动．
关于单摆，下列说法错误的是（ ）
A．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
B．在摆角很小的情况下，单摆的运动可以看成简谐运动
C．在摆角很小的情况下，回复力F的方向与相对平衡位置的位移x的方向相反
D．在摆角很小的情况下，回复力F的大小与相对平衡位置的位移x的大小成反比
【解答】解：A、摆球的回复力不是所受重力和摆线作用于摆球的拉力的合力，而是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，故A正确；
BCD、若摆角θ很小，建立坐标系后回复力F＝﹣mgsinθ，由此式可以看出，回复力的大小与相对平衡位置的方向相反（﹣号的意义），且与相对平衡位置位移的大小成正比，故BC正确，D错误。
本题选错误的
故选：D。
关于单摆，下列说法正确的是（ ）
A．单摆可以由弹性细线与小球构成
B．单摆受三个力：重力、拉力、回复力
C．单摆的回复力一定满足F＝﹣kx的条件
D．单摆做简谐运动时，其频率与振幅有关
【解答】解：A、单摆不可以用弹性细线，弹性细线随拉力的变化而变化，不符合单摆的条件，故A错误；
B、摆球在摆动过程中只受到重力和拉力作用，故B错误；
C、单摆近似可以看作简谐振动，其回复力一定满足F＝﹣kx的条件，故C正确；
D、单摆的周期：T，可知单摆做简谐运动时，其频率与振幅无关，故D错误；
故选：C。
（多选）（2021秋 中山市校级月考）关于甲、乙图对应的说法正确的是（ ）
A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动
B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置O点
C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力
D．图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力不为零
【解答】解：A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，故A错误；
B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，故B正确；
C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C错误；
D．题图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力指向圆心，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对称。下列说法正确的是（ ）
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
【解答】解：A、物体只受两个力：重力、绳子拉力，故A错误；
B、单摆的回复力是重力沿运动方向的分力，故B错误；
C、单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，故C正确；
D、根据运动的对称性可知，小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等，故D正确。
故选：CD。
（2023 房山区一模）一个单摆在竖直平面内沿圆弧做往复运动。某时刻摆球由A点从静止开始摆动，如图所示摆线与竖直方向的夹角为30°，O点为摆动的最低点，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在O点受重力、拉力、向心力
B．摆球摆动到O点时所受合外力为零
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，动能增加
D．摆球经过P点时摆角小于10°，则摆球所受拉力与重力的合外力充当回复力
【解答】解：A．摆球在O点只受重力、拉力两个力作用，重力和拉力的合力提供向心力，摆球不会受到向心力，故A错误；
B．摆球摆动到O点时所受合外力提供向心力，合外力不为零，故B错误；
C．摆球从A点摆动到O点的过程中，拉力不做功，重力做正功，合外力做正功，由动能定理可知，动能增加，故C正确；
D．摆球经过P点时摆角小于5°，摆球的运动可看成简谐运动，则摆球重力沿切线方向的分力充当回复力，故D错误。
故选：C。
考点三、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填“有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越大(填“越大”“越小”或“不变”)．
2．周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．
(2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关．
（2023春 杭州期中）关于单摆的认识，下列说法正确的是（ ）
A．摆球运动到平衡位置时，摆球所受的合力为零
B．伽利略通过对单摆的深入研究，得到了单摆的周期公式
C．将摆钟由绍兴移至北京，为保证摆钟走时准确，需将钟的摆长调长些
D．利用单摆测重力加速度的实验时，误将摆线长L0做摆长，用T2﹣L0图的斜率测量结果偏小
【解答】解：A．单摆的过程中摆球的运动轨迹为圆弧，在最低点还需要指向圆心的向心，所以摆球在最低点受到的合外力提供向心力，合力不为0，故A错误；
B．根据物理学史可知，惠更斯得出单摆的周期公式，伽利略只是得出了单摆的等时性，故B错误；
C．根据单摆的周期公式可知，将摆钟由绍兴移至哈尔滨，重力加速度增大，为保证摆钟的准确，需要将钟摆调长，故C正确；
D．在利用单摆测量重力加速度的实验中，误将摆线长L0当作摆长，则实际的摆长减小，根据，T2﹣L0图的斜率不变，由图像斜率求得的加速度不变，故D错误。
故选：C。
（2022秋 唐山期末）在同一地点，甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像如图所示，由图像可知（ ）
A．甲、乙两个单摆的振幅之比为1：2
B．甲、乙两个单摆的摆长之比为1：2
C．从t＝0起，乙第一次到达最大位移时，甲正在向负向运动
D．从t＝0起，甲第一次到达最大位移时，乙正在做加速运动
【解答】解：A．甲、乙两个单摆的振幅分别为2cm和1cm，甲、乙两个单摆的振幅之比为2：1，故A错误；
B．甲、乙两个单摆的周期之比为1：2，根据
可得摆长之比为1：4，故B错误；
C．由图像可知，从t＝0起，乙第一次到达最大位移时，甲正在平衡位置向负向运动，故C正确；
D．从t＝0起，甲第一次到达最大位移时，乙正在由平衡位置向位移最大位置运动，速度逐渐减小，故D错误。
故选：C。
（2023春 昌乐县期中）如图所示，细线一端拴一个小球，另一端固定在O点，小球沿弧线ABC来回摆动，B点是悬线的最低点，则（ ）
A．小球摆到B点时，速度为水平方向，加速度为零
B．小球摆到A点时，速度为零，且处于平衡状态
C．小球在整个运动过程中一定有一个位置处于平衡状态
D．若小球运动到某一点时细线断开，则此后小球做匀变速运动
【解答】解：A．小球摆到B点时，速度为水平方向，但此时有向心加速度，方向指向圆心，数值不为零，故A错误；
B．小球摆到A点时，速度为零，之后会往回运动，所以不可能处于平衡状态，故B错误；
C．小球沿弧线ABC来回摆动，作非匀速圆周运动，合外力和加速度始终不为零，不会处于平衡状态，故C错误；
D．若小球运动到某一点时细线断开，此后小球只受到重力作用，加速度为重力加速度保持不变，可知做匀变速运动，故D正确。
故选：D。
（2022秋 宝山区期末）将单摆置于下列各物理情景中，其中单摆的周期不发生变化的是（ ）
A．单摆处于加速下降的升降机中
B．单摆处于减速下降的升降机中
C．摆球带正电，且处于竖直向下的匀强电场中
D．摆球带正电，且悬点处也有带正电的小球
【解答】解：A．由，可知将单摆处于加速下降的升降机中，单摆处于失重状态，等效重力加速度变小，周期将变大，故A错误；
B．单摆处于减速下降的升降机中，此时加速度的方向向上，单摆处于超重状态，等效重力加速度变大，周期将变小，故B错误；
C．摆球带正电，且处于竖直向下的匀强电场中，等效重力加速度变大，周期将变小，故C错误；
D．摆球带正电，且悬点处也有带正电的小球，静电力沿着摆绳的方向，单摆的周期不变，故D正确；
故选：D。
（2022秋 锦州期末）自从“玉兔二号探测器”到达月球工作并拍回一系列珍贵的月球表面照片以后，人们对月球的向往又进一步加深了，希望能够早日登上月球．假设未来的宇航员成功登上月球并把地球上的摆钟带到了月球上面．已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，现要使该摆钟在月球上的周期与地球上周期相同，下列办法可行的是（ ）
A．将摆球的质量增加为原来的6倍
B．将摆球的质量减小为原来的倍
C．将摆长减小为原来的倍
D．将摆长增长为原来的6倍
【解答】解：单摆的周期公式T＝2π，
AB、摆球的质量变化不改变周期，故AB错误；
C、将摆长减小为原来的倍，已知月球表面的重力加速度约为地球表面的，
根据单摆的周期公式T＝2π，摆钟在月球上的周期与地球上周期相同，故C正确；
D、将摆长增长为原来的6倍，根据单摆的周期公式T＝2π，摆钟在月球上的周期是摆钟在地球上周期的6倍，故D错误。
故选：C。
一、单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．
二、单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
【巩固练习】
（2022秋 嘉峪关期末）单摆的振动周期在发生哪些情况中增大（ ）
A．摆球质量增大
B．摆长减小
C．单摆由赤道移到北极
D．单摆由海平面移到高山顶上
【解答】解：A、单摆的周期与摆球的质量无关。故A错误。
B、摆长减小，根据单摆的周期公式知，周期变短。故B错误。
C、单摆由赤道移到北极，重力加速度增大，根据单摆的周期公式知，周期变短。故C错误。
D、单摆由海平面移到高山顶上，重力加速度减小，根据单摆的周期公式知，周期增大。故D正确。
故选：D。
（多选）（2022秋 烟台期末）如图所示，光滑球面半径为R，将A、B两小球置于球面上等高处，它们距球面最低点O的距离远远小于R，C球处于球面的球心处，在小球B所处位置和O点之间放置一光滑直线轨道，小球B可以沿直线轨道下滑，不计空气阻力，若将三球同时由静止释放，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球比C球先到达O点 B．C球比A球先到达O点
C．A球比B球先到达O点 D．B球比A球先到达O点
【解答】解：由于A小球距球面最低点O的距离远远小于R，故A球的运动可视为单摆，由单摆周期公式可知A球到达O点的时间为tA
C球做自由落体运动，故C球到达O点的时间为tC
设C球与B球连线与竖直方向的夹角为θ，则B球运动到O点的距离为x＝2Rsin
根据力的分解可知B球下滑的加速度大小为a＝gsin
根据匀变速直线运动位移—时间公式可得B球到达O点的时间为tB
解得：tB＝2
故
tB＞tA＞tC
故BC正确，AD错误；
故选：BC。
（多选）（2022秋 秦安县校级期末）如图所示是一个单摆（θ＜5°），其周期为T，则下列说法正确的是（ ）
A．把摆球的质量增加一倍，其周期也增加一倍
B．此摆由C→B运动的时间为T
C．摆球由B→O时，势能向动能转化
D．摆球由O→C时，动能向势能转化
【解答】解：A、由单摆周期公式T＝2π可知，单摆的周期T与摆球质量m无关，与振幅无关，当摆球质量与振幅发生变化时，单摆做简谐运动的周期不变，故A错误；
B、此摆由C→B运动的时间为T，故B错误；
CD、摆球由最大位置B向平衡位置O运动的过程中，重力做正功，摆球的重力势能转化为动能，同理摆球由O→C时，动能向势能转化，故CD正确。
故选：CD。
（多选）（2022秋 新罗区校级期末）如图所示，三根细线a、b、c于O处打结，每根细线的长度均为L，a、b细线上端固定在同一水平面上相距为L的A、B两点上，c细线下端系着一个小球（小球直径可以忽略），小球质量为m，下列说法正确的是（ ）
A．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π
B．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝2π
C．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2π
D．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝π
【解答】解：AC、小球在纸面内做简谐运动时，绕O点做单摆运动，摆长等于L，则周期T，故A正确，C错误；
BD、小球在于纸面垂直平面内做简谐运动时，做单摆运动，所绕的点在O点正上方天花板上，等效摆长l，则周期T，故B正确，D错误。
故选：AB。
（多选）（2022秋 兰州期末）如图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知（ ）
A．两摆球的质量相等 B．两单摆的振幅相等
C．两单摆的相位差为 D．两单摆的摆长相等
【解答】解：AD、从单摆的位移—时间图象可以看出两个单摆的周期相等，根据周期公式T＝2π可知，两个单摆的摆长相等，周期与摆球的质量无关，故A错误，D正确；
B、由图可知，甲、乙两个单摆的振幅分别为2cm，1cm，所以两单摆的振幅不相等，故B错误；
C、从图象可以看出，t＝0时刻，甲到达了正向最大位移处，而乙才开始从平衡位置向正向的最大位移处运动，所以两单摆相位相差为，故C正确。
故选：CD。
（2022春 小店区校级月考）电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一长度为L的绝缘细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m、带电量为+q的小球（可质为质点），小球静止在图中A点，细线绷紧。现将小球拉至B点（∠AOB＜5°），由静止释放。已知重力加速度为g。则小球做简谐运动的过程中（ ）
A．机械能守恒
B．回复力等于重力、电场力和细线拉力的合力
C．周期为
D．周期为
【解答】解：A．小球做类似单摆的运动过程中，电场力做功，所以机械能不守恒，故A错误；
B．小球摆动的过程中的回复力等于重力和电场力的合力沿轨迹切线方向的分力，故B错误；
CD．小球的等效重力加速度为，根据单摆的周期公式可得小球做简谐运动的周期为，故C错误，D正确。
故选：D。
（2022秋 桓台县校级期中）如图所示，光滑圆槽固定在水平面上，O点为圆心，C点为最低点。甲球从A点由静止释放，同时从O点由静止释放乙球，甲球在A、B之间摆动，光滑圆槽的半径R远大于甲球运动的弧长。甲球、乙球均可视为质点，当乙球运动到C点时，甲球（ ）
A．在C点 B．在B点 C．在B、C之间 D．在A、C之间
【解答】解：甲球在A、B之间做简谐运动，等效为摆长R的单摆，运动周期为T＝2π，甲球由A点运动到C点的时间为t1
乙球做自由落体运动，由Rgt22，可得乙球从O点运动到C点的时间为t2
因为t1＞t2，所以当乙球运动到C点时，甲球在A、C之间，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2022秋 广陵区校级期中）单摆做小角度摆动的周期为T0，下列说法正确的是（ ）
A．将该单摆放到月球上，摆动周期变大
B．重力与绳子拉力的合力提供摆球的回复力
C．摆动过程中，绳子的拉力始终大于摆球的重力
D．摆动过程中，绳子的拉力始终小于摆球的重力
【解答】解：A、单摆的周期公式为：T＝2π，因为月球上的重力加速度小，所以将该单摆放到月球上，摆动周期变大，故A正确；
B、重力沿垂直于绳子拉力方向的分力提供回复力，重力沿绳子方向的分力与绳子拉力的合力提供向心力，故B错误；
CD、在最高点时速度为零，此时绳子的拉力等于重力的一个分力，即绳子的拉力小于重力；在最低点时有：F﹣mg＝ma，解得：F＝mg+ma，所以此时绳子的拉力大于重力，故CD错误。
故选：A。
（2022秋 天心区校级期中）如图所示，MN为半径较大且为R的光滑圆弧的一部分，小球B放在MN上离最低点C很近的B处（弧BC所对圆心角小于5°），另一小球A在C点正上方h高处，同时释放两小球，若A球下落至C点时正好与B球相碰（两小球可视为质点），则h可能为（ ）
A． B． C．2π2R D．
【解答】解：对B球，可视为单摆，沿用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：
tB＝（2n+1）
对于A球，做自由落体运动，则：tA
两球相碰，时间相等tAtB
解得：hπ2（2n+1）2R （n＝0，1，2，3…）
当n＝4时，hπ2R，故B正确，A、C、D错误。
故选：B。
（2022秋 吴江区校级月考）图（a）、（b）分别是甲、乙两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲、乙两单摆的振幅相等
B．t＝2s时，甲单摆的重力势能最小，乙单摆的动能为零
C．甲、乙两单摆的摆长之比为4：1
D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定相等
【解答】解：A、由图知，甲、乙两摆的振幅分别为4 cm、2cm，振幅不相等，故A错误；
B、t＝2s时，甲摆通过平衡位置，重力势能最小。乙摆经过最大位移处，动能为零，故B正确；
C、甲、乙两摆的周期分别为4s、8s，周期之比为1：根据由单摆的周期公式T＝2π得：甲、乙两摆的摆长之比为1：4，故C错误；
D、设摆角为θ，则摆球从最高点摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：mgL（1﹣cosθ）mv2；摆球在最低点时向心加速度a2g（1﹣cosθ），根据振幅和摆长关系，可知甲摆摆球的最大偏角比乙摆摆球的最大偏角大，所以甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定不等，故D错误；
故选：B。
（2022秋 高新区期中）如图甲，将力传感器固定于天花板上，传感器上O点为单摆的固定悬点现将摆球拉到A点，最大摆角未知。现释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2，sin5°＝0.087，cos5°＝0.996。求：
（1）单摆的摆长；
（2）最大摆角的余弦值；
（3）单摆的振幅。（小数点后保留两位）
【解答】解：（1）摆球在最低点时细线对摆球拉力最大，一个周期内两次经过最低点，根据该规律
T＝0.8πs
由单摆的周期公式为
T＝2π
解得：L＝1.6m；
（2）摆球受力分析如图所示：
在最高点A，有
Fmin＝mgcosα＝0.498N
在最低点B，有
Fmax＝mg+m0.504N
从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得
mgL（1﹣cosα）mv2
联立解得：cosα＝0.996，m＝0.05kg；
（3）由几何关系得，单摆的振幅
A＝Lsinα
解得：A＝0.14m。
答：（1）单摆的摆长为1.6m；
（2）最大摆角的余弦值为0.996；
（3）单摆的振幅为0.14m。
（2022春 通州区期末）简谐运动具有如下特点：
①简谐运动的物体受到回复力的作用，回复力的大小F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，回复力的方向与物体偏离平衡位置的位移方向相反，即F＝﹣kx，其中k为振动系数，其值由振动系统决定；
②简谐运动是一种周期性运动，其周期与振动物体的质量的平方根成正比，与振动系统的振动系数的平方根成反比，而与振幅无关，即。
（1）如图甲所示，摆长为L、摆球质量为m的单摆在AB间做小角度的自由摆动，当地重力加速度为g。
a．当摆球运动到P点时，摆角为θ，画出此时摆球受力的示意图，并写出此时摆球受到的回复力F回大小；
b．请结合简谐运动的特点，证明单摆在小角度摆动时是简谐运动，且周期。
（提示：用弧度制表示角度，当角θ很小时，sinθ≈θ，θ角对应的弧长与它所对的弦长也近似相等）
（2）类比法、等效法等都是研究和学习物理过程中常用的重要方法。长为L的轻质绝缘细线下端系着一个带电荷量为+q，质量为m的小球。将该装置处于场强大小为E的竖直向下的匀强电场中，如图乙所示。若带电小球在乙图中做小角度的简谐运动，请分析求出带电小球在乙图中振动的周期。
【解答】解：（1）a、单摆受力分析如图所示，单摆受重力和绳子的拉力作用，
根据受力情况可得回复力为重力沿切向方向上的分力，即F回＝mgsinθ
b、由于F回＝mgsinθ，当θ很小时，sinθ≈θ，θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，则有：
F回＝mg
当θ很小时，弧长PO近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x，则有：
F回＝mg x
振动系数k
k代入简谐运动周期公式：T＝2π
解得：单摆周期公式：T＝2；
（2）图乙中，摆球受到重力G、电场力F电和摆线拉力T，与重力场中的单摆类比，
等效的“重力”G'＝G+F电，g，
代入单摆周期公式得：T乙＝2
答：（1）a、摆球受力的示意图见解析，时刻摆球受到的回复力大小为F回＝mgsinθ；
b、证明见解析
（2）带电小球在乙图中振动的周期为2。
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