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专题6机械能守恒定律
一．选择题（共25小题）
1．（2023 山东）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A． B． C． D．nmgωRH
【解答】解：每个水筒中水的重力为G＝mg
水筒的线速度为v＝ωR
t时间内，装水的水筒个数为N＝nvt＝nωRt
筒车对灌入稻田的水做功的功率为P
故B正确，ACD错误。
故选：B。
2．（2023 山东）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为S1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为S2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设物体与地面间的动摩擦因数为μ，小车达到额定功率时速度为v，小车拖动物体运动过程中，由牛顿第二定律得：F﹣f﹣μmg＝（M+m）a1
由匀变速直线运动位移—速度公式得：v2＝2a1S1
额定功率P0＝Fv
轻绳从物体上脱落后，物体做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得：μmg＝ma2
由匀变速直线运动位移—速度公式得：v2＝2a2（S2﹣S1）
联立解得：P0
故A正确，BCD错误。
故选：A。
3．（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知两节动车功率分别为
P1＝f1v1
P2＝f2v2
当把它们编组后
P1+P2＝（f1+f2）v
联立解得
v
故ABC错误，D正确。
故选：D。
4．（2023 浙江）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、铅球做平抛运动，在空中运动时加速度为重力加速度，大小不变，a﹣t图像应为水平直线，故A错误；
B、铅球竖直方向做自由落体运动，竖直分速度vy＝gt
水平方向做匀速直线运动，水平分速度vx＝v0
铅球的速度大小v
速度随时间变化的关系不是线性关系，故B错误；
C、铅球的动能Ekmv2m（g2t2）
则动能与时间的关系为二次函数关系，图像为抛物线，故C错误；
D、铅球运动过程中，只受重力，机械能守恒，E﹣t图像为水平直线，故D正确。
故选：D。
5．（2023 辽宁）如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（ ）
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
【解答】解：AB、由图（b）可知甲的速率随时间均匀变化，可知甲沿着轨道Ⅱ下滑，在同一时刻甲的速率比乙的小，所以同一时刻甲的动能比乙的小，故A错误，B正确；
CD、由图（b）可知乙沿着轨道Ⅰ下滑，在M点乙的速率为零，则重力功率为零，在N点乙在竖直方向的速度为零，可知重力功率为零，由M点到N点，其它位置竖直方向速率不为零，所以乙的重力功率先增大后减小，故CD错误。
故选：B。
6．（2023 江苏）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示。与图乙中相比，图甲中滑块（ ）
A．受到的合力较小
B．经过A点的动能较小
C．在A、B之间的运动时间较短
D．在A、B之间克服摩擦力做的功较小
【解答】解：A、设滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，根据几何关系可知，图甲中滑块的合力大小为：
F1＝mgsinθ+μmgcosθ
图乙中滑块的合力大小为：
F2＝mgsinθ﹣μmgcosθ
由此可知，图甲中滑块受到的合力较大，故A错误；
B、经过A点时，两种情况下滑块的重力势能相等，因此两种情况下重力做的负功相等，但前后摩擦力做的功小于后者摩擦力做的功，则图甲中滑块经过A点的动能较大，故B错误；
C、根据A选项的分析可知，图甲中滑块的合力大于图乙中滑块的合力，根据逆向思维和运动学公式可知，图甲中滑块在AB之间的运动时间较短，故C正确；
D、在A、B之间，滑块受到的摩擦力大小相等，位移也相等，根据功的计算公式W＝Fs可知两种情况下滑块在A、B之间克服摩擦力做的功相等，故D错误；
故选：C。
7．（2023 新课标）无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为g）（ ）
A．0 B．mgh C．mv2﹣mgh D．mv2+mgh
【解答】解：雨滴下落过程，在重力和阻力作用下做匀速直线运动，设克服空气阻力做的功为W克，则空气阻力对雨滴做功为﹣W克，雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，由动能定理得：mgh﹣W克＝0
解得：W克＝mgh
故B正确，ACD错误。
故选：B。
8．（2023 甲卷）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
【解答】解：A、铅球在平抛运动过程中，仅受重力，机械能守桓，故A错误；
B、铅球在平抛运动过程中加速度为重力加速度，保持不变，故B正确；
CD、运动过程中减少的重力势能转化为动能，铅球的动能越来越大，速度也越来越大，故CD错误。
故选：B。
9．（2023 上海）一物块爆炸分裂为速率相同、质量不同的三个物块，对三者落地速率大小判断正确的是（ ）
A．质量大的落地速率大 B．质量小的落地速率大
C．三者落地速率都相同 D．无法判断
【解答】解：根据动能定理有mgh
解得v
可知三者落地速率都相同，故ABD错误，C正确；
故选：C。
10．（2023 浙江）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（ ）
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
【解答】解：A、绳绷紧前，弹性势能不变。绳绷紧后，随着伸长量的增大，弹性势能增大，故A错误；
B、游客从跳台下落直到最低点过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小，故B正确；
C、绳绷紧前，只有重力做功，游客的机械能保持不变。绳绷紧后，绳对游客做负功，游客的机械能减小，故C错误；
D、绳绷紧后，游客受到重力和绳的拉力两个力作用，绳的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力先向下后向上，先加速运动后做减速运动，动能先增大后减小，当绳的拉力与重力大小相等时动能最大，故D错误。
故选：B。
11．（2022 江苏）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态．A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零．A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）
A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B．A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C．下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
【解答】解：A、物体A上滑过程是简谐运动的一部分，从开始到最高点恰好对应简谐运动的半个周期，所以上滑到最大位移一半时，刚好对应平衡位置处，此处的加速度为零，故A错误；
B、设斜面的倾角为θ，如果在最高点A、B之间的弹力为零，则B的最大加速度为：am＝gsinθ﹣μgcosθ，
若在最高点弹簧弹力沿斜面向下（设其大小为F），则AB整体的加速度为：
a
因a＞am，所以AB会出现分离的情况。
若在最高点弹簧弹力沿斜面向上或者恰好为零，则AB整体的加速度将小于或者等于am，AB就不会出现分离的情况。
由此分析可知在最高点弹簧弹力沿斜面向上或者恰好为零，故A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化，故B正确；
C、AB一起下滑的过程弹簧一直处于压缩状态，形变量逐渐增大，弹簧弹力逐渐增大，AB整体的加速度为：
a，可知a先减小后反向增大；
设AB之间的弹力为FN，隔离B物体分析，则有：a，因a先减小后反向增大，故AB之间的弹力一直增大，故C错误；
D、整个过程的初末状态弹簧弹性势能相等，物体A的重力势能也相等，由能量守恒和功能关系可知，AB克服摩擦做的功等于B的重力势能的减小量，故D错误。
故选：B。
12．（2022 江苏）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳．将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设运动员位移与水平方向夹角为θ，对运动员，由动能定理得：mgxtanθ＝Ek﹣0运动员的动能：Ek＝mgxtanθ
由图示运动员运动过程可知，开始θ不变，Ek与x成正比，运动员运动到倾斜轨道下端时θ发生变化，Ek与位移不成正比，
运动员到达轨道最低点然后上升，重力做负功，动能减小，由图示图象可知，A正确，BCD错误。
故选：A。
13．（2022 浙江）小明用额定功率为1200W、最大拉力为300N的提升装置，把静置于地面的质量为20kg的重物竖直提升到高为85.2m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，则提升重物的最短时间为（ ）
A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s
【解答】解：为了最短时间提升重物，一开始以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好为零，重物在第一阶段做匀加速上升过程，根据牛顿第二定律得：
当功率达到额定功率时，设重物的速度为v1，则有
此过程中所用的时间和上升的高度分别为
重物以最大速度匀速时，有
重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升的高度分别为
设重物从结束匀加速到开始做匀减速运动所用的时间为t2，该过程根据动能定理得：
又h2＝85.2m﹣1.6m﹣3.6m＝80m
联立解得：t2＝13.5s
则总时间为t1+t2+t3＝0.8s+13.5s+1.2s＝15.5s，故C正确，ABD错误；
故选：C。
14．（2022 山东）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭加速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【解答】解：A、火箭加速过程中，所受合力为0时，即加速度为0时，速度最大，此时动能最大，故A正确；
B、由能量守恒可知，高压气体释放的能量转化为火箭的动能与重力势能以及摩擦生热，故B错误；
C、根据动量定理可知高压气体的推力和空气阻力和重力的总冲量等于火箭动量的增加量，故C错误；
D、火箭所受高压气体的推力做功转化为火箭的动能、重力势能与摩擦生热，则高压气体的推力和空气阻力和重力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量，故D错误；
故选：A。
15．（2022 乙卷）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
【解答】解：设下滑过程中，它到P点距离为L，下滑高度为h，圆环半径为R，如图
由几何关系得
sinθ
根据机械能守恒定律得
mgh
联立解得：v＝L，可见小环的速率正比于它到P点的距离L。
由，可知下降的高度h与L不成正比，则小环的速率与下降的高度h不成正比；
它滑过的弧长s＝2Rθ，因θ与L不成正比，则小环的速率与它滑过的弧长s不成正比；
它与P点的连线扫过的面积S，可知S与L不成正比，则小环的速率和它与P点的连线扫过的面积不成正比。
故C正确，ABD错误。
故选：C。
16．（2022 甲卷）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从a到c根据动能定理有：mgh
在c点根据牛顿第二定律有：kmg﹣mg
联立解得：R
故ABC错误，D正确；
故选：D。
17．（2021 重庆）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，O、O′为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：图中NO连线与水平方向的夹角θ，由几何关系可得，可得θ＝30°
设小物块通过N点时速度为v，小物块从左侧圆弧最高点静止释放，
由机械能守恒定律可得解得：，故D正确，ABC错误。
故选：D。
18．（2021 重庆）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰撞外仅受重力，则（ ）
A．t＝0时刻，甲的速率大于乙的速率
B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变
C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变
D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能
【解答】解：A．根据位移—时间图像斜率表示速度可知，t＝0时刻，甲的速率小于乙的速率，故A错误；
BC．根据甲乙两球位移图像可知，碰撞前后瞬间，两球交换速度，方向反向。根据题述，虚线（乙的位移图像）关于t＝t1左右对称，所以碰撞前后瞬间，乙的动量大小不变，方向变化，甲的动能不变，故B错误，C正确；
D．根据题述，实线两个顶点的纵坐标相同，可知碰撞后甲的机械能与乙的机械能相等，故D错误。
故选：C。
19．（2021 全国）如图，一质量为m的小球从高度为H的地方以初速度v0水平抛出。不计空气阻力，当小球在竖直方向上下降的距离为h时，其动能为（ ）
A．mmgH B．mmgh
C．mgH﹣mgh D．mmg（H﹣h）
【解答】解：由机械能守恒得：mgHmg（H﹣h）
解得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
20．（2021 海南）水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为（ ）
A．4.0m B．4.5m C．5.0m D．5.5m
【解答】解：人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，
根据机械能守恒定律可知mgHmv2，
代入数据解得v＝4m/s
从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，
根据hgt2可知落水时间为
t
水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为
x＝vt＝4m＝4.0m，故A正确，BCD错误；
故选：A。
21．（2021 湖北）如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（ ）
A．m＝0.7kg，f＝0.5N B．m＝0.7kg，f＝1.0N
C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N
【解答】解：对物块根据动能定理可知
在上滑过程中：﹣fs﹣mgssin30°mv2
变形可得Ek＝（f+mgsin30°）s
在下降过程中：mgssin30°﹣fsmv'2
变形可得Ek'＝（mgsin30°﹣f）s
结合图像联立解得m＝0.7kg，f＝0.5N
故A正确，BCD错误
故选：A。
22．（2021 北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【解答】解：汽车做匀速率运动，受力平衡，重力与阻力均不变，所以每一阶段的牵引力不变，汽车的输出功率不变。
设上下坡的夹角为θ，汽车受到的摩擦力为f，
在ab段，根据受力平衡可得，F1＝f+mgsinθ，此时的功率为P1＝F1v＝（f+mgsinθ）v，
在bc段，根据受力平衡可得，F2＝f，此时的功率为P2＝F2v＝fv，
在cd段，根据受力平衡可得，F3＝f﹣mgsinθ，此时的功率为P3＝F3v＝（f﹣mgsinθ）v，
所以P1＞P2＞P3，故B正确，ACD错误；
故选：B。
23．（2021 浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（ ）
发动机最大输出功率（kW） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（kg） 5.5×104 最大输送量（m3/h） 180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
【解答】解：泵车的泵送排量为150m3/h，则1小时输送的混凝土的体积为
V＝150×1m3＝150m3
则在1小时时间内输送的混凝土质量为
m＝ρV＝2.4×103×150kg＝3.6×105kg
将混凝土恰好输送到30m高处，泵送系统对混凝土做的功最少，泵送系统对混凝土做的功至少为
W＝mgh＝3.6×105×10×30J＝1.08×108J
故C正确，ABD错误。
故选：C。
24．（2021 湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
【解答】解：A、若动车组做匀加速启动，则加速度不变，而速度增大，则阻力也增大，要使合力不变则牵引力也将增大，故A错误；
B、若动车组输出功率均为额定值，则其加速a，随着速度增大，加速度减小，所以动车组做加速度减小的加速运动，故B错误；
C、当动车组的速度增大到最大vm时，其加速度为零，则有：，若总功率变为2.25P，则同样有：，联立两式可得：vm′，故C正确；
D、对动车组根据动能定理有：4Pt﹣Wf，所以克服阻力做的功Wf＝4Pt，故D错误。
故选：C。
25．（2021 浙江）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（ ）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
【解答】解：A、因每次曝光的时间间隔相等，设为Δt，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速度变化均为gΔt，故A正确；
B、A和D处于同一水平高度，根据机械能守恒知运动员在A、D位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，所以速度不同，故B错误；
C、由图可知，运动员从A到B为5Δt，从C到D的时间6Δt，时间不相同，故C错误；
D、由图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。
故选：A。
二．多选题（共9小题）
（多选）26．（2023 湖北）如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为，OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在P点下方 处的加速度大小为
C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
【解答】解：A、当小球置于杆上P点时恰好能保持静止，则有：k（l） μ＝mg，解得弹簧的劲度系数为：k，故A正确；
B、小球在P点下方 处时，弹簧与杆的夹角为45°，此时弹簧的长度为l′，弹簧处于压缩状态，受力情况如图所示：
弹力大小为：F＝k（l﹣l′），解得：F＝（4﹣2）mg
根据牛顿第二定律可得：mg+Fcos45°﹣f＝ma，其中：f＝μFsin45°
联立解得：ag，故B错误；
C、杆上M、N两点与O点的距离均为l，所以小球在M和N点时弹簧处于原长，小球从M到P过程中，弹簧的压缩量增大、弹力增大，弹簧弹力在水平方向的分力增大、摩擦力增大；小球从P到N过程中，弹簧的压缩量减小、弹力减小，弹簧弹力在水平方向的分力减小、摩擦力减小，故从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变大再变小，故C错误；
D、关于P点对称的任意两点，小球受到的摩擦力相同，所以从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同，故D正确。
故选：AD。
（多选）27．（2023 湖南）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
【解答】解：A、小球从B到C的过程中，根据牛顿第二定律有
mgcosθ﹣N＝m
其中θ逐渐减小，动能转化为重力势能，v也逐渐减小，所以N逐渐增大，根据牛顿第三定律可知小球对轨道的压力逐渐增大，故A正确；
B、小球从A到C的过程中，动能转化为重力势能，速度逐渐减小，重力的功率逐渐减小，故B错误；
C、小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，根据机械能守恒定律有
mg 2R
解得
故C错误；
D、在B点，根据牛顿第二定律有
mgcosθ﹣N＝m
解得
N＝mgcosθ﹣m
当N＝0时，v，当若小球初速度v＝v0增大，小球有可能从B点脱离轨道，故D正确；
故选：AD。
（多选）28．（2022 福建）一物块以初速度v0自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物体的动能Ek随位移x的变化关系如图所示，图中x0、Ek1、Ek2均已知。根据图中信息可以求出的物理量有（ ）
A．重力加速度大小
B．物体所受滑动摩擦力的大小
C．斜面的倾角
D．沿斜面上滑的时间
【解答】解：ABC、根据Ek1可解得物块质量m；
物块上滑时根据动能定理有：Ek﹣Ek1＝﹣（mgsinθ+f）x
物块下滑时根据动能定理有：Ek＝（mgsinθ﹣f）（x0﹣x），x0代表上滑的最远距离；
根据图像的斜率可知mgsinθ+f
mgsinθ﹣f
可解得：f，gsinθ（）
即可求出滑动摩擦力大小，但重力加速度和斜面倾角无法计算；
故AC错误，B正确；
D、根据牛顿第二定律有：mgsinθ+f＝ma
根据速度—时间公式有：t
可解得上滑的时间t。
故D正确；
故选：BD。
（多选）29．（2022 辽宁）如图所示，带电荷量为6Q（Q＞0）的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为﹣Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（ ）
A．带负电
B．运动至a点的速度大小为
C．运动至a点的加速度大小为2g
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
【解答】解：A、由题意可知三小球构成一个等边三角形，小球1和3之间的力大于小球2和3之间的力，弹簧处于压缩状态，故小球1和3一定是斥力，小球1带正电，故小球3带正电，故A错误；
B、小球3运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知，小球2对小球3做功为0；弹簧弹力做功为0，根据动能定理得：
解得：，故B正确；
C、小球3在b点时，设小球3的电荷量为q，有
设弹簧的弹力为F，根据受力平衡，沿斜面方向有
解得：
小球运动至a点时，弹簧的伸长量等于，根据对称性可知
解得：a＝2g，故C正确；
D、当运动至ab中点时，弹簧弹力为0，此时小球2对小球3的拉力为
斜面对小球的支持力为
根据牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力大小为mg，故D正确；
故选：BCD。
（多选）30．（2022 广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
【解答】解：AB、在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，则小车的牵引力等于小车受到的摩擦力，因此
从M到N过程中，小车摩擦力做功为Wf＝﹣40×20J＝﹣800J，即小车克服摩擦力做功800J，故AB正确；
C、从P到Q的过程中，根据功能关系可知，重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝50×10×20×sin30°J＝5000J，故C错误；
D、在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶，则
代入数据解得：f2＝35N
则此过程中，小车摩擦力做功为Wf2＝f2s＝﹣35×20J＝﹣700J，即小车克服摩擦力做功为700J，故D正确；
故选：ABD。
（多选）31．（2022 湖南）下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是 （ ）
A．x从0.05m到0.15m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21m到0.25m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35m和x＝0.45m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
E．木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为0.4m/s
【解答】解：A、木棒在竖直方向做简谐运动，根据图（b）可知x＝0.1m处，木棒达到平衡位置，此时的速度最大，所以x从0.05m到0.15m的过程中，木棒的动能先增大后减小，故A正确；
B、x＝0.2m时木棒浮力最小，此时木棒在上方最大位移处，重力大于浮力，木棒开始向下振动，x从0.21m到0.25m的过程中，木棒的浮力增大，但小于重力，说明在木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小，故B正确；
C、在x＝0.35m和x＝0.45m时，木板的浮力相同，说明木板处于同一位置，根据简谐运动的对称性可知，在x＝0.35m和x＝0.45m时木棒竖直方向的速度大小相等，方向相反，但木棒水平方向速度相同，根据速度的合成可知，木棒的速度方向不是相反，故C错误；
D、设木棒在平衡位置处浸没的深度为h，振幅为A。
浮力最大时，有：F1＝ρgS（A+h），浮力最小时，有：F2＝ρgS（h﹣A），联立解得：A，故D正确；
E、木棒的运动不是机械横波，机械波是振动的运动形式的传播，而木棒的运动是一个物体的机械运动，并不是运动形式的传播。故D错误。
故选：ABD。
（多选）32．（2021 重庆）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
【解答】解：A、根据题述，两车额定功率P相同，匀速运动后牵引力等于阻力，因此甲车阻力大于乙车阻力，根据甲车t2时刻后和乙车t4时刻后两车牵引力不变，甲车牵引力大于乙车可知F＝f＝kmg可知甲车的总重比乙车大，故A正确；
B、如图所甲车在A点所对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，所以甲车从这个时刻开始，做加速运动；乙车在B点所对应的时刻牵引力与阻力瞬间相等，乙车从这个时刻开始加速，所以甲车比乙车先开始运动，故B正确；
C、两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，这两个时刻，两车的牵引力等大，由P＝Fv可知，甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同，故C正确；
D、t2时刻甲车达到最大速度，t4时刻乙车达到最大速度，根据汽车的额定功率P＝fvm＝kmgvm可知由于甲车的总重比乙车大，所以甲车在t2时刻的速率小于乙车在t4时刻的速率，故D错误。
故选：ABC。
（多选）33．（2021 辽宁）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一，某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略；倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足μ0≤μ≤1.2μ0。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（ ）
A．L1，L2 B．L1，L2
C．L1，L2 D．L1，L2
【解答】解：设倾斜轨道的倾角为θ，游客质量为m。
因为要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，所以要满足：mgsinθ＜μ0mgcosθ，即tanθμ0，可得：L1；
假设游客恰好停止在水平轨道右端，对于游客运动的过程，由动能定理得：mgh+mgh﹣μmgcosθ 0﹣0
整理得：L1，
当μ取最大值1.2μ0时，L1的临界长度最短，故要使游客能滑到水平轨道上，需满足：L1；
假设游客恰好停止在水平轨道左端，对于游客运动的过程，由动能定理得：mgh+mgh﹣μmgcosθ μmgL2＝0﹣0
整理得：L1+L2，
当μ取最小值μ0时，（L1+L2）的临界长度最长，故要使游客能停在水平轨道上，需满足：L1+L2，
综上可得：L1+L2，且L1。
对于A选项：L1不满足条件，故A错误；
对于B选项：L1满足条件，L1+L2不满足条件，故B错误；
对于C选项：L1满足条件，L1+L2满足条件，故C正确；
对于D选项：L1满足条件，L1+L2满足条件，故D正确。
故选：CD。
（多选）34．（2021 广东）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ）
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
【解答】解：A、手榴弹在空中的运动可视为平抛运动，在竖直方向的分运动为自由落体运动，有
hgt2
战士在同一位置先后投出甲、乙两颗手榴弹，故h相等，故甲乙在空中运动的时间相等，故A错误；
B、手榴弹在空中的运动可视为平抛运动，在竖直方向的分运动为自由落体运动，设落地前瞬间手榴弹竖直分速度为vy，有
2gh
此时重力的功率为P＝mgvy
由题意h相等，故重力的功率相等，故B正确；
C、从投出到落地，每颗手榴弹的重力做功为WG＝mgh，根据功能关系可知，手榴弹的重力势能减少mgh，故C正确；
D、手榴弹在空中的运动可视为平抛运动，在运动过程中只有重力做功，故手榴弹的机械能守恒，故D错误。
故选：BC。
三．实验题（共6小题）
35．（2022 湖北）某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmax﹣Tmin图像是一条直线，如图乙所示。
（1）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为 ﹣2 。
（2）由图乙得：直线的斜率为 ﹣2.1 ，小钢球的重力为 0.59 N。（结果均保留2位有效数字）
（3）该实验系统误差的主要来源是 C （单选，填正确答案标号）。
A.小钢球摆动角度偏大
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动过程中有空气阻力
【解答】解：（1）设小球的质量为m，摆长为L，最大摆角为θ，小球到达最低点时的速度大小为v，
小球下摆过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mg（L﹣Lcosθ）
小球到达最低点时细线拉力最大，设最大拉力为Fmax，
由牛顿第二定律得：Fmax﹣mg
小球到达最高点时，拉力最小，设为Fmin。
由于速度为零，所以有：Fmin﹣mgcosθ＝0
联立以上几式可得：Fmax＝3mg﹣2Fmin
（2）由图象乙可知：图象的斜率k2.1。
将图象中的Fmin＝0，Fmax＝1.77N代入上式可得：mg＝0.59N；
（3）此实验的系统误差主要由空气阻力引起，按照实验过程的基本要求，使摆动的角度大一些，或使小球的初始位置不同，正是使实验数据具有普遍性，故AB错误，C正确。
故选：C。
故答案为：（1）﹣2；（2）﹣2.1、0.59；（3）C
36．（2022 广东）某实验小组为测量小球从某一高度释放，与某种橡胶材料碰撞导致的机械能损失，设计了如图（a）所示的装置，实验过程如下：
（1）让小球从某一高度由静止释放，与水平放置的橡胶材料碰撞后竖直反弹。调节光电门位置，使小球从光电门正上方释放后，在下落和反弹过程中均可通过光电门。
（2）用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图（b）所示，小球直径d＝ 7.885 mm。
（3）测量时，应 B （选填“A”或“B”，其中A为“先释放小球，后接通数字计时器”，B为“先接通数字计时器，后释放小球”）。记录小球第一次和第二次通过光电门的遮光时间t1和t2。
（4）计算小球通过光电门的速度，已知小球的质量为m，可得小球与橡胶材料碰撞导致的机械能损失ΔE＝ （用字母m、d、t1和t2表示）。
（5）若适当调高光电门的高度，将会 增大 （选填“增大”或“减小”）因空气阻力引起的测量误差。
【解答】解：（2）根据螺旋测微器的示数可求出小球的直径为：d＝7.5mm+38.5×0.01mm＝7.885mm；
（3）因为小球到光电门的距离不算太高，下落时间较短，如果先释放小球再打开数字计时器可能导致小球已经通过光电门或正在通过光电门，造成测量误差，故在测量时，要先接通数字计时器，后释放小球，故选B；
（4）在光电门位置，小球的重力势能相等，则小球在此处的动能之差即为小球与橡胶材料碰撞导致的机械能损失。
在极短时间内，物体的瞬时速度等于该过程中物体的平均速度，则小球第一次经过光电门的速度为，小球第二次经过光电门的速度为，因此ΔE；
（5）若适当调高光电门的高度，则空气阻力做功将变大，将会增大因空气阻力引起的测量误差。
故答案为：（2）7.885；（3）B；（4）；（5）增大
37．（2022 河北）某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装如图1所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m，已知弹簧的弹性势能表达式为Ekx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
（1）在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源，从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图2所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T（在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点）。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为 ，钩码的动能增加量为 ，钩码的重力势能增加量为 mgh5 。
（2）利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图3所示。
（3）由图3可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是 随着h增加，钩码克服空气阻力的做功在增加 。
【解答】解：（1）弹簧的长度为L的弹性势能为
到F点时弹簧的弹性势能为，因此弹性势能的减小量为：
ΔEp
根据纸带的特点可知，
则动能的增加量为，钩码的重力势能增加量为ΔEp＝mgh5。
（3）随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因随着h增加，钩码克服空气阻力的做功在增加。
故答案为：（1）；；mgh5；（3）随着h增加，钩码克服空气阻力的做功在增加
38．（2021 福建）某实验小组利用图（a）所示的实验装置探究空气阻力与速度的关系，实验过程如下：
（1）首先将未安装薄板的小车置于带有定滑轮的木板上，然后将纸带穿过打点计时器与小车相连。
（2）用垫块将木板一端垫高，调整垫块位置，平衡小车所受摩擦力及其他阻力。若某次调整过程中打出的纸带如图（b）所示（纸带上的点由左至右依次打出），则垫块应该 往右移 （填“往左移”“往右移”或“固定不动”）。
（3）在细绳一端挂上钩码，另一端通过定滑轮系在小车前端。
（4）把小车靠近打点计时器，接通电源，将小车由静止释放。小车拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图（c）所示。已知打点计时器所用交流电的频率为50Hz，纸带上标出的每两个相邻计数点之间还有4个打出的点未画出。打出F点时小车的速度大小为 0.15 m/s（结果保留2位小数）。
（5）保持小车和钩码的质量不变，在小车上安装一薄板。实验近似得到的某时刻起小车v﹣t图像如图（d）所示，由图像可知小车加速度大小 逐渐变小 （填“逐渐变大”“逐渐变小”或“保持不变”）。据此可以得到的实验结论是 空气阻力随速度增大而增大 。
【解答】解：（2）由题图（b）可知从左往右点间距逐渐增大，说明小车做加速运动，即平衡摩擦力过度，应减小木板的倾角，即将垫块往右移。
（4）打F点时小车的速度大小等于打E、G两点之间小车的平均速度大小，即
（5）v﹣t图像的斜率表示加速度，所以由图像可知小车加速度大小逐渐变小。
小车加速度随速度的增大而变小，根据牛顿第二定律可知小车所受合外力F随速度的增大而变小。装上薄板后，设小车所受空气阻力大小为f，则F＝T﹣f
而细绳拉力T不变，故由此得到的结论是空气阻力随速度增大而增大。
故答案为：往右移；0.15；逐渐变小；空气阻力随速度增大而增大
39．（2021 海南）为了验证物体沿光滑斜面下滑的过程中机械能守恒，某学习小组用如图1所示的气垫导轨装置（包括导轨、气源、光电门、滑块、遮光条、数字毫秒计）进行实验。此外可使用的实验器材还有：天平、游标卡尺、刻度尺。
（1）某同学设计了如下的实验步骤，其中不必要的步骤是 ②④ ；
①在导轨上选择两个适当的位置A、B安装光电门Ⅰ、Ⅱ，并连接数字毫秒计；
②用天平测量滑块和遮光条的总质量m；
③用游标卡尺测量遮光条的宽度d；
④通过导轨上的标尺测出A、B之间的距离l；
⑤调整好气垫导轨的倾斜状态；
⑥将滑块从光电门Ⅰ左侧某处，由静止开始释放，从数字毫秒计读出滑块通过光电门Ⅰ、Ⅱ的时间Δt1、Δt2；
⑦用刻度尺分别测量A、B点到水平桌面的高度h1、h2；
改变气垫导轨倾斜程度，重复步骤⑤⑥⑦，完成多次测量。
（2）用游标卡尺测量遮光条的宽度d时，游标卡尺的示数如图2所示，则d＝ 5.00 mm；某次实验中，测得Δt1＝11.60ms，则滑块通过光电门Ⅰ的瞬时速度v1＝ 0.431 m/s（保留3位有效数字）；
（3）在误差允许范围内，若h1﹣h2＝ （用上述必要的实验步骤直接测量的物理量符号表示，已知重力加速度为g），则认为滑块下滑过程中机械能守恒；
（4）写出两点产生误差的主要原因： 空气阻力、遮光条太宽 。
【解答】解：（1）滑块沿光滑的斜面下滑过程机械能守恒，需要通过光电门测量通过滑块运动的速度：
滑块下滑过程中机械能守恒，减少的重力势能转化为动能：
整理化简得：
所以测量滑块和遮光条得总质量m不必要，②满足题目要求，测量A、B之间的距离l不必要，④满足题目要求。
故选：②④。
（2）游标卡尺的读数为d＝5mm+0×0.05mm＝5.00mm。
滑块通过光电门的速度；
（3）根据（1）问可知：，在误差允许的范围内，满足该等式可认滑块下滑过程中机械能守恒；
（4）滑块在下滑过程中受到空气阻力作用，产生误差；遮光条宽度不够窄，测量速度不准确，产生误差。
故答案为：（1）②④；（2）5.00、0.431；（3）；（4）空气阻力、遮光条太宽
40．（2021 河北）某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系。所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、50g的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为200g，其上可放钩码）、刻度尺。当地重力加速度为9.80m/s2。实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为50.00cm，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持绳下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量ΔEk及系统总机械能的减少量ΔE，结果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.587 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为 0.980 J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的表格所缺数据为 0.588 ；
（3）以M为横轴，ΔE为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出ΔE﹣M图像；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则滑块与木板之间的动摩擦因数为 0.41 （保留两位有效数字）。
【解答】解：（1）钩码下降的高度h＝50.00cm＝0.5000m，每个钩码的质量m＝50g＝0.050kg，
轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量△Ep＝4mgh＝4×0.050×9.80×0.5000J＝0.980J。
（2）由能量守恒定律得：△Ep＝△Ek+△E，代入数据解得：△E＝0.588J。
（3）根据表中实验数据在坐标系内描出对应点，然后尽可能多的点过直线，不能过直线的点对称分布在直线两侧，根据坐标系内描出的点作出图象如图所示；
系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，则△E＝μMgh＝μghM，
△E﹣M图象的斜率k＝μghm2/s2，
代入数据解得：μ≈0.41
故答案为：（1）0.980；（2）0.588；（3）图象如图所示；0.41。
四．计算题（共10小题）
41．（2022 北京）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W。
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（k）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
【解答】解：（1）根据动能定理可得：W；
（2）该行星（设其质量为m2）受到恒星的作用力作为向心力，可得：F＝m2 r
又由于：k
联立解得：F＝m r∝
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比；
（3）设恒星的质量为M2，太阳的质量为M1，则有：M2＝2M1。
设地球到恒星的轨道半径为r2，到太阳的轨道半径为r1，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，则有：
，且有：P恒＝16P太
解得：r2：r1＝4：1
对于中心天体质量为M、绕其运动的卫星轨道半径为r时，根据万有引力提供向心力可得：mr，
解得：T
所以有：4。
答：（1）从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功为；
（2）证明见解析；
（3）4。
42．（2022 辽宁）如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥﹣R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【解答】解：（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得：
mgR
（2）小球从B到O，根据动能定理得：
解得：vO
（3）小球运至O点是速度竖直向上，受重力和电场力作用，将电场力分解到x轴和y轴上，则x轴方向有
Fcos45°＝max
竖直方向有
Fsin45°﹣mg＝may
解得：ax＝g；ay＝0
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
，y＝vOt
联立解得：y2＝6Rx，y≥0。
答：（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能为mgR；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程为y2＝6Rx，y≥0。
43．（2022 上海）如图所示，AB为平直导轨，长为L，物块与导轨间动摩擦因数为μ，BC为光滑曲面。A与地面间高度差为h1，BC间高度差为h2，一个质量为m的物块在水平恒力作用下，从A点由静止开始向右运动，到达B点时撤去恒力，物块经过C点后落地，已知重力加速度为g。
（1）若物块落地时动能为E1，求其经过B点时的动能EkB；
（2）若要物块落地时动能小于E1，求恒力必须满足的条件。
【解答】解：（1）从B到落地过程中机械能守恒，设地面为零势能面，则
mgh1+EkB＝E1
化简得：EkB＝E1﹣mgh1
（2）整个过程中根据动能定理得：
FmaxL﹣μmgL+mgh1＝E1
所以Fmax
若物体恰能达到C点，根据动能定理得：
FminL﹣μmgL﹣mgh2＝0
解得：Fmin
综上所述可得：F
答：（1）若物块落地时动能为E1，求其经过B点时的动能为E1﹣mgh1；
（2）若要物块落地时动能小于E1，求恒力必须满足的条件为F。
44．（2022 浙江）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1＝4m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ，货物可视为质点（取cos24°＝0.9，sin24°＝0.4）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度l2。
【解答】解：（1）倾斜滑轨与水平面成θ＝24°角，对货物根据牛顿第二定律可得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma1
代入数据解得：a1＝2m/s2；
（2）根据速度—位移关系可得：v2＝2a1l1
代入数据解得：v＝4m/s；
（3）货物在水平轨道上运动时，根据动能定理可得：
﹣μmgl2，其中v′＝2m/s
代入数据解得：l2＝2.7m。
答：（1）货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小为2m/s2；
（2）货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小为4m/s；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，则水平滑轨的最短长度为2.7m。
45．（2022 山东）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O′点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于5°），A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点，已知A的质量mA＝0.1kg，B的质量mB＝0.3kg，A与B的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.225，v0＝4m/s，取重力加速度g＝10m/s2，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vA与vB；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf；
（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用cos5°表示）。
【解答】解：（1）设水平向右为正方向，因为O'点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
mAv0＝mAvA+mBvB
代入数据联立解得
vA＝﹣2m/s，vB＝2m/s，负号代表方向向左；
（2）因为A物体返回到O点正下方时，相对地面速度为0，设A从进入粗糙部分到停下来对地的位移为x0，A物体减速过程根据动能定理有
﹣μ1mAgx0
根据动量定理有
﹣μ1mAgt2＝0﹣mAvA
代入数据解得
x0＝0.5m，t2＝0.5s
此过程中A减速的位移等于在A匀速运动过程中B向右的位移，所以对于此过程对B根据牛顿第二定律有：
μ2（mA+mB） g＝mBa1
解得：a1＝3m/s2
根据位移—时间关系有：x0＝vBt1
联立代入数据解得
t1s或1s（舍去）
故根据几何关系有
d＝vAt1+x0
代入数据解得
dm
（3）在A刚开始减速时，B物体的速度为
v2＝vB﹣a1t1
解得：v2＝1m/s
在A减速过程中，对B分析根据牛顿第二定律可知μ1mAg+μ2（mA+mB） g＝mBa2
解得：a2m/s2
设B物体停下来的时间为t3，则有
v2＝a2t3
解得：t3s＜t2＝0.5s
可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为
xBm
所以A对B的摩擦力所做的功为
Wf＝﹣μ1mAgxB
联立代入数据解得：WfJ
（4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有
t4
由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为T，摆长为L，则有
T＝t1+t2+t4
T＝2
小球下滑过程根据动能定理有
MgL
当碰后小球摆角恰为5°时，有
MgL （1﹣cos5°）
小球与A碰撞过程根据动量守恒定律有
Mv＝mAv0+Mv'1
小球A碰后要求速度方向不变，做简谐运动，则要求0＜v1'＜v1
所以可解得的取值范围为。
答：（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小为2m/s；
（2）B光滑部分的长度为m；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功为J；
（4）实现上述运动过程，的取值范围为。
46．（2022 浙江）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角α＝37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m＝0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R＝0.15m，轨道AB长度lAB＝3m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。
（1）若释放点距B点的长度l＝0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B点的长度为lx，滑块第一次经F点时的速度v与lx之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度lx的值。
【解答】解：（1）到C点过程，根据动能定理可得：
mglsin37°+mgR（1﹣cos37°）m
在C点时，根据向心力公式可得：
FN﹣mg＝m
联立解得：FN＝7N
（2）能过圆管轨道最高点时，则能到F点，那么恰好通过最高点时，根据动能定理可得：
mglxsin37°﹣3mgRcos37°﹣mgR＝0，
解得：lx＝0.85m
因此，要能过F点必须满足lx≥0.85m
在此条件下判断是否可以通过D点：
滑块能通过D点需满足：mgcos37°≤m，解得：gRcos37°
由D点能到圆管轨道最高点需满足：mg（R+Rcos37°），解得：2gR（1+cos37°）＞gRcos37°
可见只要能到达F点就一定能通过D点。
第一次过F点时的速度v与lx之间的关系式，根据动能定理可得：
mglxsin37°﹣4mgRcos37°，
解得：v，其中lx≥0.85m
（3）设摩擦力做功为第一次达到中点的n倍，根据动能定理可得：
mglxsin37°﹣mgsin37°﹣nμmgcos37°＝0（根据滑块运动到停下来，其中n为奇数），
解得：lxm
当n＝1时，lx1m；当n＝3时，lx2m；当n＝5时，lx3m
答：（1）滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小为7N；
（2）滑块第一次经F点时的速度v与lx之间的关系式为v，其中lx≥0.85m；
（3）释放点距B点长度lx的值可能为m、m、m。
47．（2021 江苏）如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）装置静止时，弹簧弹力的大小F；
（2）环A的质量M；
（3）上述过程中装置对A、B所做的总功W。
【解答】解：（1）设AB、OB的张力分别为F1、F2，A受力平衡
则F＝F2sin37°
B受力平衡
F1cos37°+F2cos37°＝mg
F1sin37°＝F2sin37°
解得：
（2）设装置转动的角速度为ω，对A
对B
解得：
（3）B上升的高度，A、B的动能分别为：；
根据能量守恒定律可知，W＝EkA+EkB+mgh
解得：W
答：（1）装置静止时，弹簧弹力的大小F为；
（2）环A的质量M为；
（3）上述过程中装置对A、B所做的总功W为。
48．（2021 福建）如图（a），一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知AB段长度为2m，滑块质量为2kg，滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）当拉力为10N时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B点时的动能；
（3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
【解答】解：（1）小滑块的质量为m，斜面倾角为θ，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块受斜面的支持力大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为10N时滑块的加速度大小为a。由牛顿第二定律和滑动摩擦力公式有
T+mgsinθ﹣f＝ma①
N﹣mgcosθ＝0②
f＝μN③
联立①②③式并代入题给数据得
a＝7m/s2④
（2）设滑块在AB段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有
W＝T1s1+T2s2⑤
式中T1、T2和s1、s2分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，T1＝8N，s1＝1m，T2＝10N，s2＝1m。设滑块第一次到达B点时的动能为Ek，由动能定理有
W+（mgsinθ﹣f）（s1+s2）＝Ek﹣0⑥
联立②③⑤⑥式并代入题给数据得
Ek＝26J⑦
（3）由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B点时，动能仍为Ek。设滑块离B点的最大距离为smax，由动能定理有
﹣（mgsinθ+f）smax＝0﹣Ek⑧
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得
smax＝1.3m⑨
答：
（1）当拉力为10N时，滑块的加速度大小为7m/s2；
（2）滑块第一次到达B点时的动能为26J
（3）第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离为1.3m。
49．（2021 山东）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小；
（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
【解答】解：（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得
弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得
联立得
（2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为x，以A为研究对象，由平衡条件得kx＝f
若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值Fmin，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得
联立得
根据题意舍去，得
（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为xB，C的位移为xC，以B为研究对象，由动能定理得﹣W﹣fxB＝0﹣Ek
以C为研究对象，由动能定理得﹣fxC＝0﹣Ek
由B、C的运动关系得xB＞xC﹣xBC
联立得W＜fxBC
（4）
答：（1）B、C向左移动的最大距离x0为，B、C分离时B的动能为；
（2）为保证A能离开墙壁，恒力的最小值为；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，则W＜fxBC；
（4）见解析。
50．（2021 浙江）如图所示，水平地面上有一高H＝0.4m的水平台面，台面上竖直放置倾角θ＝37°的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r＝0.1m、圆心在O1点，轨道DEF的半径R＝0.2m、圆心在O2点，O1、D、O2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若小滑块的初始高度h＝0.9m，求小滑块到达B点时速度vB的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值hmin；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax。
【解答】解：（1）小滑块在AB轨道上运动过程中，根据动能定理可得：
mgh﹣μmgcosθ
解得：vB＝4m/s；
（2）若小球能完成整个运动过程，则小球在DEF轨道最高点E时恰好对最高的压力为零，根据牛顿第二定律可得：
mg＝m，解得：vEm/s
设小球与小滑块碰撞后的速度大小为v2，从C到E根据机械能守恒定律可得：
mg（R+r）
解得：v2＝2m/s
设小滑块与小球碰撞前的速度为v0，碰撞后的速度为v1，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：mv0＝mv1+mv2
根据机械能守恒定律可得：mv02mv12mv22
联立解得：v0＝2m/s
小滑块在AB轨道上运动过程中，根据动能定理可得：
mghmin﹣μmgcosθ
解得：hmin＝0.45m；
（3）设F到G的距离为y，小球从E点到G点的运动，根据动能定理可得：
mg（R+y）
小球离开G后做平抛运动，水平位移x＝vGt
竖直方向：H+r﹣y
联立解得：x＝2
当0.5﹣y＝0.3+y，即y＝0.1m时x最大，
最大值xmax＝2×0.4m＝0.8m。
答：（1）若小滑块的初始高度h＝0.9m，小滑块到达B点时速度大小为4m/s；
（2）若小球能完成整个运动过程，h的最小值为0.45m；
（3）落地点Q与F点的水平距离的最大值为0.8m。
五．解答题（共4小题）
51．（2023 湖北）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小。
（2）B和D两点的高度差。
（3）小物块在A点的初速度大小。
【解答】解：（1）小物块恰好能到达轨道的最高点D，说明只有重力提供向心力，列式得：mg，解得小物块到达D点的速度大小：；
（2）设B和D两点的高度差为h，小物块在B点的速度为vB，从B到D过程，根据动能定理得：mgh
小物块在BC之间做平抛运动，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，说明在C点速度与过C点半径垂直，说明此时速度方向与水平方向夹角为60°，将速度沿水平和竖直分解，如下图所示：
BC之间的竖直距离H＝h+R+Rcos60°＝h+1.5R
根据平抛运动规律得：tan60°
联立求解小物块在B点的速度为vB，B和D两点的高度差h＝0
（3）设小物块在A点的速度为v，从A到B只有摩擦力做功，运用动能定理得：﹣μmg 2πR，将及vB代入解得：小物块在A点的初速度大小v。
答：（1）小物块到达D点的速度大小为；
（2）B和D两点的高度差为0；
（3）小物块在A点的初速度大小为。
52．（2023 江苏）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连，若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求滑雪者运动到P点的时间t；
（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。
【解答】解：（1）滑雪者由A到P做匀加速直线运动，设此过程的加速度大小为a，滑雪者的质量为m，由牛顿第二定律得：
mgsin45°﹣μmgcos45°＝ma
由位移—时间关系公式可得：
dat2
联立解得：t
（2）设滑雪者从P到B的过程，所受重力与滑动摩擦力做功分别为WG、Wf，对滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点的过程，由动能定理得：
WG+Wf＝0﹣0
对滑雪者从A点静止下滑到B点的过程，由动能定理得：
mgdsin45°﹣μmgdcos45°+WG+Wfmv2﹣0
联立解得：v
（3）滑雪者在B点以速度大小为v，方向与水平方向夹角为45°的速度做斜抛运动，在B点竖直向上的分速度为vy＝vsin45°，水平分速度为vx＝vcos45°
设从B点运动到最高点的时间t1，由竖直方向做竖直上抛运动得：
t1
设从B点运动到与B点等高点的水平位移的大小为x，由竖直上抛运动的对称性可知此过程的时间为2t1，由水平方向做匀速直线运动得：
x＝vx 2t1
联立解得：x
若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，平台BC的长度不能大于x，故平台BC的最大长度L＝x
答：（1）滑雪者运动到P点的时间t为；
（2）滑雪者从B点飞出的速度大小v为；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，平台BC的最大长度L为。
53．（2023 辽宁）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1600m、汲水质量m＝1.0×104kg。离开水面后，飞机攀升高度h＝100m时速度达到v2＝100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。
【解答】解：（1）根据运动学公式可得
解得am/s2＝2m/s2
根据vt＝v0+at可得
ts＝40s
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量为
ΔE＝ΔEk+ΔEpmghJ1.0×104×802J+1.0×104×10×100J＝2.8×107J
答：（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小为2m/s2，滑行时间t为40s；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE为2.8×107J。
54．（2023 甲卷）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为EP。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
【解答】解：（1）设小球离开桌面时速度大小为v0，对小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：EP
解得：v0
（2）设小球从离开桌面到第一次落地所用时间为t，则落地点距飞出点的水平距离x＝v0t
落地瞬间竖直分速度vy＝gt
与地面撞击后瞬间，竖直速度大小为vy′vygt
小球竖直方向做竖直上抛运动，有：0﹣vy′2＝﹣2gh
联立解得：x
答：（1）小球离开桌面时的速度大小为；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为。
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专题6机械能守恒定律
一．选择题（共25小题）
1．（2023 山东）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）
A． B． C． D．nmgωRH
2．（2023 山东）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力。如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为S1时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为S2。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 浙江）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023 辽宁）如图（a），从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放，沿不同轨道滑到N点，其速率v与时间t的关系如图（b）所示。由图可知，两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过程中（ ）
A．甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B．甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C．乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D．乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
6．（2023 江苏）滑块以一定的初速度沿粗糙斜面从底端上滑，到达最高点B后返回到底端。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片示意图如图所示。与图乙中相比，图甲中滑块（ ）
A．受到的合力较小
B．经过A点的动能较小
C．在A、B之间的运动时间较短
D．在A、B之间克服摩擦力做的功较小
7．（2023 新课标）无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为（重力加速度大小为g）（ ）
A．0 B．mgh C．mv2﹣mgh D．mv2+mgh
8．（2023 甲卷）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
9．（2023 上海）一物块爆炸分裂为速率相同、质量不同的三个物块，对三者落地速率大小判断正确的是（ ）
A．质量大的落地速率大 B．质量小的落地速率大
C．三者落地速率都相同 D．无法判断
10．（2023 浙江）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（ ）
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
11．（2022 江苏）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态．A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零．A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）
A．当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下
B．A上滑时，弹簧的弹力方向不发生变化
C．下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量
12．（2022 江苏）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳．将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022 浙江）小明用额定功率为1200W、最大拉力为300N的提升装置，把静置于地面的质量为20kg的重物竖直提升到高为85.2m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，则提升重物的最短时间为（ ）
A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s
14．（2022 山东）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭加速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
15．（2022 乙卷）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ）
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
16．（2022 甲卷）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
17．（2021 重庆）如图所示，竖直平面内有两个半径为R，而内壁光滑的圆弧轨道，固定在竖直平面内，地面水平，O、O′为两圆弧的圆心，两圆弧相切于N点。一小物块从左侧圆弧最高处静止释放，当通过N点时，速度大小为（重力加速度为g）（ ）
A． B． C． D．
18．（2021 重庆）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰撞外仅受重力，则（ ）
A．t＝0时刻，甲的速率大于乙的速率
B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变
C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变
D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能
19．（2021 全国）如图，一质量为m的小球从高度为H的地方以初速度v0水平抛出。不计空气阻力，当小球在竖直方向上下降的距离为h时，其动能为（ ）
A．mmgH B．mmgh
C．mgH﹣mgh D．mmg（H﹣h）
20．（2021 海南）水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为（ ）
A．4.0m B．4.5m C．5.0m D．5.5m
21．（2021 湖北）如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（ ）
A．m＝0.7kg，f＝0.5N B．m＝0.7kg，f＝1.0N
C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N
22．（2021 北京）如图所示，高速公路上汽车定速巡航（即保持汽车的速率不变）通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
23．（2021 浙江）中国制造的某一型号泵车如图所示，表中列出了其部分技术参数。已知混凝土密度为2.4×103kg/m3，假设泵车的泵送系统以150m3/h的输送量给30m高处输送混凝土，则每小时泵送系统对混凝土做的功至少为（ ）
发动机最大输出功率（kW） 332 最大输送高度（m） 63
整车满载质量（kg） 5.5×104 最大输送量（m3/h） 180
A．1.08×107J B．5.04×107J C．1.08×108J D．2.72×108J
24．（2021 湖南）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（ ）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mvm2﹣Pt
25．（2021 浙江）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（ ）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D位置时重心的速度相同
C．运动员从A到B和从C到D的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B和C中间
二．多选题（共9小题）
（多选）26．（2023 湖北）如图所示，原长为l的轻质弹簧，一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连。小球套在竖直固定的粗糙杆上，与杆之间的动摩擦因数为0.5。杆上M、N两点与O点的距离均为l，P点到O点的距离为，OP与杆垂直。当小球置于杆上P点时恰好能保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。小球以某一初速度从M点向下运动到N点，在此过程中，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球在P点下方 处的加速度大小为
C．从M点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力先变小再变大
D．从M点到P点和从P点到N点的运动过程中，小球受到的摩擦力做功相同
（多选）27．（2023 湖南）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道
（多选）28．（2022 福建）一物块以初速度v0自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物体的动能Ek随位移x的变化关系如图所示，图中x0、Ek1、Ek2均已知。根据图中信息可以求出的物理量有（ ）
A．重力加速度大小
B．物体所受滑动摩擦力的大小
C．斜面的倾角
D．沿斜面上滑的时间
（多选）29．（2022 辽宁）如图所示，带电荷量为6Q（Q＞0）的球1固定在倾角为30°光滑绝缘斜面上的a点，其正上方L处固定一电荷量为﹣Q的球2，斜面上距a点L处的b点有质量为m的带电球3，球3与一端固定的绝缘轻质弹簧相连并在b点处于静止状态。此时弹簧的压缩量为，球2、3间的静电力大小为。迅速移走球1后，球3沿斜面向下运动。g为重力加速度，球的大小可忽略，下列关于球3的说法正确的是（ ）
A．带负电
B．运动至a点的速度大小为
C．运动至a点的加速度大小为2g
D．运动至ab中点时对斜面的压力大小为mg
（多选）30．（2022 广东）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有（ ）
A．从M到N，小车牵引力大小为40N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J
（多选）31．（2022 湖南）下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1Hz的简谐运动；与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法正确的是 （ ）
A．x从0.05m到0.15m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21m到0.25m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．x＝0.35m和x＝0.45m时，木棒的速度大小相等，方向相反
D．木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为
E．木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为0.4m/s
（多选）32．（2021 重庆）额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从t1和t3时刻开始以额定功率行驶，从t2和t4时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受的阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（ ）
A．甲车的总重比乙车大
B．甲车比乙车先开始运动
C．甲车在t1时刻和乙车在t3时刻的速率相同
D．甲车在t2时刻和乙车在t4时刻的速率相同
（多选）33．（2021 辽宁）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一，某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略；倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足μ0≤μ≤1.2μ0。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（ ）
A．L1，L2 B．L1，L2
C．L1，L2 D．L1，L2
（多选）34．（2021 广东）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有（ ）
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
三．实验题（共6小题）
35．（2022 湖北）某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。拉起小钢球至某一位置由静止释放，使小钢球在竖直平面内摆动，记录钢球摆动过程中拉力传感器示数的最大值Tmax和最小值Tmin。改变小钢球的初始释放位置，重复上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的Tmax﹣Tmin图像是一条直线，如图乙所示。
（1）若小钢球摆动过程中机械能守恒，则图乙中直线斜率的理论值为 。
（2）由图乙得：直线的斜率为 ，小钢球的重力为 N。（结果均保留2位有效数字）
（3）该实验系统误差的主要来源是 （单选，填正确答案标号）。
A.小钢球摆动角度偏大
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动过程中有空气阻力
36．（2022 广东）某实验小组为测量小球从某一高度释放，与某种橡胶材料碰撞导致的机械能损失，设计了如图（a）所示的装置，实验过程如下：
（1）让小球从某一高度由静止释放，与水平放置的橡胶材料碰撞后竖直反弹。调节光电门位置，使小球从光电门正上方释放后，在下落和反弹过程中均可通过光电门。
（2）用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图（b）所示，小球直径d＝ mm。
（3）测量时，应 （选填“A”或“B”，其中A为“先释放小球，后接通数字计时器”，B为“先接通数字计时器，后释放小球”）。记录小球第一次和第二次通过光电门的遮光时间t1和t2。
（4）计算小球通过光电门的速度，已知小球的质量为m，可得小球与橡胶材料碰撞导致的机械能损失ΔE＝ （用字母m、d、t1和t2表示）。
（5）若适当调高光电门的高度，将会 （选填“增大”或“减小”）因空气阻力引起的测量误差。
37．（2022 河北）某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装如图1所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m，已知弹簧的弹性势能表达式为Ekx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
（1）在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源，从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图2所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T（在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点）。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为 ，钩码的动能增加量为 ，钩码的重力势能增加量为 。
（2）利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图3所示。
（3）由图3可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是 。
38．（2021 福建）某实验小组利用图（a）所示的实验装置探究空气阻力与速度的关系，实验过程如下：
（1）首先将未安装薄板的小车置于带有定滑轮的木板上，然后将纸带穿过打点计时器与小车相连。
（2）用垫块将木板一端垫高，调整垫块位置，平衡小车所受摩擦力及其他阻力。若某次调整过程中打出的纸带如图（b）所示（纸带上的点由左至右依次打出），则垫块应该 （填“往左移”“往右移”或“固定不动”）。
（3）在细绳一端挂上钩码，另一端通过定滑轮系在小车前端。
（4）把小车靠近打点计时器，接通电源，将小车由静止释放。小车拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图（c）所示。已知打点计时器所用交流电的频率为50Hz，纸带上标出的每两个相邻计数点之间还有4个打出的点未画出。打出F点时小车的速度大小为 m/s（结果保留2位小数）。
（5）保持小车和钩码的质量不变，在小车上安装一薄板。实验近似得到的某时刻起小车v﹣t图像如图（d）所示，由图像可知小车加速度大小 （填“逐渐变大”“逐渐变小”或“保持不变”）。据此可以得到的实验结论是 。
39．（2021 海南）为了验证物体沿光滑斜面下滑的过程中机械能守恒，某学习小组用如图1所示的气垫导轨装置（包括导轨、气源、光电门、滑块、遮光条、数字毫秒计）进行实验。此外可使用的实验器材还有：天平、游标卡尺、刻度尺。
（1）某同学设计了如下的实验步骤，其中不必要的步骤是 ；
①在导轨上选择两个适当的位置A、B安装光电门Ⅰ、Ⅱ，并连接数字毫秒计；
②用天平测量滑块和遮光条的总质量m；
③用游标卡尺测量遮光条的宽度d；
④通过导轨上的标尺测出A、B之间的距离l；
⑤调整好气垫导轨的倾斜状态；
⑥将滑块从光电门Ⅰ左侧某处，由静止开始释放，从数字毫秒计读出滑块通过光电门Ⅰ、Ⅱ的时间Δt1、Δt2；
⑦用刻度尺分别测量A、B点到水平桌面的高度h1、h2；
改变气垫导轨倾斜程度，重复步骤⑤⑥⑦，完成多次测量。
（2）用游标卡尺测量遮光条的宽度d时，游标卡尺的示数如图2所示，则d＝ mm；某次实验中，测得Δt1＝11.60ms，则滑块通过光电门Ⅰ的瞬时速度v1＝ m/s（保留3位有效数字）；
（3）在误差允许范围内，若h1﹣h2＝ （用上述必要的实验步骤直接测量的物理量符号表示，已知重力加速度为g），则认为滑块下滑过程中机械能守恒；
（4）写出两点产生误差的主要原因： 。
40．（2021 河北）某同学利用图1中的实验装置探究机械能变化量与力做功的关系。所用器材有：一端带滑轮的长木板、轻细绳、50g的钩码若干、光电门2个、数字计时器、带遮光条的滑块（质量为200g，其上可放钩码）、刻度尺。当地重力加速度为9.80m/s2。实验操作步骤如下：
①安装器材，调整两个光电门距离为50.00cm，轻细绳下端悬挂4个钩码，如图1所示；
②接通电源，释放滑块，分别记录遮光条通过两个光电门的时间，并计算出滑块通过两个光电门的速度；
③保持绳下端悬挂4个钩码不变，在滑块上依次增加一个钩码，记录滑块上所载钩码的质量，重复上述步骤；
④完成5次测量后，计算出每次实验中滑块及所载钩码的总质量M、系统（包含滑块、滑块所载钩码和轻细绳悬挂钩码）总动能的增加量ΔEk及系统总机械能的减少量ΔE，结果如下表所示：
M/kg 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400
ΔEk/J 0.587 0.490 0.392 0.294 0.195
ΔE/J 0.393 0.490 0.686 0.785
回答下列问题：
（1）实验中轻细绳所悬挂钩码重力势能的减少量为 J（保留三位有效数字）；
（2）步骤④中的表格所缺数据为 ；
（3）以M为横轴，ΔE为纵轴，选择合适的标度，在图2中绘出ΔE﹣M图像；
若系统总机械能的减少量等于克服摩擦力做功，则滑块与木板之间的动摩擦因数为 （保留两位有效数字）。
四．计算题（共10小题）
41．（2022 北京）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W。
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（k）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。
42．（2022 辽宁）如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥﹣R区域有方向与x轴夹角为θ＝45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
43．（2022 上海）如图所示，AB为平直导轨，长为L，物块与导轨间动摩擦因数为μ，BC为光滑曲面。A与地面间高度差为h1，BC间高度差为h2，一个质量为m的物块在水平恒力作用下，从A点由静止开始向右运动，到达B点时撤去恒力，物块经过C点后落地，已知重力加速度为g。
（1）若物块落地时动能为E1，求其经过B点时的动能EkB；
（2）若要物块落地时动能小于E1，求恒力必须满足的条件。
44．（2022 浙江）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中，如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度l1＝4m，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为μ，货物可视为质点（取cos24°＝0.9，sin24°＝0.4）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度a1的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度v的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度l2。
45．（2022 山东）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的O′点，O′点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O′点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态，将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于5°），A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点，已知A的质量mA＝0.1kg，B的质量mB＝0.3kg，A与B的动摩擦因数μ1＝0.4，B与地面间的动摩擦因数μ2＝0.225，v0＝4m/s，取重力加速度g＝10m/s2，整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小vA与vB；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf；
（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用cos5°表示）。
46．（2022 浙江）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角α＝37°的光滑直轨道AB、圆心为O1的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O2的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O1、D、O2和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m＝0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R＝0.15m，轨道AB长度lAB＝3m，滑块与轨道FG间的动摩擦因数μ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放。
（1）若释放点距B点的长度l＝0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力FN的大小；
（2）设释放点距B点的长度为lx，滑块第一次经F点时的速度v与lx之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度lx的值。
47．（2021 江苏）如图所示的离心装置中，光滑水平轻杆固定在竖直转轴的O点，小圆环A和轻质弹簧套在轻杆上，长为2L的细线和弹簧两端分别固定于O和A，质量为m的小球B固定在细线的中点，装置静止时，细线与竖直方向的夹角为37°，现将装置由静止缓慢加速转动，当细线与竖直方向的夹角增大到53°时，A、B间细线的拉力恰好减小到零，弹簧弹力与静止时大小相等、方向相反，重力加速度为g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）装置静止时，弹簧弹力的大小F；
（2）环A的质量M；
（3）上述过程中装置对A、B所做的总功W。
48．（2021 福建）如图（a），一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜面上一轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化关系如图（b）所示。已知AB段长度为2m，滑块质量为2kg，滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）当拉力为10N时，滑块的加速度大小；
（2）滑块第一次到达B点时的动能；
（3）滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
49．（2021 山东）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离x0和B、C分离时B的动能Ek；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值Fmin；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为xBC，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与fxBC的大小；
（4）若F＝5f，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
50．（2021 浙江）如图所示，水平地面上有一高H＝0.4m的水平台面，台面上竖直放置倾角θ＝37°的粗糙直轨道AB、水平光滑直轨道BC、四分之一圆周光滑细圆管道CD和半圆形光滑轨道DEF，它们平滑连接，其中管道CD的半径r＝0.1m、圆心在O1点，轨道DEF的半径R＝0.2m、圆心在O2点，O1、D、O2和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道AB上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道BC上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道CD、轨道DEF从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道AB间的动摩擦因数μ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若小滑块的初始高度h＝0.9m，求小滑块到达B点时速度vB的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值hmin；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值xmax。
五．解答题（共4小题）
51．（2023 湖北）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小。
（2）B和D两点的高度差。
（3）小物块在A点的初速度大小。
52．（2023 江苏）如图所示，滑雪道AB由坡道和水平道组成，且平滑连接，坡道倾角均为45°。平台BC与缓冲坡CD相连，若滑雪者从P点由静止开始下滑，恰好到达B点。滑雪者现从A点由静止开始下滑，从B点飞出。已知A、P间的距离为d，滑雪者与滑道间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求滑雪者运动到P点的时间t；
（2）求滑雪者从B点飞出的速度大小v；
（3）若滑雪者能着陆在缓冲坡CD上，求平台BC的最大长度L。
53．（2023 辽宁）某大型水陆两栖飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水面上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v1＝80m/s时离开水面，该过程滑行距离L＝1600m、汲水质量m＝1.0×104kg。离开水面后，飞机攀升高度h＝100m时速度达到v2＝100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；
（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。
54．（2023 甲卷）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为EP。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
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