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专题11电磁感应
一．选择题（共15小题）
1．（2023 湖北）近场通信（NFC）器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为1.0cm、1.2cm和1.4cm，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为103T/s，则线圈产生的感应电动势最接近（ ）
A．0.30V B．0.44V C．0.59V D．4.3V
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：E＝nn
本题3匝线圈面积各不同，每匝线圈相当于一个电源，3匝线圈为串联关系，故线圈产生的感应电动势为3匝线圈产生的感应电动势之和，则有：
E＝E1+E2+E3（S1+S2+S3）＝103×（1.02+1.22+1.42）×10﹣4V＝0.44V
故ACD错误，B正确。
故选：B。
2．（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设导体棒长为L，匀速转动的角速度为ω，线速度大小为v，t时刻导体棒相对竖直轴OP转动的角度为θ，如图1所示：
在t时刻导体棒的线速度沿垂直磁场方向的分速度大小v1＝vcosθ，其中：θ＝ωt
由法拉第电磁感应定律可得：u＝BLv1＝BLvcosωt
可知导体棒两端的电势差u随时间t按余弦规律变化，故C正确，ABD错误。
故选：C。
3．（2023 江苏）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φO、φA、φC，则（ ）
A．φO＞φC B．φC＞φA
C．φO＝φA D．φO﹣φA＝φA﹣φC
【解答】解：根据右手定则可知，在OA段电流的方向从A点流向O点，在电源内部，电流从负极流向正极，则O点的电势大于C点的电势，在AC段，导体棒没有切割磁感线，则不产生电流，因此A点的电势和C点的电势相等，因此φO＞φA＝φC，故A正确，BCD错误；
故选：A。
4．（2023 乙卷）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验。用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通。两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，在管内下落至管的下端。实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流I随时间t的变化分别如图（b）和图（c）所示，分析可知（ ）
A．图（c）是用玻璃管获得的图像
B．在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C．在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
【解答】解：A、强磁体在铝管中下落时，铝管的磁通量变化，铝管中产生涡流，涡流对强磁体有向上的作用力，强磁体在重力作用下先加速，很快达到平衡状态，做匀速直线运动；强磁体在玻璃管中下落时，玻璃管是绝缘体，不会产生涡流，强磁体一直做加速运动。由图像得，图（c）中电流的峰值一直在增大，说明强磁体的速度在增大，故图（c）是用玻璃管获得的图像，故A正确；
B、强磁体在铝管中下落，电流的峰值不发生变化，说明小磁体做匀速运动，故B错误；
C、强磁体在玻璃管下落，由图像（c）得，电流的峰值一直在增大，导线所受安培力增大，强磁体受到的电磁阻力增大，故C错误；
D、强磁体在铝管中运动时产生的电流峰值比在玻璃管中运动时产生的电流峰值小，即在铝管中运动时的速度更小，用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的长，故D错误。
故选：A。
5．（2023 浙江）如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO'，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：导体杆切割磁感线时，回路中产生感应电流，由楞次定律可得，导体杆受到的安培力总是阻碍导体棒的运动。
当电阻R从R0变为2R0时，回路中的电阻增大，则电流减小，导体杆所受安培力减小，即导体杆在摆动时所受的阻力减弱，所杆从开始摆动到停止，运动的路程和经历的时间变长，故B正确，ACD错误。
故选：B。
6．（2022 江苏）如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝B0+kt，B0、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为（ ）
A．πkr2 B．πkR2 C．πB0r2 D．πB0R2
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律有：Ek πr2；
故A正确，BCD错误；
故选：A。
7．（2022 海南）一个有N匝的矩形线框，面积为S，以角速度ω从如图所示的位置开始，在匀强磁场B中匀速转动，则产生的感应电动势随时间变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：线圈转动产生的感应电动势的最大值为Em＝NBSω，从与中性面垂直位置开始计时，则产生的感应电动势的瞬时表达式为e＝Emcosωt＝NBSωcosωt，故A正确，BCD错误；
故选：A。
8．（2022 上海）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（ ）
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
【解答】解：选向右的方向为正方向
线框进入磁场的过程中，根据动量定理得：
又因为
可得：v1﹣v0＝v2﹣v1
线框进入磁场和离开磁场的过程中都受到向左的安培力的作用而减速，进入过程平均速度大于离开过程平均速度，则根据可知：t1＜t2；
根据动能定理可得：
；
解得：，故B正确，ACD错误；
故选：B。
9．（2022 广东）如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1＞n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是（ ）
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
【解答】解：AD、在转子匀速转动的过程中，通过两个线圈的磁通量均在做周期性变化，所以两个线圈均会产生感应电动势。根据法拉第电磁感应定律E＝n可知，即使在磁通量的变化率相同时，由于匝数不同，产生的感应电动势也不会相等。同样的有效值也不相等。再根据功率的计算公式可知，电阻消耗的电功率也不相等，故AD错误；
B、两线圈产生的交变电流均受转子的运动情况影响，转子在做匀速圆周运动，周期固定，频率固定，故两线圈产生的交变电流频率也相等，故B正确；
C、电动势达到最大值时磁通量最小，结合题图可知，两个线圈的磁通量无法同时达到最小，故产生的电动势无法同时达到最大值，故C错误。
故选：B。
10．（2022 河北）将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0+kt，B0和k均为常量、则线圈中总的感应电动势大小为（ ）
A．kS1 B．5kS2 C．k（S1﹣5S2） D．k（S1+5S2）
【解答】解：根据法拉第电磁感应定律可知，大圆产生的感应电动势为，每个小线圈产生的感应电动势为，且根据楞次定律可知，线圈产生的电流方向相同，即电动势要全部相加，则总的感应电动势为E＝5E2+E1＝k（S1+5S2），故D正确，ABC错误；
故选：D。
11．（2022 甲卷）三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则（ ）
A．I1＜I3＜I2 B．I1＞I3＞I2 C．I1＝I2＞I3 D．I1＝I2＝I3
【解答】解：设圆的半径为R，则圆的周长为L2＝2πR，面积S2＝πR2，正方形的周长为L1＝8R，面积S1＝4R2，正六边形的周长为L3＝6R，面积S3R2，
根据电阻定律有：R
根据法拉第电磁感应定律有：E
根据欧姆定律有：I∝
代入周长与面积可知：I1＝I2＞I3
故C正确，ABD错误；
故选：C。
12．（2022 浙江）如图所示，将一通电螺线管竖直放置，螺线管内部形成方向竖直向上、磁感应强度大小B＝kt的匀强磁场，在内部用绝缘轻绳悬挂一与螺线管共轴的金属薄圆管，其电阻率为ρ、高度为h、半径为r、厚度为d（d r），则（ ）
A．从上向下看，圆管中的感应电流为逆时针方向
B．圆管的感应电动势大小为
C．圆管的热功率大小为
D．轻绳对圆管的拉力随时间减小
【解答】解：A、根据安培定则可知螺线管产生的磁场的方向向上，由于螺线管产生的磁场随时间增强，根据楞次定律，圆管产生的感应电流方向从上向下看，圆管中的感应电流为顺时针方向，故A错误；
B、圆管的横截面积：S＝πr2，根据法拉第电磁感应定律，则产生的电动势：Ekπr2，故B错误；
C、根据电阻定律，圆管的电阻：R，
圆管内的感应电流的大小：I，
圆管的热功率大小为：P＝I2R，故C正确；
D、根据左手定则可知，圆管受到的安培力的方向指向圆管的圆心，虽然安培力变化，但安培力的大小对轻绳对圆管的拉力没有影响，所以轻绳对圆管的拉力不变，故D错误。
故选：C。
13．（2021 全国）某圆形导电线圈处于一方向垂直于该线圈的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间的变化如图所示。对OP、PM、MN和NQ时间段内线圈中的感应电流，下列说法正确的是（ ）
A．PM段的感应电流值最大
B．OP段的感应电流值是MN段的感应电流值的2倍
C．MN段的感应电流与NQ段的感应电流大小相同，方向也相同
D．OP段的感应电流与NQ段的感应电流方向相同
【解答】解：设圆形导电线圈的面积为S，线圈匝数为n，根据法拉第电磁感应定律得：。
A、PM段图像的斜率为零，则感应电动势为零，感应电流为零，故A错误；
B、根据上述分析可知，感应电动势的大小与图像的斜率成正比，而纵坐标的数据未知，所以无法确定感应电动势的关系，则也无法确定电流的关系，故B错误；
C、因为MN和NQ属于同一直线，斜率相同，则产生的感应电动势相同，根据欧姆定律可知产生的感应电流大小相同，方向也相同，故C正确；
D、因为OP段和NQ段的斜率不同，则产生的感应电流方向相反，故D错误；
故选：C。
14．（2021 重庆）某眼动仪可以根据其微型线圈在磁场中随眼球运动时所产生的电流来追踪眼球的运动。若该眼动仪线圈面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面最初平行于磁场，经过时间t后线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，则在这段时间内，线圈中产生的平均感应电动势的大小和感应电流的方向（从左往右看）为（ ）
A．，逆时针 B．，逆时针
C．，顺时针 D．顺时针
【解答】解：开始时线圈与磁场的方向平行，则穿过线圈的磁通量为零；经过时间t，面积为S的线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，磁通量变化为：ΔΦ＝BSsinθ；由法拉第电磁感应定律，线圈中产生的平均感应电动势的大小为：；由楞次定律可判断出感应电流方向为逆时针方向。故A正确，BCD错误。
故选：A。
15．（2021 河北）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点。狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连。导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻。下列说法正确的是（ ）
A．通过金属棒的电流为2BCv2tanθ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tanθ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
【解答】解：C、金属棒沿x轴正方向匀速运动切割垂直纸面向里的磁感线，发生电磁感应现象，金属棒相当于电源，由右手定则判断，金属棒中电流方向向上，金属棒上端为电源正极，可知电容器的上极板带正电，故C错误；
A、以金属棒开始运动时为计时零时刻，设金属棒在0﹣t时间内运动位移为x，
在t时刻金属棒在导轨间的长度L＝2xtanθ，
此时金属棒在导轨间的电动势E＝BLv，
电容器的电压U＝E，
电容器的电量Q＝CU＝2BCvxtanθ，
在t﹣（t+Δt）（Δt趋近于零）时间内，金属棒的位移由x增加到（x+Δx），则
电容器的电量增加量△Q＝2BCv Δx tanθ，
通过金属棒的电流I，其中v，
可得I＝2BCv2tanθ，故A正确；
B、由A选项的分析结果Q＝2BCvxtanθ，可知金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为2BCvx0tanθ，故B错误；
D、由A选项的分析结果I＝2BCv2tanθ，可知流过金属棒的电流恒定，由F安＝BIL，金属棒在导轨间的长度L不断增加，其所受安培力不断增大，金属棒做匀速直线运动，由受力平衡可知，外力F的大小等于安培力，即外力F不断增大，由P＝Fv可知外力F做功的功率不断增加，故D错误。
故选：A。
二．多选题（共8小题）
（多选）16．（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（ ）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下顺倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
【解答】解：A、从图（b）可知，线圈中电流的最大值随着时间的增加而越来越大，由闭合电路欧姆定律I（E为单匝线圈产生的瞬时电动势、R为电路总电阻）可知，线圈中感应电动势的最大值Emax越来越大，根据法拉第电磁感应定律E可知，S不变，则越来越大，可知小磁体在玻璃管内下降速度越来越快，故A正确；
B、从图（b）可知，电流的方向反复改变了8次，这是由于小磁体下落通过每一匝线圈过程中，对单匝线圈来说，其磁通量都是先增加后减小，由楞次定律可知，每一个单匝线圈中感应电动势、感应电流的方向也会由正方向变到负方向，而不是小磁体的N、S极上下颠倒，故B错误；
C、从图（b）可知，小磁体下落过程中，线圈中的电流，大小在变，方向会变，最大值也在变，所以线圈受到的安培力会一直在变、且最大值逐渐增大，由牛顿第三定律可知，线圈给小磁体的作用力也一直在变、且最大值逐渐增大，即小磁体受到的电磁阻力一直在变，故C错误；
D、从图（b）可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中电流最大值大于小磁体通过线圈上部过程中线圈中电流最大值，由闭合电路欧姆定律I可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中产生的感应电动势最大值要相对更大，根据法拉第电磁感应定律E可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大，故D正确。
故选：AD。
（多选）17．（2022 湖北）近年来，基于变压器原理的无线充电技术得到了广泛应用，其简化的充电原理图如图所示。发射线圈的输入电压为220V、匝数为1100匝，接收线圈的匝数为50匝。若工作状态下，穿过接收线圈的磁通量约为发射线圈的80%，忽略其它损耗，下列说法正确的是（ ）
A．接收线圈的输出电压约为8V
B．接收线圈与发射线圈中电流之比约为22：1
C．发射线圈与接收线圈中交变电流的频率相同
D．穿过发射线圈的磁通量变化率与穿过接收线圈的相同
【解答】解：A、发射线圈的电压：U1＝n1 ，穿过接收线圈的磁通量约为发射线圈的80%，则有：U2＝n2
则：，解得：U2＝8V，故A正确；
B、由于漏磁，接收线圈与发射线圈的功率不相等，接收线圈与发射线圈中电流之比I2：I1≠n1：n2＝1100：50＝22：1，故B错误；
C、发射线圈与接收线圈中磁通量变化的频率相等，则发射线圈与接收线圈中交变电流的频率相同，故C正确；
D、穿过接收线圈的磁通量约为发射线圈的80%，则穿过发射线圈的磁通量变化率与穿过接收线圈的磁通量变化率不相同，故D错误。
故选：AC。
（多选）18．（2022 山东）如图所示，xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，边长为L的正方形金属框绕其始终在O点的顶点、在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动，t＝0时刻，金属框开始进入第一象限，不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是（ ）
A．在t＝0到的过程中，E一直增大
B．在t＝0到的过程中，E先增大后减小
C．在t＝0到的过程中，E的变化率一直增大
D．在t＝0到的过程中，E的变化率一直减小
【解答】解：AB、如图所示
在t＝0到的过程中，即线圈顺时针转过90°的过程中，根据有效长度的定义可知，线框切割磁感线的有效切割长度先变大后变小，根据电动势的计算公式E＝BLv，其中，由此可知E先增大后减小，故B正确，A错误；
CD、在t＝0到的过程中，由圆周运动公式可知θ＝ωt
根据几何关系和三角形的面积公式可得：
则穿过线圈的磁通量为：
对上述的表达式进行二次求导得：
，由此可知，在t＝0到的过程中，E的变化率一直增大，故C正确，D错误；
故选：BC。
（多选）19．（2021 福建）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在t＝t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时t＝t2，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（ ）
A．t1时刻a棒加速度大小为
B．t2时刻b棒的速度为0
C．t1～t2时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍
D．t1～t2时间内，a棒产生的焦耳热为mv02
【解答】解：A、根据右手定则，金属棒a、b进入磁场时产生的感应电流均为顺时针方向，则回路的电动势为a、b各自产生的电动势之和，即E＝2BLv0。
感应电流I
对a由牛顿第二定律得：
BIL＝ma
解得：a，故A正确；
B、由题意知，金属棒a、b电阻率相同，长度均为L，电阻分别为R和2R，根据电阻定律有：
R＝ρ，2R＝ρ
可得：Sa＝2Sb，
可知a的体积是b的2倍，密度相同，则a的质量是b的2倍，即b的质量为。
a、b在磁场中时，通过的电流总是反向等大，所受安培力总是反向等大，a、b组成的系统合外力为零，则此系统动量守恒。t2时刻流过a的电流为零，a、b之间的磁通量不变，可知两者此时速度相同，设为v。取水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv0v0＝（m）v
解得：vv0，即t2时刻b棒的速度为v0，故B错误；
C、t1～t2时间内，通过a、b的电流总是相等，根据q＝It，则通过a、b棒横截面的电荷量相等，故C错误；
D、t1～t2时间内，对a、b组成的系统，由能量守恒定律得：
m（m）v2+Q总
解得回路中产生的总热量Q总
a棒产生的焦耳热QaQ总m，故D正确。
故选：AD。
（多选）20．（2021 辽宁）如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（ ）
A．在t时，金属棒受到安培力的大小为
B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右
【解答】解：B、在t＝0到t＝2t0的时间内，，穿过回路的磁通量均匀变化，回路中产生恒定的感应电动势，大小为EL2L2，金属棒中电流大小为I，故B正确；
A、在t时，金属棒受到安培力的大小为FIL L，故A错误；
C、在t时，磁通量增加，根据楞次定律知感应电流的磁场要阻碍磁通量的增加，则金属棒受到安培力的方向竖直向上，故C正确；
D、在t＝3t0时，金属棒向下做切割磁感线运动，此时磁场方向垂直纸面向外，由右手定则判断可知金属棒中电流的方向向左，故D错误。
故选：BC。
（多选）21．（2021 山东）如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ）
A．金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B．金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C．金属棒不能回到无磁场区
D．金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
【解答】解：AB、在I区域中，磁感应强度为B1＝kt，感应电动势为：E1kS，感应电动势恒定，
导体棒进入Ⅱ区域之前，感应电流恒为I1，导体棒中的电流方向由右向左；
导体棒进入Ⅱ区域后，导体切割磁感线，产生的感应电流为I2，
下行时此电流在导体棒中的方向由右向左，所以导体棒中总电流为I1+I2；
上行时此电流在导体棒中的方向由左向右，设大小为I2′，所以导体棒中总电流为I1﹣I2′，
导体棒在b点时，受力分析如图：
下行过程中，根据牛顿第二定律可知：
B2（I1+I2）L﹣mgsinθ＝ma1，
上行过程中，根据牛顿第二定律可知：
B2（I1﹣I2′）L﹣mgsinθ＝ma2，
所以有：a1＞a2，
由于bc段距离不变，将下行过程看作反向的加速过程，由v2＝2x比较v的大小，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，故下行过程的平均加速度大于上行过程的平均加速度，所以金属板下行过经过b点时的速度大于上行经过b点时的速度，故AB正确；
CD、Ⅰ区域产生的感应电流所受安培力总是不小于沿斜面向下的作用力，所以金属棒一定能回到无磁场区域；
由AB选项的分析知：在Ⅱ区域中下行过程的平均加速度大于上行过程的平均加速度，可得进入Ⅱ区域时速度大于离开Ⅱ区域时速度，由v2＝2ax，可知离开Ⅱ区域上滑的位移小于a位置到Ⅱ区域上边界的距离，所以不能回到a处，故C错误，D正确。
故选：ABD。
（多选）22．（2021 甲卷）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
【解答】解：甲、乙两正方形线圈的材料相同，则它们的密度和电阻率相同，设材料的电阻率为ρ，密度为ρ密度，
两正方形线圈的边长相同，设线圈边长为L，设线圈的横截面积为S，线圈的质量m＝ρ密度×4nLS＝4nρ密度LS，
由题意可知，两线圈的质量相等，则4n甲ρ密度LS甲＝4n乙ρ密度LS乙，则n甲S甲＝n乙S乙，
两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，设线圈下边到磁场的高度为h，
设线圈下边刚进入磁场时的速度为v，线圈进入磁场前做自由落体运动，
则v，由于下落高度h相同，则线圈下边刚进入磁场时的速度v相等，
设线圈匝数为n，磁感应强度为B，线圈进入磁场过程切割磁感线产生的感应电动势E＝nBLv，
由电阻定律可知，线圈电阻：R＝ρ
由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流：I
线圈受到的安培力：F＝nBIL
由于n甲S甲＝n乙S乙，B、L、ρ、v都相同，则线圈进入磁场时受到的安培力F相同，线圈质量相同，则它们受到的重力G＝mg相同，
线圈进入磁场过程所受合力F合＝F﹣G相同；
A、如果线圈进入磁场时安培力小于重力，则线圈受到的合力向下，线圈甲、乙都加速运动，故A正确；
B、如果线圈进入磁场时安培力大于重力，线圈受到的合力向上，线圈甲、乙都做减速运动，故B正确；
C、由于甲、乙所受合力相同、进入磁场时的速度相同，如果甲加速运动，则乙也做加速运动，故C错误；
D、由于甲、乙所受合力相同、进入磁场时的速度相同，如果甲减速运动，则乙也做减速运动，故D错误。
故选：AB。
（多选）23．（2021 广东）如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨。圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图的匀强磁场。金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好。初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（ ）
A．杆OP产生的感应电动势恒定
B．杆OP受到的安培力不变
C．杆MN做匀加速直线运动
D．杆MN中的电流逐渐减小
【解答】解：A、设OP转动的角速度为ω，圆弧导轨半径为r，则OP转动切割磁感应线的感应电动势为：E＝Br，所以杆OP产生的感应电动势恒定，故A正确；
B、根据右手定则可知OP棒中产生的感应电流方向由O到P，则通过MN的电流方向由M到N，根据左手定则可知杆MN受到的安培力方向向左，杆MN将向左运动切割磁感应线，由于MN切割磁感应线产生的感应电流方向由N到M，从而使得杆OP中的电流大小发生改变，根据F安＝BIr可知，OP受到的安培力减小，故B错误；
C、根据B选项分析可知，杆MN中的电流大小发生变化，根据牛顿第二定律可得MN的加速度大小a发生改变，杆MN不是做匀加速直线运动，故C错误；
D、根据B选项分析可知，杆MN中的电流逐渐减小，故D正确。
故选：AD。
三．填空题（共1小题）
24．（2022 上海）半径为R的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为r的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为B。若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为 逆时针 （选填：“顺时针”或“逆时针”）；若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化180°，则金属圆环的磁通量变化的大小为 2Bπr2 。
【解答】解：根据楞次定律可知，若增大该区域内的磁感应强度，则垂直纸面向里的磁通量变大，由此可知金属圆环的感应电流方向为逆时针；
若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化180°，则金属圆环的磁通量变化的大小为ΔΦ＝2BS＝2Bπr2。
故答案为：逆时针；2Bπr2
四．计算题（共13小题）
25．（2022 海南）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场B＝0.25T中，轨道宽0.4m，一导体棒长也为0.4m，质量0.1kg，电阻r＝0.05Ω，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的1A电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻R＝0.05Ω，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是多少；
③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是多少？
【解答】解：①当棒中电流由M流向N时，根据左手定则可知安培力方向向右，则加速度方向向右；
根据牛顿第二定律可得棒的加速度的大小为：
am/s2＝1m/s2；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒先向左做匀加速直线运动、再向左做匀减速直线运动，且加速度大小不变、只是方向改变。根据对称性可知加速过程中的位移大小为x＝2m。
根据速度—位移关系可得：v2＝2ax
代入数据解得：v＝2m/s；
③由①的结论可知，当开关接a由电源提供恒定电流时，导体棒的加速度的大小恒为a＝1m/s2。
当导体棒具有一定的速度时，开关接b由导体棒切割磁感线产生感应电动势，进而产生感应电流，导体棒受到与运动方向相反的安培力而做加速度减小的减速运动，设此过程的加速度大小等于a＝1m/s2时，导体棒的速度大小为v2，则有：
B L＝ma
解得：v2＝1m/s
可得在减速阶段当速度大于v2时，开关接到b时，其减速的加速度大于开关接到a时的加速度，可缩短减速的时间。为满足题目要求，开关先接a使导体棒匀加速运动一段时间t1，速度大小达到v1（v1＞v2）后，开关换接到b一段时间t2，使速度减小到v2后，开关再换接到a一段时间t3，使导体棒一直匀加速到零时，开关接到b使导体棒处于静止状态。
在第三段时间t3内，根据速度—时间公式可得：
v2＝at3
根据位移—时间公式可得：
解得：t3＝1s，x3＝0.5m
第一段时间t1内，根据速度—时间公式可得：
v1＝at1
根据位移—速度公式可得：
x1
在第二段时间t2内，选择向右的方向为正方向，则由动量定理可得：
根据法拉第电磁感应定律，及电流的定义式，可得：
整理得：mv1﹣mv2
已知：x1+x2+x3＝7m，可得：x1+x2＝6.5m
联立代入数据得：v12+2v1﹣15＝0
解得：v1＝3m/s（另一解为负值舍去）
进而可得：t1＝3s，x1＝4.5m，x2＝1m
根据焦耳定律和能量守恒可得三个阶段在导体棒中产生的焦耳热分别为：
Q1＝I2rt1
Q3＝I2rt3
故Q总＝Q1+Q2+Q3
代入数据联立解得：Q总＝0.4J
答：①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小为1m/s2，方向水平向右；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是2m/s；
③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是0.4J。
26．（2022 重庆）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为ρ的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率。
【解答】解：（1）设戒指的半径为r，则有
L＝2πr
磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0。产生的感应电动势为
E
解得：E
戒指的电阻为
则根据欧姆定律得：
I
（2）戒指中电流的热功率为
P＝I2R
答：（1）戒指中的感应电动势为，电流为；
（2）戒指中电流的热功率为。
27．（2022 北京）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地。
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B。
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。
【解答】解：（1）由E＝BLv可估算得该处地磁场磁感应强度B地的大小的数量级为10﹣5T；
（2）设导电电子定性移动端速率为v，Δt时间内通过横截面的电荷量为Δq
有：
导电电子定向移动过程中，在MN方向受到的电场力和洛伦兹力平衡，则有
得：B
（3）如图建立三维直角坐标系Oxyz
设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为Bx、By、Bz，把金属薄片置于xOy平面内，M、N两极间产生电压Uz取决于Bz，由（2）得：
由U2的正负和电流的方向可以确定Bz的方向。
同理，将金属薄片置于xOz平面内可得到By的大小和方向；把金属薄片置于yOz平面内，可得到Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为
根据三个磁场的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。
答：（1）该处地磁场磁感应强度的大小为10﹣5T；
（2）磁感应强度的大小B为；
（3）见解析。
28．（2022 辽宁）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
②初始时刻N到ab的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。
【解答】解：（1）细金属杆M以初速度v0向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
E＝BLv0
电流方向为a→b，电流的大小为
则所受的安培力大小为
F＝BIL
安培力的方向由左手定则可知水平向左
（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理得：
且
联立解得：q
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为Δx，有
整理可得：
联立解得：Δx
若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为
x＝Δx
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻相同，到ab的距离为kx（k＞1），则N到cd边的速度大小恒为，根据动量守恒定律得：
解得N出磁场时，M的速度大小为
由题意可知，此时M到cd边的距离为
s＝（k﹣1）x
若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：
①M减速到时出磁场，速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有
联立解得：k＝2
②若M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理得：
解得：k＝3
综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k≤3.
答：（1）M刚进入磁场时受到的安培力F的大小为，方向水平向左；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量为；
②初始时刻N到ab的最小距离为；
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k≤3。
29．（2022 湖北）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L＝0.2m、回路电阻R＝1.6×10﹣3Ω、质量m＝0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ＝45°角、大小为4N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g＝10m/s2，求：
（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
【解答】解：（1）ab边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有：max＝Fcosθ
代入数据解得：ax＝20m/s2
在竖直方向有：Fsinθ﹣mg＝may
代入数据解得：ay＝10m/s2
（2）ab边进入磁场开始，ab边在竖直方向切割磁感线；ad边和bc边的上部分也开始进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad和bc边的上部分产生的感应电动势相互抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流方向为adcba，则ab边进入磁场开始，ab边受到的安培力方向竖直向下，ad边的上部分受到的安培力方向水平向右，bc边的上部分受到的安培力方向水平向左，则ad边和bc边的上部分受到的安培力相互抵消，故线框abcd受到的安培力的合力为ab边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有：
Fsinθ﹣mg＝BIL
其中：I，vy2＝2ayL
联立解得：B＝0.2T；
由题知，从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，则有：Q＝W安＝BILy，其中y＝L
联立解得：Q＝0.4J；
（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为t，则有：
vy＝ayt1，L＝vyt2
所以有：t＝t1+t2
联立解得：t＝0.3s
由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向，有：
xm＝0.9m
则磁场区域的水平宽度：d＝x+L＝0.9m+0.2m＝1.1m。
答：（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小分别为20m/s2、10m/s2；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热0.4J；
（3）磁场区域的水平宽度为1.1m。
30．（2022 上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的Ucd小于图乙的Ucd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ
根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲，乙图中回路电流I乙0.1A
甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R
乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R
联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V
（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0
联立解得v5m/s
（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I
滑动变阻器上的功率p＝I2R，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率Pm＝0.1125W
答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里
（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω
（3）金属杆运动时的速率为5m/s
（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W
31．（2022 浙江）舰载机电磁弹射是现代航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v﹣t图如图2所示，在t1至t3时间内F＝（800﹣10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1＝80m/s，t1＝1.5s，线圈匝数n＝100匝，每匝周长l＝1m，飞机的质量M＝10kg，动子和线圈的总质量m＝5kg，R0＝9.5Ω，B＝0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
【解答】解：（1）根据安培力公式可得：
F安＝nBIl
动子和线圈在0～t1时间内做匀加速直线运动，运动的加速度为
根据牛顿第二定律得：
F安＝（M+m）a
代入数据解得：I＝80A
（2）当S拨至2时，接通定值电阻R0，此时的感应电流为
此时的安培力为
F安1＝nBI1l
根据牛顿第二定律得：
由图可知在t1到t3的过程中，加速度恒定，则有
解得：R＝0.5Ω；
（3）根据图像可知，
则0～2s时间内，位移大小为
根据法拉第电磁感应定律得：
根据电流的定义式可得：Δq＝It
联立解得：
从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路中的电荷量，根据动量定理得：
﹣nBlΔq＝0﹣ma1（t3﹣t2）
联立解得：t3
答：（1）恒流源的电流为80A；
（2）线圈电阻为0.5Ω；
（3）时刻t3为。
32．（2022 浙江）如图所示，水平固定一半径r＝0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度ω＝600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C＝0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l1、质量均为m＝0.01kg，de与cf长度均为l3＝0.08m，已知l1＝0.25m，l2＝0.068m，B1＝B2＝1T、方向均为竖直向上；棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R＝0.1Ω，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量ΔQ；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
【解答】解：（1）开关S与接线柱1接通。电容器充电，充电过程，对绕转轴OO′转动的棒由右手定则可知其动生电源的电流沿径向向外，即边缘为电源正极，圆心为负极，则M板带正电；
根据法拉第电磁感应定律可知：
则电容器的电荷量为：Q＝CU
联立解得：Q＝0.54C
（2）电容器放电过程有：B2l1ΔQ＝mv1
棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起的过程有：mv1＝（m+m）v2
棒的上滑过程有：
联立解得：ΔQ＝0.16C
（3）设导体框在磁场中减速滑行的总路程为Δx，由动量定理得：
可得：Δx＝0.128m＞0.08m
匀速运动距离为：l3﹣l2＝0.08m﹣0.068m＝0.012m
则x＝Δx+l3﹣l2＝0.128m+0.012m＝0.14m
答：（1）电容器充电完毕后所带的电荷量Q为0.54C，M极板带正电；
（2）电容器释放的电荷量ΔQ为0.16C；
（3）框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离为0.14m。
33．（2021 全国）如图，质量为m、电阻为R、边长为l的正方形导线框置于光滑水平面上，虚线右侧区域存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．线框在恒力F作用下从距磁场左边界一定距离处由静止开始运动。
（1）若线框前端进入磁场后即保持匀速直线运动，求线框开始运动时距磁场左边界的距离s；
（2）若其他条件不变，t＝0时线框从距磁场左边界处由静止开始运动，线框经过多少时间其前端刚进入磁场？此时的速度为多少？
（3）已知在（2）的情况下，线框始终做加速运动，定性画出线框运动的v﹣t图像。
【解答】解：（1）线框未进入磁场时，在水平方向上仅受外力作用，有：F＝ma
做匀加速运动，前端进入瞬间有：v2＝2as
进入磁场后还受安培力作用，有：Fm＝BIl
匀速运动时有：F＝Fm，即：F
解得：s
（2）由题意可知，线框受力仍为F，加速度a
由运动学公式有：2a
而：v1＝at
联立可得：v1，t
（3）在上一问的情况下，由于进入磁场的速度v1，则进入磁场时，外力大于安培力，所以线框做加速度减小的加速运动，全部进入磁场后再做匀加速运动，于是画出其v﹣t图象如图所示；
答：（1）若线框前端进入磁场后即保持匀速直线运动，求线框开始运动时距磁场左边界的距离s为；
（2）若其他条件不变，t＝0时线框从距磁场左边界处由静止开始运动，线框经过时间其前端刚进入磁场。此时的速度为；
（3）已知在（2）的情况下，线框始终做加速运动，定性画出线框运动的v﹣t图像如解析所示。
34．（2021 海南）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
【解答】解：（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势：E＝Blv0
则金属杆中的电流：I
由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动则有：F＝F安＝BIl
根据功率的计算公式有：P＝Fv0
（2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为：I＝nSeu0
则解得：nSe
此时电子沿金属杆定向移动的速率变为，则：I′＝nSe
解得：v′
则能量守恒有：mv′2mv02﹣Q
解得：Qmv02
（ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v0变到，则根据动量定理有：﹣BIl Δt＝mmv0
即：﹣BlnSeBlnSe d（取向右为正）
由于：nSe
化简得：d
答：（1）金属杆中的电流为，水平外力的功率为；
（2）（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热为mv02；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为。
35．（2021 湖北）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U﹣I图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0，Um。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
【解答】解：（1）闭合开关，定值电阻R与金属棒组成回路，当金属棒的速度达到最大v1时，
感应电动势：E1＝BLv1
电流：I1
导体棒受到的安培力：F安＝BI1L
当速度稳定后，由平衡条件有：mg＝F安
联立得：v1
（2）由于元件Z的电压达到Um时，保持不变，随着金属棒速度增加，电流也增加，当元件Z的电压稳定时，电路中的电流：I2
此时由平衡条件有：mg＝BI2L
代入得到：v2
（3）闭合开关时，金属棒达到最大速度v1，此时电路中的电流I1。
断开开关时，由于忽略电流突变的时间，所以电流I1通过元件Z，由于I1＞I0，所以元件Z两端的电压为Um，定值电阻R两端的电压UR′＝E1﹣Um＝BL
那么此时电流中的电流I1′
金属棒受到的安培力F安′＝BI1′L＝BL
所以此刻的加速度ag
答：（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，则金属棒下落的最大速度v1为；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2为；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，则S断开瞬间金属棒的加速度大小a为。
36．（2021 天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
【解答】解：（1）在ab棒运动过程中，由于拉力功率恒定，ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力大小为F，安培力大小为FA。
由平衡条件得
F＝mgsinθ+FA
此时ab棒产生的感应电动势为E＝BLv
设回路中感应电流为I，根据闭合电路欧姆定律得
I
ab棒受到的安培力大小为FA＝BIL
拉力的功率P＝Fv
联立以上各式解得P＝4W
（2）ab棒从v1到v2的过程中，由动能定理得
Pt﹣W﹣mgxsinθ
解得x＝0.1m
答：（1）拉力的功率P为4W；
（2）该过程中ab沿导轨的位移大小x为0.1m。
37．（2021 乙卷）如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6m。初始时CD与EF相距s0＝0.4m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1T，重力加速度大小取g＝10m/s2，sinα＝0.6。求
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【解答】解：（1）因斜面是光滑的，所以在金属棒进入磁场前，金属棒与导体框一起做初速度为零的匀加速直线运动，设金属棒的质量为m，由牛顿第二定律得：
（M+m）gsinα＝（M+m）a
代入数解得：a＝6m/s2
金属棒进入磁场时，设金属棒与导体框的速度大小为v0，
由匀变速直线运动的速度—位移公式得：v0m/s＝1.5m/s
金属棒切割磁感线产生的感应电动势：E＝BLv0
由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流：I
金属棒在磁场中运动时受到的安培力大小：F安＝BIL
代入数据解得：F安＝0.18N
（2）金属棒在磁场中运动过程导体框做匀加速直线运动，
设金属棒与导体框间的滑动摩擦力大小为f，导体框EF边进入磁场时的速度大小为v，
对导体框，由牛顿第二定律得：Mgsinα﹣f＝Ma框
由匀变速直线运动的速度—位移公式得：v22a框s0，
导体框刚进入磁场时所受安培力：F＝BIL
导体框刚进入磁场时做匀速直线运动，对导体框，由平衡条件得：f＝Mgsinα
代入数据联立解得：a框＝5m/s2，f＝0.06N，v＝2.5m/s
金属棒在磁场中做匀速直线运动，由平衡条件得：F安＝mgsinα+f
代入数据解得，金属棒的质量：m＝0.02kg，
由滑动摩擦力公式得：f＝μmgcosα
代入数据解得，金属棒与导体框之间的动摩擦因数：μ＝0.375
（3）金属棒离开磁场后做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：mgsinα+f＝ma棒
代入数据解得：a棒＝9m/s2，
金属棒加速到与导体框速度v相等的过程，导体框做匀速直线运动。
由匀变速直线运动的速度﹣时间公式得：v＝v0+a棒t
金属棒加速到与导体框速度相等的时间：ts
在金属棒加速运动时间内，导体框做匀速直线运动，
导体框匀速运动的距离：s＝vt＝2.5mm
答：（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小是0.18N；
（2）金属棒的质量是0.02kg，金属棒与导体框之间的动摩擦因数是0.375；
（3）导体框匀速运动的距离是m。
五．解答题（共3小题）
38．（2023 湖南）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
（3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
【解答】解：（1）棒a切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv0
回路中产生的感应电流
棒a受到的安培力
棒a匀速运动时，合力为零，则有：FA＝mgsinθ
代入数据解得
（2）棒b由静止释放，由左手定则可知棒b所受安培力方向沿斜面向下，a、b棒串联电流相等，两者的安培力大小相等
对b利用牛顿第二定律：mgsinθ+FA＝ma0
代入数据解得a0＝2gsinθ
（3）对a、b棒分别利用动量定理，取沿斜面向下为正方向，则有：（mgsinθ﹣FA）t0＝mv﹣mv0 （mgsinθ+FA）t0＝mv﹣0
两式联立，可得
从释放b到两棒匀速运动，平均安培力，对b棒利用动量定理，取沿斜面向下为正方向，则有：
已知
代入数据解得
由法拉第电磁感应定律则有：
由闭合电路欧姆定律则有：
电荷量q＝IΔt
联立方程，可得
ΔΦ＝BLΔx，n＝1
代入数据解得
答：（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，棒a匀速运动时的速度大小v0为；
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，释放瞬间棒b的加速度大小a0为2gsinθ；
（3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，速度v的大小为，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx为。
39．（2023 甲卷）如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
【解答】解：（1）Q与P发生弹性碰撞，以Q初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：3mv0＝3mvQ+mvP
由机械能守恒定律得： 3 3
联立解得：vQv0
vPv0
金属棒P切割磁感线产生感应电流，根据左手定则，金属棒P受到与运动方向相反的安培力，且安培力F安＝BIl
则金属棒P做加速度减小的减速运动；
绝缘棒Q切割磁感线不产生感应电流，不受安培力的作用，绝缘棒做匀速直线运动；
P和Q离开导轨后做平抛运动，由于落在地面上同一地点，则两棒做平抛运动的初速度相同，即金属棒P滑出导轨时的速度大小vP1＝vQv0
（2）对P，从碰撞后到离开导轨过程中，由能量守恒定律得：Q
解得：Q
（3）以P运动方向为正方向，对P，从碰撞后到离开导轨过程中，由动量定理得：t＝mvP1﹣mvP
Bl
金属棒P的位移xt
联立解得：x
Q做匀速直线运动，时间为t
答：（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小为v0；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为；
（3）与P碰撞后，绝续棒Q在导轨上运动的时间为。
40．（2021 浙江）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（Ne）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连．在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值R0＝10Ω的细导线绕制、匝数N＝5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值R＝90Ω的电阻连接．螺线管的横截面是半径a＝1.0×10﹣2m的圆，其中心与长直导线的距离r＝0.1m，气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I—t图像如图乙所示．为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B，其中k＝2×10﹣7T m/A。
（1）求0～6.0×10﹣3s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求3.0×10﹣3s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
（3）若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，在答题纸上画出通过电阻R的iR﹣t图像；
（4）若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，在答题纸上定性画出通过电阻R的iR﹣t图像。
【解答】解：（1）I﹣t图象与坐标轴围成的面积表示通过长直导线横截面的电荷量，所以通过长直导线横截面的电荷量为：
QC＝0.5C；
（2）3.0×10﹣3s时，根据磁通量的计算公式可得通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ＝BS
可解得：Φ＝6.28×10﹣8Wb；
（3）根据法拉第电磁感应定律可得通电螺线管产生的感应电动势E＝N
可解得，感应电流iR
代入数据解得：iR＝3.14×10﹣3A
0～1.0×10﹣3s内，长直导线回路中的电流逐渐增大，即通过螺线管内顺时针方向的磁感应强度增大，根据楞次定律可以判断螺线管中产生的感应磁场方向为逆时针，则感应电流方向为c→R→d，电流为正值；
相反，5.0×10﹣3s～6.0×10﹣3s时间内，感应电流的方向为d→R→c，电流为负值；
1.0×10﹣3s～5.0×10﹣3s时间内，长直导线中的电流大小不变，没有感应磁场，感应电流为0。
由此可得图像如图1所示：
（4）考虑线圈自感，则在通电一段时间后，线圈中的感应电流才会达到稳定值，1.0×10﹣3s后的小段时间内，线圈中仍有电流，最后逐渐减为0；5.0×10﹣3s～6.0×10﹣3s时间内，电流反向逐渐增大到某一定值，1.0×10﹣3s后的小段时间内，线圈中仍有电流，最后逐渐减为0，由此可得图像如图2所示。
答：（1）0～6.0×10﹣3s内通过长直导线横截面的电荷量为0.5C；
（2）3.0×10﹣3s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量为6.28×10﹣8Wb；
（3）在不考虑线圈自感的情况下，通过电阻R的iR﹣t图像见图1；
（4）考虑线圈自感，通过电阻R的iR﹣t图像间图2。
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专题11电磁感应
一．选择题（共15小题）
1．（2023 湖北）近场通信（NFC）器件应用电磁感应原理进行通讯，其天线类似一个压平的线圈，线圈尺寸从内到外逐渐变大。如图所示，一正方形NFC线圈共3匝，其边长分别为1.0cm、1.2cm和1.4cm，图中线圈外线接入内部芯片时与内部线圈绝缘。若匀强磁场垂直通过此线圈，磁感应强度变化率为103T/s，则线圈产生的感应电动势最接近（ ）
A．0.30V B．0.44V C．0.59V D．4.3V
2．（2023 辽宁）如图，空间中存在水平向右的匀强磁场，一导体棒绕固定的竖直轴OP在磁场中匀速转动，且始终平行于OP。导体棒两端的电势差u随时间t变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023 江苏）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，OC导体棒的O端位于圆心，棒的中点A位于磁场区域的边缘。现使导体棒绕O点在纸面内逆时针转动。O、A、C点电势分别为φO、φA、φC，则（ ）
A．φO＞φC B．φC＞φA
C．φO＝φA D．φO﹣φA＝φA﹣φC
4．（2023 乙卷）一学生小组在探究电磁感应现象时，进行了如下比较实验。用图（a）所示的缠绕方式，将漆包线分别绕在几何尺寸相同的有机玻璃管和金属铝管上，漆包线的两端与电流传感器接通。两管皆竖直放置，将一很小的强磁体分别从管的上端由静止释放，在管内下落至管的下端。实验中电流传感器测得的两管上流过漆包线的电流I随时间t的变化分别如图（b）和图（c）所示，分析可知（ ）
A．图（c）是用玻璃管获得的图像
B．在铝管中下落，小磁体做匀变速运动
C．在玻璃管中下落，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．用铝管时测得的电流第一个峰到最后一个峰的时间间隔比用玻璃管时的短
5．（2023 浙江）如图甲所示，一导体杆用两条等长细导线悬挂于水平轴OO'，接入电阻R构成回路。导体杆处于竖直向上的匀强磁场中，将导体杆从竖直位置拉开小角度由静止释放，导体杆开始下摆。当R＝R0时，导体杆振动图像如图乙所示。若横纵坐标皆采用图乙标度，则当R＝2R0时，导体杆振动图像是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022 江苏）如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝B0+kt，B0、k为常量，则图中半径为R的单匝圆形线圈中产生的感应电动势大小为（ ）
A．πkr2 B．πkR2 C．πB0r2 D．πB0R2
7．（2022 海南）一个有N匝的矩形线框，面积为S，以角速度ω从如图所示的位置开始，在匀强磁场B中匀速转动，则产生的感应电动势随时间变化的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022 上海）如图，一个正方形导线框以初速v0向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分别为t1和t2，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W1和W2，则（ ）
A．t1＜t2，W1＜W2 B．t1＜t2，W1＞W2
C．t1＞t2，W1＜W2 D．t1＞t2，W1＞W2
9．（2022 广东）如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图。定子是仅匝数n不同的两线圈，n1＞n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流。不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是（ ）
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
10．（2022 河北）将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0+kt，B0和k均为常量、则线圈中总的感应电动势大小为（ ）
A．kS1 B．5kS2 C．k（S1﹣5S2） D．k（S1+5S2）
11．（2022 甲卷）三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则（ ）
A．I1＜I3＜I2 B．I1＞I3＞I2 C．I1＝I2＞I3 D．I1＝I2＝I3
12．（2022 浙江）如图所示，将一通电螺线管竖直放置，螺线管内部形成方向竖直向上、磁感应强度大小B＝kt的匀强磁场，在内部用绝缘轻绳悬挂一与螺线管共轴的金属薄圆管，其电阻率为ρ、高度为h、半径为r、厚度为d（d r），则（ ）
A．从上向下看，圆管中的感应电流为逆时针方向
B．圆管的感应电动势大小为
C．圆管的热功率大小为
D．轻绳对圆管的拉力随时间减小
13．（2021 全国）某圆形导电线圈处于一方向垂直于该线圈的匀强磁场中，该磁场的磁感应强度B随时间的变化如图所示。对OP、PM、MN和NQ时间段内线圈中的感应电流，下列说法正确的是（ ）
A．PM段的感应电流值最大
B．OP段的感应电流值是MN段的感应电流值的2倍
C．MN段的感应电流与NQ段的感应电流大小相同，方向也相同
D．OP段的感应电流与NQ段的感应电流方向相同
14．（2021 重庆）某眼动仪可以根据其微型线圈在磁场中随眼球运动时所产生的电流来追踪眼球的运动。若该眼动仪线圈面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面最初平行于磁场，经过时间t后线圈平面逆时针转动至与磁场夹角为θ处，则在这段时间内，线圈中产生的平均感应电动势的大小和感应电流的方向（从左往右看）为（ ）
A．，逆时针 B．，逆时针
C．，顺时针 D．顺时针
15．（2021 河北）如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导轨间距最窄处为一狭缝，取狭缝所在处O点为坐标原点。狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ，一电容为C的电容器与导轨左端相连。导轨上的金属棒与x轴垂直，在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻。下列说法正确的是（ ）
A．通过金属棒的电流为2BCv2tanθ
B．金属棒到达x0时，电容器极板上的电荷量为BCvx0tanθ
C．金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电
D．金属棒运动过程中，外力F做功的功率恒定
二．多选题（共8小题）
（多选）16．（2023 甲卷）一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（ ）
A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快
B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下顺倒了8次
C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大
（多选）17．（2022 湖北）近年来，基于变压器原理的无线充电技术得到了广泛应用，其简化的充电原理图如图所示。发射线圈的输入电压为220V、匝数为1100匝，接收线圈的匝数为50匝。若工作状态下，穿过接收线圈的磁通量约为发射线圈的80%，忽略其它损耗，下列说法正确的是（ ）
A．接收线圈的输出电压约为8V
B．接收线圈与发射线圈中电流之比约为22：1
C．发射线圈与接收线圈中交变电流的频率相同
D．穿过发射线圈的磁通量变化率与穿过接收线圈的相同
（多选）18．（2022 山东）如图所示，xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，边长为L的正方形金属框绕其始终在O点的顶点、在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动，t＝0时刻，金属框开始进入第一象限，不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是（ ）
A．在t＝0到的过程中，E一直增大
B．在t＝0到的过程中，E先增大后减小
C．在t＝0到的过程中，E的变化率一直增大
D．在t＝0到的过程中，E的变化率一直减小
（多选）19．（2021 福建）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFGH矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、感应强度大小为B的匀强磁场。在t＝t1时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为v0；一段时间后，流经a棒的电流为0，此时t＝t2，b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b相同材料制成，长度均为L，电阻分别为R和2R，a棒的质量为m。在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，a、b棒没有相碰，则（ ）
A．t1时刻a棒加速度大小为
B．t2时刻b棒的速度为0
C．t1～t2时间内，通过a棒横截面的电荷量是b棒的2倍
D．t1～t2时间内，a棒产生的焦耳热为mv02
（多选）20．（2021 辽宁）如图（a）所示，两根间距为L、足够长的光滑平行金属导轨竖直放置并固定，顶端接有阻值为R的电阻，垂直导轨平面存在变化规律如图（b）所示的匀强磁场，t＝0时磁场方向垂直纸面向里。在t＝0到t＝2t0的时间内，金属棒水平固定在距导轨顶端L处；t＝2t0时，释放金属棒。整个过程中金属棒与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻不计，则（ ）
A．在t时，金属棒受到安培力的大小为
B．在t＝t0时，金属棒中电流的大小为
C．在t时，金属棒受到安培力的方向竖直向上
D．在t＝3t0时，金属棒中电流的方向向右
（多选）21．（2021 山东）如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ）
A．金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B．金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C．金属棒不能回到无磁场区
D．金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
（多选）22．（2021 甲卷）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是（ ）
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
（多选）23．（2021 广东）如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨abc和de，ab与de平行，bc是以O为圆心的圆弧导轨。圆弧be左侧和扇形Obc内有方向如图的匀强磁场。金属杆OP的O端与e点用导线相接，P端与圆弧bc接触良好。初始时，可滑动的金属杆MN静止在平行导轨上。若杆OP绕O点在匀强磁场区内从b到c匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（ ）
A．杆OP产生的感应电动势恒定
B．杆OP受到的安培力不变
C．杆MN做匀加速直线运动
D．杆MN中的电流逐渐减小
三．填空题（共1小题）
24．（2022 上海）半径为R的金属圆环里，有一个垂直于纸面向里且半径为r的圆形区域匀强磁场，磁感应强度的大小为B。若增大该区域内的磁感应强度，则金属圆环的感应电流方向为 （选填：“顺时针”或“逆时针”）；若保持圆形区域内磁场的磁感应强度大小不变，方向变化180°，则金属圆环的磁通量变化的大小为 。
四．计算题（共13小题）
25．（2022 海南）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场B＝0.25T中，轨道宽0.4m，一导体棒长也为0.4m，质量0.1kg，电阻r＝0.05Ω，它与导轨接触良好。当开关与a接通时，电源可提供恒定的1A电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b接通时，电阻R＝0.05Ω，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
①当棒中电流由M流向N时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动4m而静止，则棒的最大速度是多少；
③要想棒在最短时间内向左移动7m而静止，则棒中产生的焦耳热是多少？
26．（2022 重庆）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为ρ的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率。
27．（2022 北京）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1所示，两同学把一根长约10m的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略估算该处地磁场磁感应强度的大小B地。
（2）如图2所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I的恒定电流从电极P流入、从电极Q流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N两电极间产生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应强度的大小B。
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和方向，请说明测量的思路。
28．（2022 辽宁）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
②初始时刻N到ab的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。
29．（2022 湖北）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L＝0.2m、回路电阻R＝1.6×10﹣3Ω、质量m＝0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ＝45°角、大小为4N的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g＝10m/s2，求：
（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
30．（2022 上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率Pm。
31．（2022 浙江）舰载机电磁弹射是现代航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v﹣t图如图2所示，在t1至t3时间内F＝（800﹣10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1＝80m/s，t1＝1.5s，线圈匝数n＝100匝，每匝周长l＝1m，飞机的质量M＝10kg，动子和线圈的总质量m＝5kg，R0＝9.5Ω，B＝0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
32．（2022 浙江）如图所示，水平固定一半径r＝0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度ω＝600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C＝0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“[”形金属框fcde。棒ab长度和“[”形框的宽度也均为l1、质量均为m＝0.01kg，de与cf长度均为l3＝0.08m，已知l1＝0.25m，l2＝0.068m，B1＝B2＝1T、方向均为竖直向上；棒ab和“[”形框的cd边的电阻均为R＝0.1Ω，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量ΔQ；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
33．（2021 全国）如图，质量为m、电阻为R、边长为l的正方形导线框置于光滑水平面上，虚线右侧区域存在垂直于水平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．线框在恒力F作用下从距磁场左边界一定距离处由静止开始运动。
（1）若线框前端进入磁场后即保持匀速直线运动，求线框开始运动时距磁场左边界的距离s；
（2）若其他条件不变，t＝0时线框从距磁场左边界处由静止开始运动，线框经过多少时间其前端刚进入磁场？此时的速度为多少？
（3）已知在（2）的情况下，线框始终做加速运动，定性画出线框运动的v﹣t图像。
34．（2021 海南）如图，间距为l的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R的定值电阻，一质量为m的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为，求：
（i）这段时间内电阻R上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
35．（2021 湖北）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L的足够长平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U﹣I图像如图（b）所示，当流过元件Z的电流大于或等于I0时，电压稳定为Um。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，取I0，Um。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R表示。
（1）闭合开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽略回路中电流突变的时间，求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。
36．（2021 天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
37．（2021 乙卷）如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6m。初始时CD与EF相距s0＝0.4m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1T，重力加速度大小取g＝10m/s2，sinα＝0.6。求
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
五．解答题（共3小题）
38．（2023 湖南）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为L，两导轨及其所构成的平面均与水平面成θ角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。现将质量均为m的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为R。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。
（1）先保持棒b静止，将棒a由静止释放，求棒a匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当棒a匀速运动时，再将棒b由静止释放，求释放瞬间棒b的加速度大小a0；
（3）在（2）问中，从棒b释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v，求速度v的大小，以及时间t0内棒a相对于棒b运动的距离Δx。
39．（2023 甲卷）如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。
40．（2021 浙江）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（Ne）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连．在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值R0＝10Ω的细导线绕制、匝数N＝5×103的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值R＝90Ω的电阻连接．螺线管的横截面是半径a＝1.0×10﹣2m的圆，其中心与长直导线的距离r＝0.1m，气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其I—t图像如图乙所示．为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为B，其中k＝2×10﹣7T m/A。
（1）求0～6.0×10﹣3s内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求3.0×10﹣3s时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量Φ；
（3）若规定c→R→d为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，在答题纸上画出通过电阻R的iR﹣t图像；
（4）若规定c→R→d为电流的正方向，考虑线圈自感，在答题纸上定性画出通过电阻R的iR﹣t图像。
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