数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件（共31张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件（共31张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-04 13:23:50 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
4.3.1等比数列的概念
教学目标：
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义。
2.了解等比数列与指数函数的关系。
教学重难点：
重点：等比数列的概念和通项公式的意义。
难点：等比中项和等比数列的综合应用。
思考：请同学们仔细观察以下五个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律 你发现了什么规律
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
如果用{an}表示数列①，那么有
取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9．
探究新知
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.
常数叫做等____数列的_____
等比数列
二
比
同
等比数列
公比
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
公比通常用字母q表示(q≠0)
比
探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
定义
符号
探究新知
等差中项
等比中项
如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.
定义
a, A, b成等差数列
a, G, b成等比数列
关系
注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项.
探究2：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
探究新知
探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列
等比数列
不完全归纳法
探究新知
累乘法
累加法
等差数列
等比数列
探究新知
等比数列的通项公式：
思考：已知等比数列的第m项am，公比为q， 求通项公式an.
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
探究新知
指数型函数
思考1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？
探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？
q
q>1
0a1>0
a1<0
q=1
a1
探究新知
从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点.
思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？
探究新知
典例分析
①
②
典例分析
注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.
典例分析
(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
对称设元法
(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
1.与等差数列有关的数的设元技巧：
2.与等比数列有关的数的设元技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a - d，a， a+d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
归纳总结
1.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.求这四个数.
解：设所求四个数为
由题意知
解得
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
小试牛刀
即：下标和相等，对应项的和相等
注意：等号两侧的项数必须相同
即：下标和相等，对应项的积相等
探究新知
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
探究新知
等差数列:
等比数列：
1.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 q
2 8
2 0.2
50
0.08
0.0032
小试牛刀
4
16
2.已知等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
a1=2,q=3或a1=-2,q=-3
6
典例分析
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
典例分析
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
典例分析
例2 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列；
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
典例分析
探究新知
思考：
性质1：数列{an}是等差数列 数列 是等比数列.
性质2：数列{an}是正项等比数列 数列{logban}是等差数列.
小题必备结论
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
典例分析
观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,所以只要设法证明当时,递减,且即可.
所以,当时,递减
又
所以,当时,
所以,生产该产品一年后,月不合格品的数量能控制在100个以内.
小试牛刀
等差数列 等比数列
定义
通项公式
中项
性质
an+1-an=d
an = a1 +(n-1)d
等差数列与等比数列的类比
课堂小结
THANKS
大作业：P34 1、2、3题
课后作业：同步练习册
课后作业
4.3.1等比数列的概念
教学目标：
1.理解等比数列的概念和通项公式的意义。
2.了解等比数列与指数函数的关系。
教学重难点：
重点：等比数列的概念和通项公式的意义。
难点：等比中项和等比数列的综合应用。
思考：请同学们仔细观察以下五个数列, 类比等差数列的研究, 你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律 你发现了什么规律
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
如果用{an}表示数列①，那么有
取值规律: 从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比都等于 9．
探究新知
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于___一个常数，那么这个数列就叫做__________.
常数叫做等____数列的_____
等比数列
二
比
同
等比数列
公比
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
公比通常用字母q表示(q≠0)
比
探究1：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
定义
符号
探究新知
等差中项
等比中项
如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.
定义
a, A, b成等差数列
a, G, b成等比数列
关系
注意：若a, b同号,则有两个等比中项;若a, b异号,则无等比中项.
探究2：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
探究新知
探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列
等比数列
不完全归纳法
探究新知
累乘法
累加法
等差数列
等比数列
探究新知
等比数列的通项公式：
思考：已知等比数列的第m项am，公比为q， 求通项公式an.
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
探究新知
指数型函数
思考1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？
探究4：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？
q
q>1
0
a1<0
q=1
a1
探究新知
从图象上看，表示等比数列{an} 中的各项的点是指数型函数 图象上一群孤立的点.
思考2：公比q＞0且q≠1的等比数列的图象有什么特点？
探究新知
典例分析
①
②
典例分析
注意：等比中项还要关注项的关系，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.
典例分析
(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
对称设元法
(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
1.与等差数列有关的数的设元技巧：
2.与等比数列有关的数的设元技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a - d，a， a+d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
归纳总结
1.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.求这四个数.
解：设所求四个数为
由题意知
解得
因此所求的四个数为-4,2,8,32或4,-2,-8,-32.
小试牛刀
即：下标和相等，对应项的和相等
注意：等号两侧的项数必须相同
即：下标和相等，对应项的积相等
探究新知
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
探究新知
等差数列:
等比数列：
1.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 q
2 8
2 0.2
50
0.08
0.0032
小试牛刀
4
16
2.已知等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
a1=2,q=3或a1=-2,q=-3
6
典例分析
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
典例分析
例1 用10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到）
典例分析
例2 已知数列的首项
(1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列；
(2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列.
典例分析
探究新知
思考：
性质1：数列{an}是等差数列 数列 是等比数列.
性质2：数列{an}是正项等比数列 数列{logban}是等差数列.
小题必备结论
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
典例分析
观察发现,数列先递增,在第6项以后递减,所以只要设法证明当时,递减,且即可.
所以,当时,递减
又
所以,当时,
所以,生产该产品一年后,月不合格品的数量能控制在100个以内.
小试牛刀
等差数列 等比数列
定义
通项公式
中项
性质
an+1-an=d
an = a1 +(n-1)d
等差数列与等比数列的类比
课堂小结
THANKS
大作业：P34 1、2、3题
课后作业：同步练习册
课后作业