第二章 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时 课件（25张PPT）

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第二章一元二次函数、方程、不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第3课时
人教版（2019A)
教学目标
学习目标 数学素养
1.在熟练掌握一元二次不等式解法的基础上，掌握含参不等式的求解. 1.分类讨论思想、函数与方程思想和化归与转化思想.学会知识迁移，提高创新思维能力.
2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系，会求恒成立问题.
复习导入
一元二次不等式的解集与一元二次方程、二次函数的图象的关系
＝b2－4ac >0 ＝0 <0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两不相等的实数根x1, x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1o
x1
x2
x
y
o
x1=x2
x
y
o
x
y
有两相等的实数根x1=x2=
复习导入
一元二次不等式的解法：
(1)看：看二次项系数是否为正，若为负化为正；
(2)算：算 及相应方程的根；
(3)想：抛物线与 x 轴的相关位置；
(4)写：写一元二次不等式的解集．
复习导入
一元二次不等式实际应用解题的方法
选取合适的字母设题中的未知量；
由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；
求解所列出的不等式（组）；
结合题目的实际意义下结论.
探究新知
【例1】⑴已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0的解集为{x|x<1或x>3} ,求a的值.
解：⑴由不等式x2-(a+1)x+a>0的解集为{x|x<1或x>3}得x2-(a+1)x+a=0的两根x1=1,x2=3,∴a=1×3=3.
分析：⑴本题是由已知一元二次不等式解集去确定不等式，把解一元二次不等式的程序倒过来写，即可求出a的值.
⑵已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解：⑵由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2新知探究
解：⑵由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0，
探究新知
【例2】解关于x的不等式：（ax-1)(x-1)>0(a>0)
解：∵a>0,∴原不等式可以化为
探究新知
变式1 解关于x的不等式：（ax-1)(x-1)>0(a<0)
变式2 解关于x的不等式： (a>0)
变式3 解关于x的不等式： (a<0)
提示：∵a<0,∴（ax-1)(x-1)>0可化为 ，再求解.
提示： （ax-1)(x-1)>0(a>0), 再求解.
提示： ,再求解.
新知探究
变式4 解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1>0
提示：对于关于的不等式ax2-(a+1)x+1>0，要按照a的不同取值分情况讨论.①当a=0时，原不等式的解集为{x|x>1};
②当a>0时，即为例题；
③当a<0时，即为变式1.
新知探究
【例3】解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.
解： =k2+8k=k(k+8)
⑴当 >0即k<-8或k>0时,方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实数根，
原不等式的解集为 ；
判别式不确定时，按判别式
大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
⑵当 =0即k=-8或k=0时,方程2x2+kx-k=0有两个相等的实数根,原不等式的解集为{ }，即{-2}或{0}；
⑶当 <0即-8新知探究
含参一元二次不等式的解法
判定二次项系数是否为零，分别讨论；
在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系；
在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根；
比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集；
综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
初试身手
1.（多选）已知a∈R,关于x的不等式 的解集可能是（ ）
A.{x|1a} C.{x|x1} D.{x|x≠1}
方法提示：当a<0时 ,原不等式等价于（x-1)(x-a)<0,a当a=0时，原不等式解集为 ；当01}；当a=1时，原不等式解集为 {x|x≠1}；当a>1时，原不等式解集为{x|x<1或x>a} .正确选项为BCD.
2.（多选）对于给定的实数a,关于x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能是（ ）
A.{x|-1a} C.{x|a方法提示：按第1题方法分析，ABCD都有可能.
初试身手
3.解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．
探究新知
【例4】对于任意实数x，不等式mx2-2x+m-2<0恒成立，则实数m的取值范围是 .
解：
初试身手
对于任意实数x,不等式mx2-(m-2)x+m>0恒成立，则m的取值范围是 .
方法提示：
新知探究
【例5】若不等式2x>x2+a对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是 .
解：方法1：（分离变量法）由2x>x2+a，得a<-x2+2x
因为y=-x2+2x=-(x-1)2+1在x∈{x|-2≤x≤3}上的最小值为-8.
所以实数a的取值范围是{a|a<-8}.
方法2：因为2x>x2+a，所以x2-2x+a<0
若x2-2x+a<0对于一切x∈{x|-2≤x≤3}恒成立，则
解得a<-8
所以实数a的取值范围是{a|a<-8}.
新知探究
一元二次不等式恒成立求参数范围解题方法
在R上恒成立
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 a>0且Δ<0.
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立 a<0且Δ≤0.
在给定范围上的恒成立
方法一：a＞0，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β的函数值都小于0.
a＜0，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c
在x＝α，x＝β时的函数值都大于0.
方法二：分离参数，转化为函数的最大(小)值问题．
初试身手
1.若使有意义得x的取值为R，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a|-22} C.{a|a≤-2或a≥2} D.{a|-2≤a≤2}
方法提示：由题意得x2+ax+1≥0的解集为R.
∴ 方程x2+ax+1=0的判别式 =a2-4≥0,解得-2≤a≤2,故选D.
2.下列结论错误的是（ ）
A.若方程ax2+bx+c=0（a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且 =b2-4ac≤0.
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤.
D.不等式的解集为{x|x<1}.
方法提示：显然，对于a<0时，不等式ax2+bx+c>0的解集为 ，所以A错误；对于不等式ax2+bx+c≤0，当a=b=0,c≤0时，不等式的解集也为R，所以B也错误；C结论是正确的；不等式 解集为{x|0初试身手
3.若函数y=ax2+bx+c（a≠0)的图像如图所示，则不等式的解集为 .
方法提示：由题图知，1和2是方程ax2+bx+c=0的两根.
∴ ，即b=-3a,c=2a且a>0
不等式 ，即(x-3)(2x+1)<0
所以原不等式的解集为 .
初试身手
4.命题“ x∈{x|x>0},x2-3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
方法提示：由题意可知命题“ x∈{x|x>0},x2-3ax+9≥0”为真命题.
所以实数a的取值范围为 .
∴命题” x∈{x|x>0}， ”为真命题.
因为x∈{x|x>0}， , 当且仅当 即x=3时，等号成立.
课堂总结
1.含参一元二次不等式的解法
判定二次项系数是否为零，分别讨论；
在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系；
在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根；
比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集；
综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
2.一元二次不等式恒成立求参数范围解题方法
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 a>0且Δ<0.
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立 a<0且Δ≤0.
作业布置
作业：P54练习 第1题 P58 复习参考题2 第6题.
补充题：
1.若不等式（1+a)x2+(a-1)x+6>0的解集为{x|-30.
2.解关于x的不等式ax2+2x-a+2>0.
3.若不等式的解集为{x|x<1或x>2},求a的值.
4.当0≤x≤2时,2t-t2≤8(x2-3x+2)≤8(3-t2)恒成立，试求t的取值范围.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！