2022-2023学年第二学期高一6月阶段检测试卷(三)
数学试题
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共8小题,共40分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 已知某校高三年级共人,其中实验班人,为了解学生们的学习状况,高三年级组织了一次全员的数学测验,现将全部数学试卷用分层抽样的方法抽取份进行研究,则样本中实验班的试卷份数为( )
A. B. C. D.
2. 若复数满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知,是两个不同的平面,为平面内的一条直线,下列说法正确的是( )
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若,则 D. 若,则
4. 已知向量,满足,,则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 已知、是两条不同的直线,、、是三个不同的平面,下列说法中错误的是( )
A. 若,,,则
B. 若,,则
C. 若,,,则
D. 若,,,则
6. 在边长为的正方形中,是的中点,点是的中点,将,,分别沿,,折起,使,,三点重合于点,则到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知平面向量,,满足,且对,有恒成立,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8. 某市疾控中心为了调查某小学一年级学生注射流感疫苗的人数,在一年级随机抽取了个班级,从个班级中随机抽取学生,且每个班级抽取的学生人数互不相同,若把每个班抽取的人数作为样本数据,已知样本平均数为,样本方差为,则样本数据中的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题,共20分。在每小题有多项符合题目要求)
9. 学校“未来杯”足球比赛中,甲班每场比赛平均失球数是,失球个数的标准差为乙班每场比赛平均失球数是,失球个数的标准差为,你认为下列说法中正确的是( )
A. 平均来说乙班比甲班防守技术好
B. 乙班比甲班防守技术更稳定
C. 乙班在防守中有时表现非常好,有时表现比较差
D. 甲班很少不失球
10. 下列说法中,正确的有( )
A. 复数,满足
B. “为钝角”是“复数在复平面内对应的点在第二象限”的充要条件
C. 已知复数,“的虚部相等”是“”的必要条件
D. 在复数范围内,若是关于的实系数方程的一根,则该方程的另一根是
11. 已知函数在一个周期内的图象如图所示,其中图象最高点、最低点的横坐标分别为,图象在轴上的截距为则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. 在区间上单调递增 D. 为偶函数
12. 已知棱长为的正方体中,为正方体内及表面上一点,且,其中,,则下列说法正确的是( )
A. 当时,对任意,平面恒成立
B. 当,时,与平面所成的线面角的余弦值为
C. 当时,恒成立
D. 当时,的最小值为
第II卷(非选择题)
三、填空题(本大题共4小题,共20分)
13. 已知复数满足,则 .
14. 如图所示,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,且直观图的面积为,则该平面图形的面积为 .
15. 半径为的球的球面上有四点,,,,已知为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为,则球的半径等于 .
16. 已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边,,上,且,,则的最小值为 .
四、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. 本小题分
设是实数,复数,是虚数单位.
在复平面内对应的点在第一象限,求的取值范围;
求的最小值.
18. 本小题分
在中,,,分别是角,,所对的边,若,.
求
若,为上靠近的一个三等分点,求
19. 本小题分
如图,在边长为的正方体中,,分别是棱,的中点
求证:点在平面内
用平面截正方体,将正方体分成两个几何体,两个几何体的体积分别为,,求的值.
20. 本小题分
年月日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆,航天员翟志刚,王亚平,叶光富顺利出舱,神舟十三号载人飞行任务圆满完成为纪念中国航天事业所取得的成就,发扬并传承中国航天精神,某市随机抽取名学生进行了航天知识竞赛并记录得分满分:分,将学生的成绩整理后分成五组,从左到右依次记为,,,,,并绘制成如图所示的频率分布直方图.
请补全频率分布直方图并估计这名学生成绩的平均数和计算分位数求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表,分位数小数点后面保留两位有效数字
现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取人若第三组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为分和,第四组中被抽取的学生成绩的平均数与方差分别为分和,求这人中分数在区间的学生成绩的方差.
21. 本小题分
如图,在四棱锥中,,,,,为正三角形,是的中点,,.
求证:平面平面;
求二面角的余弦值;
求四棱锥的体积.
22. 本小题分
在中,三个内角、、所对的边分别为、、,请在;;,这三个条件中任意选择一个,完成下列问题:
若,求;
若,且,求的面积.
答案和解析
1.
【解析】根据题意,样本中实验班的试卷份数为:.故选B.
2.
【解析】由,得,的虚部为故选.
3.
【解析】由面面平行判定定理可知不对
选项缺少不在平面内由面面垂直性质定理可知错由面面垂直判定定理D正确.
4.
【解析】根据定义可知:在方向上的投影向量为,答案选C。
5.
【解析】由线面平行的性质定理可知,A正确
若,,则或,即B错误
若,,,可得此时,C正确.
若,,则,又,则,即D正确.故选:
6.
【解析】由折叠不变可知,三棱锥中,,两两相互垂直,所以,
的三边长分别为,,,所以,等体积法求出到平面的距离为所以选B.
7.
【解析】设平面向量与的夹角为,
,且对,有恒成立,
也即对任意的实数恒成立,
所,则,所以,
可知,,
所以,则与的夹角余弦值为,
选A.
8.
【解析】设个班抽取的人数分别为,,,,,且
,则,
,
设,,,,分别为,,,,,
则,
设,
已知恒成立,则,即,解得,即,所以,即样本数据的最大值为.故选C.
9.
【解析】从平均数角度考虑是对的从标准差角度考虑是错的从标准差角度考虑是对的
从平均数和标准差角度考虑是对的.
10.
【解析】设,,
对于,
,
,,
,
,故A正确
对于,当,时,都能满足,故B错误,
对于,当时,则一定有虚部相等,必要性成立;
当的虚部相等时,的实部不一定相等,
所以不一定成立,充分性不成立,
则已知复数,“的虚部相等”是“”的必要条件,故 C正确
对于,把代入方程中,
得到.
即且,
解得,.
即原方程为,即,
解得,所以方程另一根为,则D错误.
11.
【解析】由图知,的最小正周期,错;
则,,
由,得.
由,得,则,
所以,故最大值为,对;
当时,,则单调递增,对;
因为,
则不是偶函数,错.故选BC.
12.
【解析】当时,点在线段上,包含于平面,又因为平面平面所以对
当,时,是的中点,且,是垂足,所以为所求,所以B正确
当时,点在线段上,面,所以对
当时,点在线段上,将平面和平面展开成平面图后,线段为所求,的最小值为.
13.
【解析】,
,
,
.
故答案为:.
14.
【解析】根据斜二测画法直观图与平面图形的面积计算,,
由,则.
15.
【解析】设的中心为,三棱锥外接球的球心为,则当体积最大时,点,,在同一直线上,且垂直于底面,如图,
因为为等边三角形且其面积为,所以的边长满足,故,所以,,
故,
故三棱锥的高,
所以,
所以.
16.
【解析】设,,则中
,
由正弦定理得:,.,
在中,,,同理可得
因此可得
,
因为
经检验,则的最小值为.
17.解:由题意得,在复平面内对应的点,
在第一象限可得.
,,
,
当时取到最小值.
18.解:,,由余弦定理,
,故,
由正弦定理,A.由为三角形内角,,
所以,故.
由题意及知,,故B,
即,
因为,,则,由为靠近的三等分点可知,
,
故.
19.解:连接,在正方体中,且,
所以四边形是平行四边形,
所以,又,
所以,所以、、、四点共面,
即点在平面内
再连接,所以平面截正方体的截面是四边形,
所以是几何体三棱台的体积,
所以,
因此:.
20.解:成绩落在的频率为,
补全的频率分布直方图,如图
样本的平均数,
设分位数为,则,
解得:,
即这名学生成绩的平均数为,分位数为
由分层抽样可知,第三组和第四组分别抽取人和人,
这人中分数在区间所有人的成绩平均值:,
这人中分数在区间所有人的成绩方差:,
所以,这人中分数在区间所有人的成绩的方差为.
21.解:证明:因为为正三角形,是中点,
所以,,
又因为,,平面,平面,
所以,平面,
又因为平面,
所以,平面平面
由知:平面,又平面,
故,又,
故为二面角的平面角,
在中,,,,故BD,
又为正三角形,故DE,
又,则,又,
故在中,由余弦定理得:,
因此,二面角的余弦值为
由知:,
如图,作于,
则,
由知:平面,又平面,
故,又,,
又平面,平面,
所以,,
故
.
22.解:若选,因为,又由正弦定理可知:,
所以,
又,则,所以,
又,所以;
若选,,
由余弦定理得,所以,
又且,所以,又,所以;
若选,由,展开得,
又由正弦定理可知,
在中,,
所以,又,则,所以,所以,可得,
又,所以,所以,可得.
若,由正弦定理得,
又,所以,
可得,所以,
又,所以,所以,
又,
所以,所以.
由,及正弦定理知,
由,所以,
又由余弦定理得,即,整理可得,
因为,可得,所以.