(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
6 应用一元二次方程
第2课时 营销问题与平均变化率问题
●
●
●
●
●
●
1.某公司今年4月的营业额为60万元，6月的营业额为100万元.设该公司5,6两个月营业
额的月平均增长率为x,则可列方程为60(1+x)2=100
2.端午节期间，某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒.调查
发现，每降价1元，可多销售10盒.为了尽快减少库存，该食品专卖店决定采取降价措施
要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，则可列方程为（50-x)(300+10x)=
16000
3.将进货单价为35元的商品按45元出售时，可售出500个.经市场调查发现，该商品每涨价
1元，其销量就减少10个.为了获得9000元的利润，则每个售价应定为多少元？
解：设单价上涨x元，可以获得9O00元的利润.
由题意，得(500-10x)(45+x-35)=9000,
整理，得x2-40x+400=0,解得x=20.
45+20=65(元).
答：每个售价应定为65元
4.某商场今年1月的销售额为60万元，2月的销售额下降10%.之后改进了经营管理，月销
售额大幅度上升，到4月销售额已达到121.5万元，求3,4两个月销售额的月平均增长率.
解：设3,4两个月销售额的月平均增长率为x.
由题意，得60(1-10%)(1+x)2=121.5,
整理，得(1+x)=2.25,
解得x1=0.5,x2=-2.5(不符合题意，舍去).
答：3,4两个月销售额的月平均增长率为50%.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
●
●
●
●
●
●
1.下列方程：①=0；②2x-3=0;③}=3；④x-x+4=0.其中是一元二次方程的是
①
(填序号)
2.方程2x2+4x=3化成一般形式为2x+4x-3=0,其中二次项系数是2，一次项系数
是4，常数项是-3
3.若关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0是一元二次方程，则k应满足的条件是
k≠±1
4.请根据题意列出方程，并化成一般形式
(1)如图，将一块矩形绿化区域扩建为正方形，原矩形的一边增加了2，另一边增加了
3m,原矩形绿化区域的面积为20m,求扩建后正方形绿化区域的边长，
解：设扩建后正方形绿化区域的边长是xm,则可列方程成(x-2)(x-3)=
3m
20.
20m2
方程化为一般形式为x2-5x-14=0.
2m
第4题图
(2)网民小李的好友群里有若干名好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消
息，这样共有90条消息，求小李的好友群中的人数
解：设小李的好友群中的人数为x,则可列方程为x(x-1)=90.
方程化成一般形式为x-x-90=0.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
2 用配方法求解一元二次方程
第2课时 配方法（2）
●
●
●
●
●
●
3.求证：无论x取何值，代数式x2-6x+10的值总是正数.
证明：x2-6x+10=（x2-6x+9）+1=(x-3)2+1.
（x-3)2≥0，
.（x-3)2+1>0,
.无论x取何值，代数式x2-6x+10的值总是正数，
用配方法解方程：2X2x-3=0
解：两边同乘2，得x2-4x-6=0,
配方，得x2-4x+4=10,即(x-2)=10,
两边开平方，得x-2=±√10，
所以x1=2+√10，x2=2-√10.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
1 认识一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根及其估算
●
●
●
●
●
●
1.已知关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根是-1，则a-b+c=0
2.已知m是一元二次方程x2-x-2022=0的一个根，则m2-m+1=2023
3.已知一元二次方程x2+2x-10=0,小明利用计算器列出了下表：
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
x2+2x-10
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
则方程x2+2x-10=0的一个近似根是-4.3·
4.已知关于x的二次三项式ax2+bx+c满足下表中的对应关系：
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
ax2+bx+c
-0.80
-0.54
-0.20
0.22
0.72
若x,是方程ax2+bx+c=0的一个根，则x1的取值范围是2.05.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m,另一边减少了3m,剩
余空地面积为20m2,求原正方形空地的边长.
解：设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为(x-2)(x-3)=20,化成
一般形式为x2-5x-14=0,求解过程如下：
20m2
3
5
6
7
8
2m
x2-5x-14
-20
-18
-14
-8
0
10
。。。
第5题图
当x=7时，x2-5x-14=0,..原正方形空地的边长为7m.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
●
●
●
●
●
●
1.方程x(x-2)=0的根是x1=0,x2=2
2.用因式分解法解一元二次方程(x-1)(+3)=0时，可将原方程转化为两个一元一次方
程，其中一个方程是x-1=0,则另一个方程是x+3=0
3.已知数轴上A,B两点对应的数分别是一元二次方程(x+1)(x-2)=0的两个根，则A,B
两点间的距离是3
4.方程3x(2x+1)=2(2x+1)的根是
5.用因式分解法解下列方程.
(1)(x+1)(x+3)=x+1.
解：移项并整理，得(x+1)(x+3)-（x+1)=0,
把方程左边因式分解，得(x+1)(x+2)=0,
..x+1=0或x+2=0,
解方程，得x1=-1,x2=-2.
(2)4x-6=(3-2x)x.
解：移项并整理，得2(2x-3)+（2x-3)x=0,
把方程左边因式分解，得(2x-3)(2+x)=0,
·.2x-3=0或2+x=0,
解方程，得x=}
2,2=-2.(共6张PPT)
第二章 一元一次方程
6 应用一元二次方程
第1课时 运动类问题
●
●
●
●
●
●
1.如图，东西方向上有A,C两地相距10km,甲以16km/h的速度从A地出发向正东方向前
进，乙以12km/h的速度从C地出发向正南方向前进，设经过xh,甲、乙两人相距6km,则
可列方程为(10-16x)2+(12x)2=62·
4平
B
C北
东
↓乙
D
第1题图
2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm,BC=25cm.动点P从点C出发沿CA方向运
动，速度是2cm/s;动点Q从点B出发沿BC方向运动，速度是1cm/s,则经过10s后，
P,Q两点之间相距25cm.
P
Q
A
B
第2题图
3.如图，已知AB⊥BC,AB=12cm,BC=8cm.动点N从点C出发，沿CB方向以1cm/s的速
度向点B运动；点M从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度也向点B运动（当其中一点
到达点B时，另一点也随之停止运动).当△MNB的面积为24cm2时，运动的时间t(s)满
足的方程是(12-2t)(8-t)=48
C
M
B
第3题图
4.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,点P,Q同时从A,B两点出发，分别
沿AC,BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1cm/s.当其中一点到达终点时，另一点
也随之停止运动.经过多少秒，△PCQ的面积是Rt△ACB面积的四分之一？
解：设经过ts,△PCQ的面积是Rt△ACB面积的四分之一，
由题意，可列方程为(8-(6-)=×分×6×8，
解得t1=7+√13>8（不合题意，舍去），t2=7-√13.
.经过(7-√13)s,△PCQ的面积是Rt△ACB面积的四分之一.
第4题图(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
●
●
●
●
●
●
1.若把一个小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.设小圆形场
地的半径为xm,则可列方程为π(x+5)2=2πx
2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图所示），原空地
一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地面积为18m,求原正方形空地的边长.设原
正方形空地的边长为xm,则可列方程为(x-1)(x-2)=18
2
1
第2题图
/∠∠//
苗
X
第3题图
4.现有一个长为32m的木板，利用其建一个面积为130m的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m),
并在与墙平行的一边开一道1m宽的门（如图所示），求这个仓库的长和宽.
解：设仓库垂直于墙的一边长为xm,
墙∠∠
由题意，得(32-2x+1)x=130,
整理，得2x2-33x+130=0,
解得x1=10,x2=6.5.
第4题图
当x=10时，32-2x+1=13<16,符合题意；
当x=6.5时，32-2x+1=20>16,不符合题意，舍去.
.这个仓库的长为13m,宽为10m.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 直接开平方法与配方法
●
●
●
●
●
●
1.若x2-6的值为3，则x的值为±3
3
2.方程4(x-1)2=1的根是
x1=)=2
3.填上适当的数，使下面等式成立
(1)2-5+(=(-5月
(2+3x+(）广=(e+3月
4.解一元二次方程的基本思路是降次，方程x2+4x+4=1可转化为(x+2)2=1,然后利
用平方根的性质进行降次
5.解下列方程.
(1)(x+1)2=6.
(2)x2-2x+1=4.
解：(1)x1=-1+6,x2=-1-6.
（2）x1=3,x2=-1.(共4张PPT)
第二章 一元一次方程
6 应用一元二次方程
第3课时 其他问题
●
●
●
●
●
●
1.某数学兴趣小组的同学之间互赠新年贺卡，若每两位同学之间都相互赠送一张，小明统计
出全组共互送了80张，设该数学兴趣小组一共有x人，则可列方程为x(x-1)=80
2.若两个连续正奇数的积是15，则这两个数中较小的一个数是3
3.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，则每轮传染中平均一个人可传
染8人.
4.小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条
短信，此时收到这条短信的人共有157人，求小明给多少人发了这条短信
解：设小明给x人发了这条短信
由题意，得1+x+x2=157,
解得x1=12,x2=-13(不符合题意，舍去).
答：小明给12人发了这条短信，(共4张PPT)
第二章 一元一次方程
5 一元二次方程的根与系数的关系
●
●
●
●
●
●
1.若x,2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2的值是
2.若x=1是方程x2+bx-2=0的一个实数根，则方程的另一个实数根是-2，b=
1
3.若x1,2是方程x2-5x+m=0的两个实数根，且x1+x2-x,x2=2,则m的值是3.
4.若x1,x,是方程x-x-3=0的两个实数根，则！+1=-
5.若a,b是方程x2-x-505=0的两个实数根，求(2a-1)(2b-1)-1的值.
解：.·a,b是方程x2-x-505=0的两个实数根，
.'.a+b=1,ab=-505,
.（2a-1)（2b-1)-1=4ab-2a-2b+1-1
=4ab-2(a+b)+1-1
=4×（-505)-2×1+1-1
=-2022.(共5张PPT)
第二章 一元一次方程
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
●
●
●
●
●
●
1.用公式法解方程√2x2+4√3x-2√2=0，则b2-4ac的值是64
2在一元二次方程2+x=3中，a=号6=1c=-3,则方程的根是
X1=-1+
√7，x2=-1-7
3.一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况是有两个不相等的实数根
4.用公式法解方程：2x2-3x-1=0.
解：这里a=2,b=-3,c=-1,
.b2-4ac=(-3)2-4×2×（-1)=17>0,
3±√/17
.X=
4
3+√173-√17
即x1=
4
4
5.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-1=0,不解方程判断方程根的情况.
解：.△=（2m)2-4(m2-1)=4m2-4m2+4=4>0,
.·.原方程有两个不相等的实数根
