四川省乐山市2022-2023学年高二下学期期末考试理科数学试题（PDF版含答案）

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乐山市高中 2024 届期末教学质量检测
理科数学参考答案及评分意见
2023.7
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1. C 2. B 3. A 4. C 5. C
6. B 7. A 8. D 9. C 10. B
11.D 12.C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 0.25； 14.30；
5
15. ； 16.4 .
3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.
f (x) 1 x317.解：（1）∵ x 6，∴ f (x) x2 1， ……………………1分
3
∴ x 3时， f (3) 8， f (3) 0 . ……………………3分
∴切线方程为： y 0 8(x 3)，即：8x y 24 0 . ……………………5分
（2）令 f (x) 0，解得 x 1或 x 1 . ……………………7分
令 f (x) 0，解得 1 x 1 . ……………………8分
∴ f (x)在 ( , 1)和 ( , 1)单调递增，在 ( 1,1)单调递减. ……………………10分
7
2
7
2
7
18.解：（1）∵ xi x 28， yi y 118， xi x yi y 56，
i 1 i 1 i 1
7
xi x yi y
r i 1 56 56 56∴ 0.98，
7 2 7 2 28 118 2 826 57.4 xi x yi y
i 1 i 1
……………………4分
∴两变量之间具有较强的线性相关关系，
故市场占有率 y与月份代码 x之间的关系可用线性回归模型拟合. ……………………5分
7
xi x yi y
（2）b i 1 567 2， ……………………7分
2x 28i x
i 1
又 x 1 1 2 3 4 5 6 7 1 4 ， y 11 13 16 15 20 21 23 17 ，
7 7
∴ a y b x 17 2 4 9， ……………………9分
故 y关于 x的线性回归方程为 y 2x 9， ……………………10分
当 x 10时， y 2 10 9 29，
∴预测该公司 10 月份的市场占有率为 29%． ……………………12分
x
19.解：（1）∵ f (x) x e ，∴ f (x) (1 x)ex， ……………………1分
令 f (x) 0，解得 x 1 . ……………………2分
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∴ f (x)在 ( , 1)单调递减，在 ( 1, )单调递增. ……………………4分
1
∴当 x 1时， f (x)有极小值 . ……………………6分
e
（2）∵ x 时， f (x) 0，
1
∴①当 a 时，方程无解； ……………………8分
e
a 1②当 或 a 0时，方程有一个解； ……………………10分
e
1
③当 a 0时，方程有两个解. ……………………12分
e
20.解：（1）∵ 0.0025 0.005 0.0175 m 0.01 20 1， ……………………1分
∴m 0.015. ……………………2分
（2）数学成绩优秀的有100 50% 50人，不优秀的人100 50% 50人，
经常整理错题的有100 40% 20% 60 人，不经常整理错题的是100 60 40人，
经常整理错题且成绩优秀的有50 70% 35人. ……………………3分
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
……………………4分
∴K 2 100(35 25 15 25)
2 25
3.841， ……………………5分
50 50 60 40 6
即有 95% 的把握认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联. ……………………6分
7
（3）在“经常整理错题”抽到数学成绩优秀的学生概率为 . ……………………7分
12
又 X=0,1,2
则 P（X 0) C 0( 5 )2 252 ， ……………………8分12 144
P X 1) C1 7 5 35（ 2 ， ……………………9分12 12 72
P（X 2) C 2( 7 )2 492 . ……………………10分12 144
则 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 25 35 49
144 72 144
……………………11分
E X 0 25 1 35∴ （ ） 2 49 7 . ……………………12分
144 72 144 6
21.证明：（1）取 AB的中点为K，连接MK ,NK ，
∵三棱柱 ABC A1B1C1，∴四边形 ABB1A1为平行四边形，
∵ B1M MA1 ,BK KA，
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∴MK / / BB1 .
又MK 平面 BCC1B1，BB1 平面 BCC1B1，
∴MK / / 平面 BCC1B1 . ……………………2分
∵ N ,K 分别为 AC, AB中点，
∴ NK / / BC .
又 NK 平面 BCC1B1， BC 平面 BCC1B1，
∴ NK / / 平面 BCC1B1 . ……………………4分
∵ NK MK K ,NK ,MK 平面MKN，
∴平面MKN / / 平面 BCC1B1 . ……………………5分
又MN 平面MKN，
∴MN / / 平面 BCC1B1 . ……………………6分
（2）选条件①
∵ BN 平面 AA1C1C，
∴ BN CC1 .
又∵侧面 BCC1B1为正方形，
∴CC1 BC .
∵ BC BN B，
∴CC1 平面 ABC . ……………………8分
选条件②
∵在 B1BN 中， BB1 2,BN 1,B1N 5，
BB 21 BN
2 B 21N .
∴ BB1 BN .
又∵侧面 BCC1B1为正方形，
∴ BB1 BC .
∵ BC BN B，
∴ BB1 平面 ABC . ……………………8分
解法一：如图建立空间直角坐标系，
设 AB 2，则 A( 3,0,0) ,B(0,1,0) ,N(0,0,0) ,M ( 3 , 1 ,2)
2 2

NB (0,1,0) NM ( 3 1 , , , 2)
2 2
设平面 NBM 的法向量为m (x, y, z)

m NB y 0


m NM
3
x 1 y 2z 0
2 2

x 2 y 0, z 3 m (2,0, 3令 得 ，即 ) . ……………………9分
2 2
同理可得平面 ABM 的法向量为 n (1, 3,0) ……………………10分
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2 2 19
∴ cos m,n .
19 19
2
2
2 19
即二面角 A BM N的平面角的余弦值为 . ……………………12分
19
解法二：过点 N 作 NO AB交 AB于点O，
过点O作OD BM 交 BM 于点D，连结DN
∵ BB1 平面 ABC，
∴ BB1 NO .
∵ BB1 AB B，
∴ NO 平面 ABB1A1 .
∴ NO BM .
∵OD NO O，
∴ BM 平面 NOD .
∴ BM ND .
∴ NDO即为所求角. ……………………10分
NO 3 ND 19 1∵ ， ，OD ，
2 2 5 5
∴ cos NDO OD 2 19 .
ND 19
即二面角 A BM N 2 19的平面角的余弦值为 . ……………………12分
19
x
22.解：（1）∵ f (x) e ax，∴ f (x) ex a . ……………………1分
∵ f (x)有最小值，∴ a 0 .
∴ f (x)在 ( , ln a)单调递减，在 (ln a, )单调递增.
∴ f (x)min f (ln a) a a ln a . ……………………2分
∵ g(x) ax ln x g (x) ax 1 ，∴ .
x
1 1
∴ g(x)在 ( , )单调递减，在 ( , )单调递增.
a a
∴ g(x)min g(
1 ) 1 ln a . ……………………3分
a
∵ f (x)min g(x)min，
∴ a a ln a 1 ln a a 1 ，即 ln a . ……………………4分
1 a
h a a 1令 lna ，
1 a
h a 2 1 a
2 1
∴ 0 .
1 a 2 a a 1 a 2
∴ h(a)在 (0, )单调递减. ……………………5分
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又∵h(1) 0，∴ a 1 . ……………………6分
（2）直线 y b与 y f (x)和 y g(x)的图象有四个不同的交点，存在以下两种情况：
由于两种情况证法类似，下证第一种情况：
设直线 y b与 y f (x)的图象交点横坐标从左到右依次为 x1, x2，
直线 y b与 y g(x)的图象交点横坐标从左到右依次为 x3, x4 .
f x1 f x2 g x3 g x4 b且 x1 0 x2 x3 1 x4 . ……………………7分
∵ f (ln x3) x3 ln x3 g x3 f x1 且 ln x3 0 . ……………………8分
∴ ln x3 x1 . ……………………9分
同理， ln x4 x2 . ……………………10分
∴ x1 x4 ln x3 x4 ， x2 x3 ln x4 x3
又∵ g x3 g x4 ，即： x3 ln x3 x4 ln x4 . ……………………11分
∴ ln x3 x4 ln x4 x3 .
∴ x1 x4 x2 x3 . ……………………12分
（注：未说明有两种情况，扣 1 分）
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