广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题（PDF版含答案）

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2023年春季期玉林市高二期末教学质量监测
数学科参考答案
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B A C D C
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 BC BC AC BD
12 1．解：因为 f (x) (x 1)lnx(x 0) ，所以 f (x) lnx 1 ，
x
h(x) lnx 1 1 1 1令 ，则 h (x)
x x x2
0，
所以函数 h(x)在 (0, )上单调递增，又 h（1） 0，
所以当 0 x 1时， h(x) 0，即 f (x) 0，当 x 1时， h(x) 0，即 f (x) 0，
所以 f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增，
所以 f (x)min f （1） 0．所以当 a 0，取 a 2，b e，因为 e
2 e 1，
所以 f (ea ) f （b），此时 a b 0，A错误；
当 a 0时， ea 1，由 f (ea ) f （b）得 ea b，即 ea b 0，B正确；
当 a 0时，取 a 1， b 1， e 1 1，满足 f (ea ) f （b），此时 ea b 2，C错误；
当 a 0时， 0 ea 1，由 f (ea ) f （b）得 b ea ，则 lnb a，即 a lnb 0，D正确．
故选：BD．
三、填空题
3
13．4或 7 14. 1 15. 16. ( ， 2]．
3 2
16．解：由 f (x) alnx 2x，得 f (ex ) alnex 2ex ax 2ex ，
f (x 1) ax 2ex ， f (x 1) f (ex )， 当 x 0时，1 x 1 ex ，
a
只需 f (x) alnx 2x在 (1, )上单调递减，即 x 1时， f x 2 0x 恒成立，
a 2x在 (1, )上恒成立， a 2 ， a的取值范围为 ( ， 2]．故答案为： ( ， 2]．
四、解答题
17 n．解：（1）因为只有第 7项的二项式系数最大，所以 6，则 n 12；……………………2分
2
（2）根据（1 1）可知，二项式为 (ax )12 ，
3 x
1
故 (ax )12 的展开式的通项公式为T C r (ax)12 r ( 1 )rr 1 12 ……………………………3分3 x 3 x
高二 数学 参考答案 第 1 页 共 5 页
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4
C r a12 r r
12 r
3
12 ( 1) x ………………………………………………………………………5分
12 4令 r 0，解得 r 9，…………………………………………………………………6分
3
所以展开式的常数项为 C9 312 a 220……………………………………………………7分
得 a3 1，所以 a 1，………………………………………………………………………8分
令 x 1可得展开式的所有项的系数和为 (a 1)12 (1 1)12 0．………………………10分
18．解：（1）原不等式可化为 ax2 a 2 x b 0，
由题知， 2， 1是方程 ax2 (a 2)x b 0的两根，…………………………………2分

a 0

a 2 a 1由根与系数的关系得 3，解得 ；………………………………………6分
a b 2
b
2 a
（2）
当 a 0 2 时，所以原不等式化为 x x 1 0 ，………………………………………8分 a
2
当 2 1，即 a 2时，解得 1 x ；………………………………………………9分
a a
2
当 1，即 a 2时，解得 x 1；………………………………………………10分
a
2 2
当 1，即 2 a 0时，解得 x 1，………………………………………11分
a a
综上所述，
2
当 2 a 0时，不等式的解集为 x x 1a
；

当 a 2时，不等式的解集为{ 1}；
2
当 a 2时，不等式的解集为 x 1 x ． ………………………………………12分
a
1
19．解：（1）由题意， y (990 990 450 320 300 240 210) 500 ，……………1分
7
1
令 t ，设 y关于 t的线性回归方程为 y b t a ，………………………………………2分
x
7
ti yi 7t y
b i 1 1845 7 0.37 500则 7 1000，………………………………………4分
t2
2
i 7t
0.55
i 1
则a 500 1000 0.37 130 .………………………………………………………………5分
∴ y 1000t 130 t
1
，又 ，
x
高二 数学 参考答案 第 2 页 共 5 页
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y x y 1000∴ 关于 的回归方程为 130，………………………………………………6分
x
故 x 100时， y 140 .
∴经过 100天训练后，每天解题的平均速度 y约为 140秒；…………………………7分
（2）设比赛再继续进行 X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行 4局就有胜负.……………………………………………………8分
2 2 4
当 X 2时，小明 4 :1胜，∴ P(X 2) ；……………………………………9分
3 3 9
当 X 3时，小明 4 : 2胜，∴ P(X 3) C1
2 2 2 8
2
1
3 3
；……………………10分
3 27
2 2 2 2 4
当 X 4时，小明 4 :3胜，∴ P(X 4) C13 1 .……………………11分3 3 3 27
4 8 4 8
∴小明最终赢得比赛的概率为 .…………………………………………12分
9 27 27 9
20．解：（1） f (x) x3 3ax2 3bx a2 ， f (x) 3x2 6ax 3b，………………………1分
又 f (x) x3 3ax2 3bx a2在 x 1处有极值 0，
f ( 1) 0 3 6a 3b 0
， ，
f ( 1) 0

1 3a 3b a
2 0
a 1 a 2
解得 或 ，………………………………………………………………………3分
b 1 b 3
当 a 1，b 1时， f (x) 3x2 6x 3 3(x 1)2 0，此时函数 f (x)在 R上单调递增，不
满足在 x 1时有极值，故舍去，………………………………………………………4分
故 a 2，b 3 f (x) x3 6x2 9x 4，……………………………………5分
f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，
当 x 3时， f (x) 0；当 3 x 1时， f (x) 0，当 x 1时， f (x)＞0，…6分
函数 f (x)在 ( , 3)， ( 1, )上单调递增，在 ( 3, 1)上单调递减；…………7分
（2）由（1）可知 g(x) x3 6x2 9x k 5，
g (x) f (x) 3(x 1)(x 3) ，
由（1）知 g(x)在 ( , 3)和 ( 1, )上单调递增，在 ( 3, 1)上单调递减，
g(x)的极大值为 g( 3) k 5， g(x)的极小值为 g( 1) k 1，…………………10分
k 5 0
要使函数 g(x) 有三个零点，则须满足 ，……………………………………11分
k 1 0
解得1 k 5，故实数 k的取值范围为 (1,5)．……………………………12分
21．解：（1）零假设H0：假设“航天达人”与性别无关，…………………………………1分
根据表中数据，计算得到
2 200 (80 50 40 30)
2 ……………………………………………2分
16.498 6.635
120 80 110 90
所以根据小概率值 0.010的
2
独立性检验，我们推断H0 不成立，即认为“航天达人”
与性别有有关联。该推断犯错误的概率不大于 0.01………………………………………3分
高二 数学 参考答案 第 3 页 共 5 页
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（2）（I）由已知事件 ABC表示：“抽取的 3人为 2男生 1女生，男生都是航天达人”和“抽取
的 3人为 3男生，至少两人是航天达人”……………………………………………4分
D=“抽取的 3人中为 2男生 1女生，男生都是航天达人”
E=“抽取的 3人中为 3男生且至少两人是航天达人”
C 2 (C1 1
P(D) 8 3
C5 ) 56 …………………………………………………………………5分
C320 285
C 2C1 C3
P(E) 8 4 8 42 143 ………………………………………………………………6分C20 285 95
所以 P(ABC) P(D) P(E) 98 ，………………………………………………………7分
285
C2C1 C3 C2(C1 1 1 3 2 1 1 2 1 3
P A P(B | A)P(C | AB) 12 8 12 8 4
C3 C5) C8 C8 (C3 C5) C8C4 C8 98
（ ） C3 2 1 3
2 1 1 1 3 ，
20 C12C8 C12 C8 (C4 C3 C5) C8 285
所以 P(ABC) P（A） P(B | A) P(C | AB)；……………………………………………10分
（II）由（I）得 P(ABC)与 P（A） P(B | A) P(C | AB)相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件 A， B，C，有 P(ABC) P（A） P(B | A) P(C | AB)，……11分
证明过程如下：P（A） P(B | A) P(C | AB) P（A P(AB) P(ABC)） P(ABC)，得证…
P(A) P(AB)
12分
22 x
a
.解：（1）定义域为 0, ， f x x 1 e ．………………………………………2分
x
f (1) 2e a 2e 1
由题意知 ，解得a 1，b e 1f (1) 2e 1 b e ．………………………………4分
（2） g x f x 2ex x 3 x 2 ex ln x x 3，
g x x 1 ex 1则 1 x 1 ex 1

．………………………………………………5分x x
1
令 h x 1 1 ex x，其中 x ,1 ，则 h x e 0 ，x 2 x2
x 1 1
所以函数 h x e 在 x
x
,1 上单调递增．………………………………………6分 2
h 1 因为 e 2 0， h 1 e 1 0 ，
2
1 1
所以存在唯一 x
1
0 ,1
x0 x0
，使得 h x0 e 0，即 e ，可得 x2 0 ln x0 ．…7分 x0 x0
1
当 x x0时， g x 0，此时函数 g x 单调递增，2
当 x0 x 1时， g x 0，此时函数 g x 单调递减．
1 x
所以，当 x ,1 时， g x g x 02 max 0 x0 2 e ln x0 x0 3
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因为 ex
1
0 ， x0 ln xx 0，0
所以 g x 4 2 x 1 4 1 4 x 0 g x 0max 0 0 ，即 ，…………………………8分
x0 x0
因为 g 1 2 e 1，………………………………………………………………………9分
g 1 5 ln 2 3 e 5 ln 2
3 5
ln 2 1．……………………………………10分
2 2 2 2 2 3
1
所以当 x ,1 时， 1 g x 0， 2
即n 0，m 1 m,n Z ．………………………………………………………………11分
所以 n m 1，即 n m的最小值1．………………………………………………………12分
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