枣庄市峄城区2022-2023学年高一下学期6月第二次月考
数学学科
考试时长：120分钟 总分值：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体是旋转体的是( )
A. 五棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱台 D. 球
2.经过同一直线上的3个点的平面 ( )
A. 有且仅有1个 B. 有且仅有3个 C. 有无数个 D. 不存在
3. 下面三条直线一定共面的是( )
A. a，b，c两两平行 B. a，b，c两两相交
C. ，c与a，b均相交 D. a，b，c两两垂直
4. 如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为( ) A. B. 1 C. D.
5. 如图，圆柱内有一内切球圆柱侧面和底面都与球面相切，若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为( )
A. B. C. D.
在正方体中，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7. 公元前3世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积与它的直径的立方成正比”，此即，欧几里得未给出k的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”类似地，对于等边圆柱轴截面是正方形的圆柱、正方体也可利用公式求体积在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长假设运用此体积公式求得球直径为、等边圆柱底面圆的直径为、正方体棱长为的“玉积率”分别为、、，那么等于
A. B. C. D.
8. 已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A. B. C. D.
10. 下列叙述中，正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若A，B，，A，B，，则，重合
D. 若，，，，则
11. 下列叙述正确的是( )
A. 已知a，b是空间中的两条直线，若，则直线a与b平行或异面
B. 已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或l与只有一个公共点
C. 已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D. 已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，则
12. 下列正确命题的是( )
A. 若是两条异面直线，则直线一定异面.
B. 已知m，n表示不同的直线，表示平面，若，，则
C. 过已知平面外的一点，有且只有一个平面与已知平面平行.
D. 过已知平面外的一条直线，必能作出与已知平面平行的平面.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如果a, b是异面直线，直线c与a, b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有__________个.
14. 在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，点P在上且，则下面说法正确的是__________.
①平面APC； ②平面APC；
③A，P，M三点共线； ④平面平面
15. 如图，E是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，则线段CE的长度为__________.
16. 已知平面，和直线m，给出条件：①；②；③；④；⑤
当满足条件__________时，有； 当满足条件__________时，有
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（本小题分）
18. 本小题分
如图，已知分别是空间四边形ABCD的边的中点.
求证：四点共面；
若四边形EFGH是矩形，求证：
19. 本小题分
已知正方体ABCD-A1B1C1D1 如图，求证：平面AB1D1//平面BC1D.
20. 本小题分
如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，面ABCD，，
求证：面面SBC；
求SC与底面ABCD所成角的正切值．
本小题分
如图，在四棱锥中，，且
证明：平面平面PAD；
若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．
22. （本小题分）高一数学 答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了旋转体和多面体的定义与应用问题，属于基础题．
根据旋转体、多面体的定义，判断即可．
【解答】
解：根据一个平面图形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的几何体叫做旋转体，判断球是旋转体；
一个几何体围成它的各个面都是多边形，这个几何体是多面体，由此判断五棱柱、六棱柱、八棱台都是多面体．
故选：
2.【答案】C 课本 P131
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.
根据空间公理1、公理2即可判断.
【解答】
解：因为两条平行直线确定一个平面，
根据题意得，a与b确定一个平面，
又因为c与a，b均相交，
所以直线a，b，c一定共面.
故选
4.【答案】A
【解析】
本题考查斜二测画法的应用，属于基础题.
将直观图还原成原来的图形，即平行四边形，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形的高，即可求出原图形的面积．
【解答】
解：由题意正方形 OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以原图形为平行四边形，且OA为其中一边，OB是其一条对角线
直观图中：计算得，
所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为，
所以原图形的面积为：
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是球的体积与圆柱的表面积公式，属于基础题.
根据已知得到球的半径．
【解答】
解：由，
可得球的半径，
可得圆柱的高为，
圆柱的底面周长为，
则圆柱的侧面积为
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面所成角的余弦值的求法，属于中档题．
连接交于，直线与平面所成的角即为直线与平面所成角，由等体积法可求得点到面的距离，求出线面所成角的正弦值，再转化为余弦值即可．
【解答】
解：连接交于，
，分别是，的中点，
，
直线与平面所成的角即为直线与平面所成角．
设正方体的棱长为，，
，
由等体积法可求得点到面的距离，
又，
，
，
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理的能力，属于中档题．
根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推理即可得出．
【解答】
解：；
；
；
故
故选
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的外接球的体积的最值问题，属于中档题.
确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大是解题关键，再结合三棱锥的体积公式求出球的半径，则球的表面积可求.
【解答】
解：如图，
设球的半径为R，，，
，而面积为定值，
当点C到平面AOB的距离最大时，最大，
当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积最大，
最大值为，，
球O的表面积为，
故选
9.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查旋转体的表面积，属于基础题.
如果是绕直角边旋转，形成圆锥，如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，分两类即可得解.
【解答】
解：如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，
母线就是直角三角形的斜边，
所以所形成的几何体的表面积是
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，
圆锥的半径是直角三角形斜边的高，
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，
所以形成的几何体的表面积
综上可知形成几何体的表面积是或
故答案选
10.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查平面的基本性质，属于基础题.
根据平面的基本性质，对各选项逐一分析，即可得到答案.
【解答】
解：若，，，，
根据平面性质的公理，可知正确，故A正确；
B.，，A，B两点不一定是两个平面的公共点，故B错误；
C.若A，B，，A，B，，
当A，B，C在一条直线上时，则，不重合，故C错误；
D.若，，，，
则A，B两点是两个平面的公共点，
根据平面性质的公理，得到，故D正确.
故选
11.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系，属于中档题.
根据空间直线与直线、直线与平面相关知识逐一判断即可.
【解答】
解：已知a，b是空间中的两条直线，若，则直线a与b平行或异面，正确；
B.已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，
若，则或l与只有一个公共点，正确；
C.已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线，正确；
D.已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的两条相交直线，则，故D错误.
故选
12.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面的位置关系以及异面直线的判定，需要熟练掌握线面平行的判定方法，属于中档题.
根据异面直线的定义和性质以及线面平行的判断定理，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】
解：若直线共面，
则四点A，B，C，D共面，AB与CD共面，矛盾，故A正确；
若，，则或，B错误；
过已知平面外的一点，作相交的两条直线与已知平面平行，
这两条相交直线确定一个平面，这个平面与已知平面平行，C正确；
当直线与平面相交时，过该直线不能作平面与已知平面平行，故D错误，
故选
13.【答案】2 课本P132
14.【答案】②③
【解析】
【分析】
本题考查线面平行和面面平行的判定，考查空间中共点、共线问题，属基础题.
根据空间中的公理和定理逐项分析即可.
【解答】
解：①，连接AM、CN，易得AM、CN交与点P，即面PAC，
所以面APC是错误的；
②平面APC延展，可知M、N在平面APC上，，
所以面APC，是正确的；
③由，以及由①可知A，P，M三点共线是正确的；
④直线AP延长到M，则M在平面MNQ，又在平面APC，
即面面APC，是错误的．
故答案为②③.
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方体的结构特征，直线与平面平行的性质定理，属于基础题.
由题意先分析出点E是中点，再利用勾股定理求解.
【解答】
解：连接，交于点O，连接OE，
是正方体的棱上的一点，
且是正方形，是中点，
平面，平面，平面平面，
，
是正方体的棱的中点，
故答案为
16.【答案】③⑤
②⑤
【解析】
【分析】
本题主要考查线面、面面平行与垂直的定义，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.
由两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，即可得出结论；
由两个平面平行，一条直线垂直于一个平面，则一定垂直于另一个平面.
【解答】
解：因为， ，
所以，
故答案为③⑤；
因为， ，
所以，
故答案为②⑤.
故答案为③⑤②⑤.
17.【答案】课本P132 第8题
18.【答案】证明：在中，分别是的中点，
同理，则，故四点共面.
由知，同理
又四边形EFGH是矩形，
故
【解析】本题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直，属于基础题.
根据中位线定理证明，，得到，即可证明四点共面；
根据矩形关系有，结合中位线关系，，即可证明.
19.【答案】课本P140 例4
20.【答案】证明：因为面ABCD，面ABCD，
又，，且SA，面SAB，
面SAB，
面SBC，
面面
解：已知面ABCD，连接AC，
则就是SC与底面ABCD所成的角，
在直角三角形SCA中，，
，
【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
证明利用，即可证明面SAB，利用平面与平面垂直的判定定理证明面面
连接AC，说明就是SC与底面ABCD所成的角，在直角三角形SCA中，求解即可．
21.【答案】证明：，即，，
又，
，
，PA，平面PAD，
平面PAD，
平面PAB，
平面平面
解：设，取AD中点O，连结PO，
由知平面PAD，
又平面PAD，
，
，，
，，，
又AB，平面ABCD，，
平面ABCD，
四棱锥的体积为，
由平面PAD，平面PAD，
得，
又，
所以四边形ABCD为矩形
，
解得，
，
，，
，
由上述可知都是直角三角形，是等腰三角形
该四棱锥的侧面积：
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法．
推导出，，从而，进而平面PAD，由此能证明平面平面
设，取AD中点O，连结PO，由，，得底面ABCD，且，，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积．
22.【答案】课本P170 第10题
