邹平市名校2022-2023学年高二下学期期末质量检测
数学答案
2023.7
一、单选题
1．已知集合，则
A． B． C．（ D．）
【答案】C
【详解】因为所以，故选.
考点：1.集合的基本运算；2.简单不等式的解法.
2．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于
A． B． C．－2 D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为的实部与虚部互为相反数，所以=0，解得b=，故选D．
考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念．
点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单．细心计算即可．
3．若向量，，，，且，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标运算表示出；根据平行关系可得方程求出，根据向量坐标运算可求得结果.
【详解】，
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到向量的加减法运算、利用向量平行求解参数值的知识，属于基础题.
4．已知函数，且，则 的值（ ）
A．恒为正数 B．恒等于零
C．恒为负数 D．可能大于零，也可能小于零
【答案】C
【分析】根据函数的解析式可得函数是奇函数，并且根据函数解析式可得函数是减函数，所以根据题意α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，可得α＞﹣β，β＞﹣γ，γ＞﹣α，进而结合函数的奇偶性与函数的单调性即可得到答案．
【详解】由题意可得：函数f（x）=﹣x﹣x3，
所以函数的定义域为R，并且有f（﹣x）=x+x3=﹣f（x）
所以函数f（x）是定义域内的奇函数．
因为﹣x是减函数，﹣x3也是减函数，所以函数f（x）=﹣x﹣x3在R上是减函数．
因为实数α、β、γ满足α+β＞0，β+γ＞0，γ+α＞0，
所以α＞﹣β，β＞﹣γ，γ＞﹣α，
所以f（α）＜f（﹣β）=﹣f（β）…①，
f（β）＜f（﹣γ）=﹣f（γ）…②，
f（γ）＜f（﹣α）=﹣f（α）…③，
①+②+③并且整理可得：f（α）+f（β）+f（γ）＜0．
故选C．
【点睛】此题考查了函数的周期性、奇偶性及其运用，对于抽象函数，且需要求函数值的题目或者比较大小的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.
5．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率.
【详解】因为经过左焦点，且斜率为，故，
所以，所以，则，
设，则，
由椭圆的定义可知：，即，
解得：，
所以，，
由勾股定理得：，
故，
解得：，故椭圆离心率.
故选：A
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得，，再利用倍角公式即得.
【详解】，
．
故选：A．
7．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别讨论.
【详解】充分性：因为，所以，即，展开得：
.
因为，均为单位向量，所以，所以，即.
所以充分性满足.
必要性：因为，且，均为单位向量，
所以.
同理可求：，所以.
故必要性满足.
故选：C
8．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用两角和与差的正弦，余弦公式将函数化简，然后根据变量的取值范围和余弦函数的图像即可求解.
【详解】
．
当时，．
在内有且仅有2个零点，，．
故选：．
二、多选题
9．统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ）
A．
B．
C．新数据：的标准差为
D．新数据：的标准差为
【答案】AD
【分析】利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，
由中位数的定义可知，A对；
对于B选项，不妨令，则，B错；
对于C选项，数据的均值为，
方差为，
所以，数据的标准差为，C错；
对于D选项，数据的均值为
，
其方差为，
所以，新数据：的标准差为，D对.
故选：AD.
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】将指数转化为对数可得，，利用换底公式计算的值可判断A；根据对数函数的单调性判断的范围即可得的范围，再由即可得的范围可判断B；由对数的运算可得，利用函数的单调性求出得范围可判断C；根据的范围即可得以及的范围可判断D，进而可得正确选项.
【详解】由可得：，，
对于A：，所以，故选项A正确；
对于B：，，
即，所以，
，即，
所以，所以，，故选项B正确；
对于C：，，
所以，令，
则在上单调递增，
所以，故选项C正确；
对于D：，，所以，，
所以，故选项D不正确，
故选：ABC.
11．定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A．是周期为2的函数 B．为偶函数
C． D．的值域为
【答案】BC
【分析】对求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对选项一一分析.
【详解】解：因为，所以，
在时，，
所以，所以，故在上单调递减．
因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；
又，所以函数关于直线对称，
所以在单调递增，且，
则，，
可得，是周期为的周期函数，A不正确．
因为，，结合草图可知
，C正确．
对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确
而的函数最值无法确定，故D错误．
故选：BC
12．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（ ）
A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【答案】ACD
【分析】求出圆锥母线l与底面圆半径r的关系，利用圆锥侧面展开图判断A；求出圆锥轴截面顶角的大小，计算判断B；求出圆锥外接球半径判断C；求出圆锥内切球半径，棱长为的正四面体外接球半径判断D作答.
【详解】依题意，，
对于A，当时，，，圆锥的侧面展开图，如图，
侧面展开图扇形弧长即为圆锥的底面圆周长，则，在中，由余弦定理得：
，即，A正确；
对于B，当时，有，令圆锥SO的轴截面等腰三角形顶角为，，
为钝角，令P，Q是圆锥SO的底面圆周上任意的不同两点，则，
则有的面积，当且仅当时取“=”，B不正确；
对于C，当时，，圆锥SO的外接球球心在直线SO上，圆锥的底面圆是球的截面小圆，而圆锥的高，
设外接球半径为R，则有，即，解得，其表面积为，C正确；
对于D，棱长为的正四面体可以补形成正方体，如图，
则正方体棱长，其外接球即正四面体的外接球直径为，球半径，
当时，，圆锥SO的内切球球心在线段SO上，圆锥的轴截面截内切球得大圆，是圆锥轴截面等腰三角形内切圆，
设其半径为，由三角形面积得：，解得，，
因此，半径为的球在圆锥SO内可以任意转动，
而棱长为的正四面体的外接球的半径为，
故棱长为的正四面体在半径为的球内可以任意转动，
所以当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
三、填空题
13．现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有_______________种．
【答案】
【分析】根据题意，可分为A与其他一人参加同一个项目和A独自一人参加一个项目，两种情况讨论，结合排列、组合和分类计数原理，即可求解.
【详解】若A与其他一人参加同一个项目，则有种；
若A独自一人参加一个项目，则有种，
由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案．
故答案为：
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
【答案】
【分析】分析可知，设，则，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果．
【详解】解：由题意得，设，则，.
过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，则，
因为，，，
所以，所以，
在中，由勾股定理得，
所以等腰梯形的面积为，所以.
所以，，方亭的高，
故方亭的体积为.
故答案为：
15．已知函数|，函数的图像与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐标为 ，则另一个交点的横坐标为__.
【答案】/
【分析】先求出解析式，问题转化为求两个零点的关系，列方程求解即可.
【详解】，令，则，即有
，所以.
函数的图像与x轴有两个交点，令，有，即，设两个交点的横坐标分别为a,b，则有，，∴，
得，即.
其中一个交点的横坐标为时，，由，解得.
所以另一个交点的横坐标为.
故答案为：
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】/
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用函数的图像，求出，通过函数的周期求出，经过，求出，即可求出的解析式；（2）利用，结合正弦定理，求出，利用函数的解析式的表达式，通过的范围求出函数的取值范围.
试题解析：（1）由图象知，，
将点代入解析式得，因为，所以，
所以.
（2）由得：，
所以，，
因为，所以，所以，，，
，，，所以，
所以.
18．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确；
（2）根据点面距的向量公式可求出结果.
【详解】（1）以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
所以，，.
设是平面的一个法向量，
则，令，得，，所以.
因为，所以，又因为平面，
所以平面.
（2）因为，，
设是平面的一个法向量，
则，令，得，所以.
所以点到平面的距离.
19．设函数（）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1） 当时，在上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增；
（2）.
【分析】（1）求导可得，因为，所以，讨论与的大小，化情况讨论的单调性即可；
（2）任意，恒有成立，所以求出在区间上的最值，再求的取值范围即可.
【详解】（1），
当，即时，在定义域上是减函数；
当，即时，令得或令得
当，即时，令得或令得
综上，当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，是最大值，是最小值；
，
，而，经整理得，
因为时，由对勾函数知单调递减，
所以时，单调递增，故得，所以
20．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；
（2）利用裂项相消求和可得答案.
【详解】（1）设数列的公差为，
∵成等比数列，∴，
即，
∴，由题意
故，得，
即.
（2），
∴
．
21．某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）．假设正、副队长分别将各自比赛的通知信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．
(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率；
(2)设辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为X，求X的分布列及其数学期望和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【分析】（1）分别求出队员甲没收到队长的通知信息和没收到副队长的通知信息的概率，再由相互独立事件的概率及对立事件的概率列式求解；
（2）由题意可得随机变量X可取值为3，4，5，6，利用古典概型求概率，列出分布列，再求期望和方差.
【详解】（1）设事件A为“辩论队员甲收到正队长的通知信息”，
则，．
设事件B为“辩论队员甲收到副队长的通知信息”，
则，．
所以，
所以辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率为．
（2）由题意可得随机变量X可能的取值为3，4，5，6，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
故数学期望，
方差．
22．已知函数．
(1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知当时，不满足；进而讨论当 时，存在唯一零点，当 时，单调递增，当 时， 单调递减，故，解得 ，最后利用求解；
（2）由题知，再令 得，故研究函数 性质得 在上有唯一的零点 ，且满足，进而得答案.
【详解】（1）解：当时，，不满足对任意实数，都有恒成立；
当时，，
令，则
所以函数单调递减，
由于，，
所以存在唯一零点，使得 ，
所以当时，单调递增，当 时，单调递减，
所以
令， ，
故在定义域内是的单调函数，
由于，
所以的解集为 ，
所以，即实数a的取值范围是
（2）解：当时，，
由，
所以，
所以，
令，则，即 ，
令
令
所以时，， 单调递减，时， ， 单调递增，
由于，
所以在上有唯一的零点 ，且满足 ，
所以，
所以，当且仅当 时等号成立.
【点睛】“隐零点”问题：求解导数压轴题时，如果题干中未提及零点或零点不明确，依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点.我们一般可对零点“设而不求”，通过一种整体的代换和过渡，再结合其他条件，从而最终解决问题．我们称这类问题为隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）．处理此类问题的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；
第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）邹平市名校2022-2023学年高二下学期期末质量检测
数学
2023.7
一、单选题
1．已知集合，则
A． B． C．（ D．）
2．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b等于
A． B． C．－2 D．
3．若向量，，，，且，则等于
A． B． C． D．
4．已知函数，且，则 的值（ ）
A．恒为正数 B．恒等于零
C．恒为负数 D．可能大于零，也可能小于零
5．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆C的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ）
A．
B．
C．新数据：的标准差为
D．新数据：的标准差为
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（ ）
A．是周期为2的函数 B．为偶函数
C． D．的值域为
12．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（ ）
A．当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题
13．现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有_______________种．
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
15．已知函数|，函数的图像与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐标为 ，则另一个交点的横坐标为__.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
四、解答题
17．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.
18．如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
19．设函数（）．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若对任意及任意，恒有成立，求实数的取值范围．
20．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
21．某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）．假设正、副队长分别将各自比赛的通知信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．
(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率；
(2)设辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为X，求X的分布列及其数学期望和方差．
22．已知函数．
(1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，若，求的最小值．
