河南省周口市川汇区周口恒大中学2022-2023学年高二下学期7月期末数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年高二下学期数学期末考试模拟卷
数学试题
试卷考试时间：120分钟 满分：150
第I卷（选择题）
单项选择题（每小题5分，共40分）
1．函数在点处的切线与轴平行，则点坐标为（ ）
A． B．
C．、 D．、
2．曲线在处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．32
4．设，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有 9 名采样工作人员全部分配到 3个采样点，每个采样点分配 3人，则不同的分配方法种数为（ ）
A．280 B．1680 C．5040 D．10080
6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
7．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
8．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．（多选）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是（ ）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在（4.1，4.7）的概率约为0.6826
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数小于4.5的概率与大于4.8的概率相等
10．已知，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知某厂生产一种产品的质量指标值X服从正态分布，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有（ ）
参考数据：，，，，.
A．1586件 B．1588件 C．156件 D．158件
12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在区间内单调递增
B．当时，函数取得极小值
C．函数在区间内单调递增
D．当时，函数有极小值
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是___________.（填序号）
①恒成立；
②；
③；
④；
⑤
14．函数，则曲线在处的切线方程为___________.
15．一条斜率为1的直线与曲线和曲线分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于_____．
16．记为一个位正整数，其中都是正整数，，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．根据上述定义，“四位重复数”的个数为________．
四、解答题（共6小题，共计70分.第17题10分，第18---22题，每题12分）
17．成都市都江堰猕猴桃闻名中外，每年月份猕猴桃大量上市．某猕猴桃企业计划种植红心猕猴桃，绿心猕猴桃两种猕猴桃品种，通过大量考察研究得到如下统计数据．红心猕猴桃的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：
年份
年份编号
单价（元/公斤）
绿心猕猴桃亩产量的频率分布直方图如图所示：
(1)若红心猕猴桃的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年红心猕猴桃的单价；
(2)利用上述频率分布直方图估计绿心猕猴桃的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；
参考公式：回归直线方程，其中，．
18．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印
有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元， 抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.
(1)单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；
(2)若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片.
①记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；
②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.
19．随着数字化信息技术的发展，网络成了人们生活的必需品，它一方面给人们的生活带来了极大的便利，节约了资源和成本，另一方面青少年沉迷网络现象也引起了整个社会的关注和担忧，为了解当前大学生每天上网情况，某调查机构对某高校男生、女生各50名学生进行了调查，其中每天上网时间超过8小时的被称为“有网瘾”，否则被称为“无网瘾”，调查结果如下：
有网瘾 无网瘾 合计
女生 10
男生 20
合计 100
(1)将上面的2×2列联表补充完整，再判断是否有99.9的把握认为“有网瘾”与性别有关，说明你的理由；
(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取2人参加座谈会，求这2个人恰有1人“有网瘾”的概率．
参考公式：，其中
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设是的两个零点，求证：.
21．已知函数，其中．求函数的单调区间．
22．1.2021年6月23日，交通运输部、国家邮政局、国家发展改革委、人力资源社会保障部、商务部、市场监管总局、全国总工会联合印发了《关于做好快递员群体合法权益保障工作的意见》，从保障合理的劳动报酬，完善社会保障、增强社会认同，压实快递企业主体责任，强化政府监管与服务四个方面，对切实保障快递员群体合法权益、促进快递业持续健康发展做出了部署．某大学生在某快递公司找到了一份临时派送大件快递的工作，有两种月工资方案供其选择，方案一，月固定工资1000元，每成功派送一单大件快递提成30元；方案二，月固定工资1000元，每月成功派送的前100单大件快递没有提成，超过100单的部分每成功派送一单大件快递提成80元.已知该大学生能干满一个月．
(1)分别求方案一和方案二的月工资y（单位：元）与该月成功派送大件快递数量n（，单位：单）的表达式；
(2)根据该快递公司所有派送大件快递的快递员10个月的成功派送记录，统计了月平均成功派送大件快递数量与月数的数据，如下表：
月平均成功派送大件快递数量/单 150 155 160 165 170
月数 2 3 2 2 1
由表格中的数据，分析该大学生选择哪种月工资方案比较合适，请说明理由．
试卷第6页，共6页
参考答案：
1．D
【分析】由出导函数，由=0，求得结论．
【详解】，，，，
所以点坐标为或．
故选：D．
2．D
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】，故曲线在处切线的斜率为.
故选：D
3．A
【分析】先求展开式中的一次项，二次项，三次项，再跟中相应的项乘积即可得展开式中含的项，进而得答案.
【详解】展开式的通项公式为为：，
所以展开式中的一次项为，二次项为，三次项为，
由于，
所以展开式中含的项为：，
故
故选：A.
【点睛】本题考查二项式定理求特定项的系数，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先求解出展开式中的一次项，二次项，三次项，进而求解.
4．B
【详解】f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
5．B
【分析】根据组合数公式，按照分配的方法，即可求解.
【详解】分配方法有种.
故选：
6．C
【分析】由，结合对称性可知，，从而求得的值．
【详解】解：随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，
故选：C．
7．B
【分析】依题意对，当时恒成立，，，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得的取值范围，即可得解.
【详解】因为，当时，都有，
即，即，
令，，则恒成立，
即在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，因为在上单调递减，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B
8．C
【分析】构造函数，不等式可转化为，根据判断F(x)的单调性即可求解不等式.
【详解】令，则，
∴在R上单调递减，又∵，
∴，即，
∴.
故选：C.
9．AC
【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可得出答案.
【详解】由，知，，由，
知，．
对于A，，故A正确；
对于B，由于，故乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B错误；
对于C，，
，显然，
所以乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C正确；
对于D，，
，
故D错误．
故选：AC.
10．ACD
【分析】由赋值法以及求导运算依次判断即可.
【详解】对于A，令可得，A正确；
对于B，对两边求导得，
令可得，B错误；
对于C，令得，令得，
两式相加得，则，C正确；
对于D，令可得，D正确.
故选：ACD.
11．AB
【分析】根据正太分布的对称性进行求解.
【详解】因为，而，
所以质量指标值不低于81.91的产品约有，
故选：AB
12．BC
【解析】利用的区间是增区间，使的区间是减区间，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对选项进行逐一判定.
【详解】对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；
对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，故D不正确.
故选：BC
【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．
13．②⑤
【分析】由导数的图象，分析原函数的图象，根据图象的单调性判断①②③选项，根据图象的凹凸性判断④⑤选项.
【详解】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．
选项①，导函数只能反映原函数的单调性，不能反映原函数的正负，故①错；
选项②表示与异号，即图象的割线斜率为负，故②正确，
选项③表示与同号，即图象的割线斜率为正，故③不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故④不正确，⑤正确．
故答案为:②⑤．
14．
【分析】求导之后，利用导数的几何意义可以求得切线的斜率，将切点横坐标代入函数解析式求得切点纵坐标，最后代直线点斜式方程化一般式即得所求
【详解】由题可知，所以，又，
故切线方程为：即.
故答案为：
15．
【详解】试题分析：因为，所以，，切点为，，，，切点，两点间距离公式得，这两点间的距离为，故答案为．
考点：1.利用导数求切点坐标；2.两点间距离公式．
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切点坐标、两点间距离公式，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：（1）已知切点求斜率,即求该点处的导数；（2）已知斜率求切点即解方程；（3）已知切线过某点（不是切点）求切点,设出切点利用求解．
16．.
【分析】分两种情况讨论：一是四个数位上的数字全部相同，二是个位、十位、百位上的数只有一个和首位的数相同，其他数位上的两个数相同，但与首位数不同，利用排列组合基本思想以及分类计数原理得出结果．
【详解】根据题意，可分以下两种情况讨论：
（1）四个数位上的数字全部相同，这样的四位数共有个；
（2）个位、十位、百位上的数只有一个和首位的数相同，其他数位上的两个数相同，但与首位数不同，可以将首位数字可以放在其它三个数位上任选一个位置上，另外两个数位上的数字需在其他九个数字中任选一个数即可，此时，这样的四位数共有个.
综上所述，由分类计算原理，可知“四位重复数”的个数为.
故答案为：.
17．(1)，年红心猕猴桃的单价约为元/公斤
(2)公斤
【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得出年红心猕猴桃的单价；
（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出绿心猕猴桃的平均亩产量.
（1）
解：，．
，
，故回归直线方程为，
当时，，故年红心猕猴桃的单价预计为元/公斤.
（2）
解：由频率分布直方图可知，绿心猕猴桃的平均亩产量为公斤.
18．(1)；
(2)①；②分布列详见解析，.
【分析】（1）可以看做是前三次中有一次是无奖金的，第四次肯定是有奖金的排序问题，而总体结果是随意排的，从而应用排列数求得对应的概率；
（2）①将问题用反面思维，求出不中奖的概率，用减法运算求得结果；②分析出X的所有可能的取值，并求得相应的概率值，列出分布列，利用公式求得期望.
（1）
（1）;
（2）
①;
②由题意可知可取的值为，，，，
则,,
,,
因此的分布列为
的数学期望是
.
19．(1)列联表见解析，有的把握认为“有网瘾”与性别有关；
(2).
【分析】（1）完善2×2列联表，计算的观测值，与临界值比对即可作答.
（2）对抽取的5人编号，利用列举法求出概率作答.
(1)
根据题意，列联表如下：
有网瘾 无网瘾 合计
女生 40 10 50
男生 20 30 50
合计 60 40 100
，
所以有的把握认为“有网瘾”与性别有关.
(2)
依题意，在“有网瘾”的男生中抽取（人），在“无网瘾”的男生中抽取（人），
记“有网瘾”的2名男生为，“无网瘾”的3名男生为，则从中取出2人的情况有：
，共10种，
其中，这2个人中恰有1人“有网瘾”的情况有：，共6种，
所以这2个人中恰有1人“有网瘾”的概率.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，通过讨论，时，结合函数有两个零点，可知 ，利用函数单调性可知，当时，原函数才有两个零点，求解即可；
（2）要证，即证，方法一：不妨设，由在单调递减，得，构造函，求导，利用基本不等式可得，则，结合，所以，所以，命题得证；方法二：不妨设，由在上单调递减，得，结合和，得 ，构造函数，则，则函数在上单调递减，所以，所以，可得，则，命题得证.
【详解】（1），
当时，，所以在上单调递增，不满足题意；
当时，令，可得，令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，有，，
又因为函数有两个零点，
所以，即，
所以，可得，
所以，
故实数a的取值范围是.
（2）要证，即证，
方法一：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，所以，即证，
令，
，
所以在上单调递增，又因为，
所以，即，
可得，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
方法二：下证，即证，
不妨设，由（1）可知，所以，
因为在上单调递减，即证，
因为，即证，
，
因为，所以，所以，
因为且，所以，令，
，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以，可得，
因为，所以，
所以，即，
又因为在上单调递减，所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数零点个数的方法，属于难题.
方法点睛：导数中常用的两种转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.
21．答案见解析.
【分析】的定义域为，求，分别讨论，，，时，解不等式和即可得函数的单调递增区间和单调递减区间.
【详解】由，可知函数的定义域为，
且（），
令，得或．
①当，即时，
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
②当，即时，
令，得或；令，得．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
③当，即时，恒成立，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间．
④当，即时，
令，得或；令，得．
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
22．(1)，，
(2)大学生应选择工资方案一，理由见解析
【分析】（1）根据题意建立函数解析式即可，注意方案二对n进行分类讨论，最后求得答案；
（2）由（1），算出两种方案每类运单量对应的月工资，进而算出期望，最后根据期望大小作出选择.
(1)
由题意知，方案一中，，．
方案二中，．
(2)
设，分别表示方案一和方案二中的月工资．
由（1）知，方案一中，当时，，则月工资为5500元的有2个月，
当时，，则月工资为5650元的有3个月，
当时，，则月工资为5800元的有2个月，
当时，，则月工资为5950元的有2个月，
当时，，则月工资为6100元的有1个月
所以
方案二中，当时，，则月工资为5000元的有2个月，
当时，，则月工资为5400元的有3个月，
当时，，则月工资为5800元的有2个月，
当时，，则月工资为6200元的有2个月，
当时，，则月工资为6600元的有1个月，
所以．
因为，
所以该大学生应选择工资方案一．
答案第13页，共14页