1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练习（含答案）

1.1.1 空间向量及其线性运算同步练习
一、单选题
1．当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
2．已知，，且，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
3．若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．给出下列命题：
①零向量没有方向；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量满足，则；
④若空间向量满足，则；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
5．已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．12
6．下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线 B．与共线
C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面
8．四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题中是真命题的为（ ）
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
10．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
11．如图，平面内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面外一点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
三、填空题
13．已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则__________.
14．在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
15．已知是三个不共面向量，已知向量则_________.
16．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为________．
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
(1)；
(2)；
(3).
18．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
19．已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值．
20．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
21．在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，求的值.
22．如图，棱柱的底面是平行四边形，M分所成的比为2∶1，N分所成的比为1∶2，设，试将表示成的关系式．
参考答案
1--8AAADA DDC
9．BD 10．BD 11．ABD 12．BCD
13．/22.5
14．/
15．
16．
17．（1）解：.
（2）解：因为是的中点，所以，又，
所以.
（3）解：
18．（1）
因为，
而，
又D为的中点，所以，
所以
．
（2）因为，
，
所以，
，所以．
所以四点共面．
19．因为、、共线，则存在使得，即，
所以，，
又因为，则.
20．，，，
，
，
因为、无公共点，故.
21．（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，
∴，
∴，，，∴.
（2）因为，且，，，
所以，即，
因为，，，共面，所以，即.
22．连接，则，
由已知得四边形为平行四边形，
故，又，
，
所以.