2023年天津市河东区普通高中学业水平合格性考试模拟数学试题（含解析）

2023年天津市河东区普通高中学业水平合格性考试模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域为
A．R B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．，
6．已知空间三条直线，，.若，，则（ ）
A．与平行 B．与相交
C．与异面 D．与平行、相交、异面都有可能
7．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．学校要从名候选人中选名同学组成学生会，已知候选人中有人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有名同学被选到的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是
A．112 B．128 C．145 D．167
11．已知，，则的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．8
12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变
13．如图，，两点分别在河的两侧，为了测量，两点之间的距离，在点的同侧选取点，测得，，米，则，两点之间的距离为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．200米
14．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
15．某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．
若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
16．函数的最小正周期是_________.
17．已知复数(为虚数单位),则____．
18．在中，若，，，则边上的高为___.
19．已知平面向量，的夹角为，满足，，则的值为______.
20．已知（a，），则的最小值为________．
三、解答题
21．已知是第三象限角，且.
(1)求，的值；
(2)求的值.
22．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，，，乙协会编号为，丙协会编号分别为，，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数；
(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；
(3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.
23．如图，正方体的棱长为2，E是的中点．
(1)证明：平面BDE；
(2)求三棱锥的体积．
24．已知函数满足：①的一个零点为2；②的最大值为1；③对任意实数都有.
(1)求，，的值；
(2)设函数是定义域为的单调增函数，且.当时，证明：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据交集的定义判断.
【详解】由已知，
故选：B．
2．A
【分析】用诱导公式和特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故选：A.
3．D
【详解】须满足3x-1>0,即其定义域为．
4．A
【分析】根据向量的坐标表示求解即可
【详解】由题意，
故选：A
5．B
【分析】分别判断出各个选项的奇偶性即可得到正确选项.
【详解】选项A：令，则定义域为，
则，则为奇函数.判断错误；
选项B：令，则定义域为R，
则，则是偶函数.判断正确；
选项C：定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误；
选项D：，定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误.
故选：B
6．D
【分析】根据线线关系举例可得答案.
【详解】如图，在长方体中，，，则与平行、相交、异面都有可能.
故选：D.
7．A
【分析】根据一元二次不等式求解的方法计算求解.
【详解】，解得，所以解集为.
故选：A
8．B
【分析】先求出从名候选人中选名同学的试验的基本事件总数，再求出甲班恰有名同学被选到的事件所含的基本事件数，借助古典概率公式即可得解.
【详解】从名候选人中选名同学的试验有个基本事件，它们等可能，
甲班恰有名同学被选到的事件A所含的基本事件的个数为，
由古典概率公式得，
所以甲班恰有名同学被选到的概率为.
故选：B
9．B
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
10．D
【解析】由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.
【详解】由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：
.
故选D.
【点睛】本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.
11．B
【分析】先求得x的值，再利用对数运算性质即可求得的值.
【详解】由，可得，
则
故选：B
12．C
【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可
【详解】将函数的图象上各点横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变，
得，即得到函数的图象，
故选：C
13．A
【分析】直接利用正弦定理和特殊角的三角函数的值的应用求出结果．
【详解】根据已知条件：，，米，
所以：，
利用正弦定理：则，
所以．
故选：．
【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理，特殊角的三角函数值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
14．C
【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】由于均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选：C
15．C
【分析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．
【详解】由频率分布直方图得：
甲地区，的频率为：，
，的频率为，
甲地区用户满意度评分的中位数，
甲地区的平均数．
乙地区，的频率为：，
，的频率为：，
乙地区用户满意度评分的中位数，
乙地区的平均数．
，．
故选：C．
16．
【分析】直接由周期公式得解．
【详解】函数的最小正周期是：
故填：
【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．
17．2
【分析】根据复数模的计算公式,即可求得答案．
【详解】复数(为虚数单位)
根据复数模的计算公式
．
故答案为:2．
【点睛】本题考查了复数求模,掌握复数模的计算公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.
18．/
【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高
【详解】在中，若，，，
则
设边上的高为h，则,
故答案为：
19．
【分析】根据条件即可求出，，从而根据即可求出答案．
【详解】因为向量，的夹角为，，，
所以，，
．
故答案为：．
20．9
【分析】根据，利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号.
所以的最小值为9.
故答案为：9
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
21．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出、，再根据两角差的正弦公式计算可得.
【详解】（1）因为是第三象限角，且，
所以，；
（2）由，
，
所以.
22．(1)答案见解析，15个样本点
(2)
(3).
【分析】（1）利用树形法写出样本空间中的样本点；
（2）根据古典概型概率定义计算；
（3）根据古典概型概率定义计算.
【详解】（1）共15个样本点；
（2）因为（1）中的15个样本点出现的可能性是相等的，
事件“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”包含的样本点有共9种，
故所求事件的概率.
（3）事件“两名运动员来自同一协会”包含的样本点有共4种，
故所求事件的概率.
23．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；
（2）利用三棱锥等体积转化，换成易求底面积与高的，从而求得三棱锥体积.
【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE，则
∵点O，E分别是，AC的中点，
∴
又∵面BDE，面BDE，
∴面BDE
（2）解：∵
又∵BC⊥面
∴点B到面的距离等于BC
∴
∴.
即三棱锥的体积为.
24．(1)，，；
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意得到关于，，的方程组，解得即可；
（2）依题意可得，即可得到，记，，…，，…，即可得到，取自然数，即可得到，即，从而得证.
【详解】（1）∵函数的一个零点为2，∴，即①，
又对任意都有，令，则，∴②，
∵的最大值为1，由上易知函数为二次函数，∴，即③，
由①②③得，解得，，；
（2）证明：由（1）知，，
∵，∴，
且，
∵的定义域为，∴，，∴，
∵是单调递增函数，∴，
记，，…，，…，
∴，同理，…，，…，
∵，∴，
∴，
∵，可取自然数，
∴，即，
∵，∴，
∴当时，.
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