遂宁市高中2022-2023学年高二下学期期末教学水平监测
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（5×12=60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B B C C D B C A D B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 40 14. 且 15. 16. 3
三、解答题
17. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以..................................................................2分
所以........................................................................................3分
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；...............................................4分
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为...................................................5分
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为
将点的坐标代入抛物线的标准方程得...........................................6分
此时，所求抛物线的标准方程为；................................................................7分
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，................................8分
此时，所求抛物线的标准方程为.....................................................................9分
综上所述，所求抛物线的标准方程为或........................................10分
【详解】（1）因为函数的图象过点,所以..1分
又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,
所以,........................................................................................3分
由解得,所以.......................................5分
（2）由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，..................................................7分
所以在单调递增，单调递减，单调递增，..............9分
根据函数在区间上单调递增，
则有或..................................................................................................11分
解得或......................................................................................................12分
【详解】【详解】（1）由题知
...............................5分
因为，所以认为相关变量有较强的相关性..............................................6分.
（2）由（1）得....10分.
回归方程为
当时，即2023年该公司投入研发人数约540人...............................12分.
20. 【详解】（1）列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12 4 16
女生 9 5 14
合计 21 9 30
................................3分..
，.............................................................5分
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；........6分
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则， ， ， ，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
......................................................................12分
21. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为1分.
又椭圆中，面积最大值，故.................................3分
所以椭圆的方程为：；............................................................................4分
设，由于直线过原点，则，.............................................5分
所以直线的斜率.................................................................7分
（3）由题设，可设直线l为且，联立椭圆方程，
整理得：，则，
所以，即且，
所以，，.....................................................8分
若存在使恒成立，则，.......................9分
由椭圆对称性，不妨令在轴上方且，显然，
所以，即，.............10分
所以，
即11分
综上，，
所以，存在使恒成立........................................................12分
【详解】（1）求导............................................................................1分
①当时，在上递增...........................................................................3分
②当时，在上递减，在上递增.....................5分
（2）①等价于有两个零点，
令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，
所以有两个零点，等价于有两个零点..........6分
因为 ，所以
当时，，单调递增，不可能有两个零点；
当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，
所以，
若，得，此时恒成立，没有零点；
若，得，此时有一个零点；
若，得，因为，，，
所以在，上各存在一个零点，符合题意，
综上，a的取值范围为..............................................................8分（方法不唯一）
②要证即证：，
即证，
由（2）中①知，，所以只需证.....................9分
因为，，所以，，
所以 ，只需证..10分
设，令， 则，所以只需证 即证 ，
令，，则 ，，
即当时， 成立...........................................................11分
所以，即.................12分（方法不一）遂宁市高中2022-2023学年高二下学期期末教学水平监测
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为
A．， B．，
C． ， D． ，
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为
A．10 B．16 C．11 D．26
6．“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度（单位：km/h）随时间（单位：）变换的函数关系为，，则在该时段内该单车爱好者骑行速度的最大值为
A． B． C． D．
7. 短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在
内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，
“丙得第三名”为，若是真命题，是假命题，
是真命题，则选拔赛的结果为
A. 甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名
B. 甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名
C. 甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名
D. 甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名
8．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课
程表，要求数学排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不
同排法种数是
A．720 B．192 C．180 D．144
已知圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则
A． B． C． D．8
10．若函数的最小值是，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．已，则
A． B． C． D．
12．已知椭圆C：的左右焦点分别为,点 是椭圆C上任意一点，且的取值范围为，当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．的展开式中的系数为 ▲ ．（用数字作答）
14．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ▲
15．设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ▲ ．
16．已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为 ▲
三、解答题（本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程.
▲
18．（12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
▲
19．（12分）党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源 创新是第一动力，深入实施科教兴国战略 人才强国战略 创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：
（1）根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
参考数据：，当认为两个变量间的相关性较强.
参考公式相关系数，回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
▲
（12分）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 5
合计 30
（2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
▲
（12分）已知椭圆与双曲线有
相同的焦点，为椭圆上一点，面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，若轴，垂足为.求证：直线的斜率；
（3）为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，为坐标原点.问：轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
▲
（12分）已知函数（是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.
▲
