人教版2023年八年级上册第11章《三角形》单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版2023年八年级上册第11章《三角形》单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1006.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-04 21:08:58 | ||
图片预览
文档简介
人教版2023年八年级上册第11章《三角形》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20
3．若中有一个外角是直角，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．一个多边形的内角和等于，那么它是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
5．如图，是的边上的高．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，、是的角平分线，并且、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的中线，点E为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
8．已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
9．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
12．在中，，，则的度数为____________度．
13．若n边形的外角和等于内角和，则边数______．
14．如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．
15．如图，则的度数为______．
16．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则＝_____°．
三、解答题（共52分）
17．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
18．（8分）如图，设为内一点，且，求证：．
19．（8分）如图，为的角平分线，为的高，交于点F，，，求的度数．
20．（8分）如图是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图中分别按要求画图：
(1)在图中画的中线；
(2)在图中画的高线．
(3)求出的面积．
21．（10分）（1）如图1，在中，的平分线和的外角平分线交于点，若，求的度数．
（2）如图2，在四边形中，的平分线和的外角平分线交于点，求的度数．
（3）如图3，若将（2）中“”改为“”，其余条件不变，直接写出与之间的数量关系．
22．（10分）（1）如图1，在直角三角形中，，，平分，点E是边上一点，且，则____________°；
（2）如图2，若为一般三角形，，平分，点E是边上一点，且，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）如图3，若为钝角三角形（为钝角，），，平分，点E是延长线上一点，且，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：选项中只有选项D是三角形组成，故具有稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
2．D
【分析】只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这三条线段能否组成一个三角形，据此可求得答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
D、，能组成三角形，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，掌握判定三条线段能否组成三角形的方法（只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这三条线段能否组成一个三角形）是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形的一个内角与相邻外角互补，即可求解．
【详解】解：∵其中有一个外角是直角，
∴有一个内角是直角，
∴是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角的定义以及三角形的分类，熟练掌握三角形外角的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意可以设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形内角和等于，
∴，
解得，．
即它是十三边形，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角定理，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据高的定义求出的度数，所以可求，利用三角形的外角即可求出的度数．
【详解】解：∵是的边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了高线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
6．B
【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：，
，
又、是的角平分线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是．
7．A
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
8．C
【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】∵三角形三边长分别为3，x，14，
∴．
∵x为正整数，
∴，
∴这样的三角形个数为5个．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
9．C
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外角和为算出的度数，再利用的内角和为，即可求出的度数．
【详解】∵五边形是正五边形，是一个外角，
∴，
∴在中，
故选C．
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，解题的关键在于熟知多边形外角和均为．
10．D
【分析】根据定义，计算判定即可．
【详解】∵，，
∴，
故①正确；
∵，
∴是“灵动三角形”，
故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴是“灵动三角形”，
故③正确；
∵为“灵动三角形”， ，
∴或或，
∵，
∴，舍去；
时，
∴，
∴；
时，
根据题意，得，
解得，
故，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确分类，灵活计算是解题的关键．
11．/
【分析】设第三边为，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设第三边为，
已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
12．
【分析】设,根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为是解本题的关键．
13．4
【分析】根据边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
【详解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理，
14．18
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长为16，
，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
15．
【分析】根据三角形外角的性质可得的关系，的关系，然后根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质、四边形的内角和等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角之和是解答本题的关键．
16．
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解.
【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴，
∴，
同理，，
，
…
,
当时，，
（度）
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键.
17．(1)
(2)8
【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，得出，，再利用绝对值的性质化简即可；
（2）将数据代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴，，
∴
；
（2）解：当时，原式．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 ．
18．见解析
【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出．
【详解】证明：延长交于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
19．
【分析】由为的高得，由三角形内角和定理得，由为的角平分线得到，由三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵为的高，
∴，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
即的度数为．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用网格特点找出的中点D，连接即可；
（2）延长，利用网格特点作于E，则即为所求；
（3）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：的中线如图所示：
（2）解：的高线如图所示：
（3）解：．
【点睛】本题考查了三角形的中线、高线，三角形面积公式，熟练掌握网格特点是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，，则由三角形外角的性质可得；
（2）如图所示，延长交延长线于F，求出，则由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得；
（3）同（2）求解即可．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴．
∴．
（2）如图所示，延长交延长线于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴．
∵，，
∴；
（3）如图所示，延长交延长线于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
22．（1）30；（2）；（3）成立，见解析．
【分析】（１）如图1，，可得，由内角和可求，根据外角定理求，于是．
（2）如图，由，得，由外角定理，，于是；
（3）如图，由，得，由外角定理得，所以．
【详解】解：（1）如图1，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
（2）如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理，角平分线的定义，结合图形及定理，确定角之间的数量有关系是解题的关键．
一、选择题（共30分）
1．下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，5，7 B．3，4，7 C．7，4，1 D．15，8，20
3．若中有一个外角是直角，则一定是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．一个多边形的内角和等于，那么它是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形
5．如图，是的边上的高．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，、是的角平分线，并且、交于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的中线，点E为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
8．已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
9．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（我们规定）．①的度数为；②是“灵动三角形”；③若，则是“灵动三角形”；④当为“灵动三角形”时，为或．结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围_____．
12．在中，，，则的度数为____________度．
13．若n边形的外角和等于内角和，则边数______．
14．如图，是的中线，，．若的周长为16，则周长为__________．
15．如图，则的度数为______．
16．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则＝_____°．
三、解答题（共52分）
17．（8分）已知a，b，c是三角形的三边长．
(1)化简；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
18．（8分）如图，设为内一点，且，求证：．
19．（8分）如图，为的角平分线，为的高，交于点F，，，求的度数．
20．（8分）如图是的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，请在图中分别按要求画图：
(1)在图中画的中线；
(2)在图中画的高线．
(3)求出的面积．
21．（10分）（1）如图1，在中，的平分线和的外角平分线交于点，若，求的度数．
（2）如图2，在四边形中，的平分线和的外角平分线交于点，求的度数．
（3）如图3，若将（2）中“”改为“”，其余条件不变，直接写出与之间的数量关系．
22．（10分）（1）如图1，在直角三角形中，，，平分，点E是边上一点，且，则____________°；
（2）如图2，若为一般三角形，，平分，点E是边上一点，且，求的度数（用含的代数式表示）；
（3）如图3，若为钝角三角形（为钝角，），，平分，点E是延长线上一点，且，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；如果不成立，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：选项中只有选项D是三角形组成，故具有稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
2．D
【分析】只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这三条线段能否组成一个三角形，据此可求得答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，此选项不符合题意；
D、，能组成三角形，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，即三角形的任意两边之和大于第三边，掌握判定三条线段能否组成三角形的方法（只要检验两条较短线段长度的和是否大于第三条线段的长就可以判断这三条线段能否组成一个三角形）是解题的关键．
3．A
【分析】根据三角形的一个内角与相邻外角互补，即可求解．
【详解】解：∵其中有一个外角是直角，
∴有一个内角是直角，
∴是直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外角的定义以及三角形的分类，熟练掌握三角形外角的定义是解题的关键．
4．D
【分析】根据题意可以设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形内角和等于，
∴，
解得，．
即它是十三边形，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角定理，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据高的定义求出的度数，所以可求，利用三角形的外角即可求出的度数．
【详解】解：∵是的边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了高线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
6．B
【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：，
，
又、是的角平分线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是．
7．A
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
8．C
【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】∵三角形三边长分别为3，x，14，
∴．
∵x为正整数，
∴，
∴这样的三角形个数为5个．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
9．C
【分析】是正五边形的一个外角，利用多边形外角和为算出的度数，再利用的内角和为，即可求出的度数．
【详解】∵五边形是正五边形，是一个外角，
∴，
∴在中，
故选C．
【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，解题的关键在于熟知多边形外角和均为．
10．D
【分析】根据定义，计算判定即可．
【详解】∵，，
∴，
故①正确；
∵，
∴是“灵动三角形”，
故②正确；
∵，
∴，，
∵，
∴是“灵动三角形”，
故③正确；
∵为“灵动三角形”， ，
∴或或，
∵，
∴，舍去；
时，
∴，
∴；
时，
根据题意，得，
解得，
故，
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确分类，灵活计算是解题的关键．
11．/
【分析】设第三边为，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设第三边为，
已知三角形的两边长分别为和，则第三边的取值范围是，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边是解决问题的关键．
12．
【分析】设,根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为是解本题的关键．
13．4
【分析】根据边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
【详解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理，
14．18
【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
的周长为16，
，
，
，
，
．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
15．
【分析】根据三角形外角的性质可得的关系，的关系，然后根据多边形的内角和公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质、四边形的内角和等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角之和是解答本题的关键．
16．
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解.
【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴，
∴，
同理，，
，
…
,
当时，，
（度）
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键.
17．(1)
(2)8
【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，得出，，再利用绝对值的性质化简即可；
（2）将数据代入求值即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴，，
∴
；
（2）解：当时，原式．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边，两边的差小于第三边 ．
18．见解析
【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出．
【详解】证明：延长交于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
19．
【分析】由为的高得，由三角形内角和定理得，由为的角平分线得到，由三角形外角的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵为的高，
∴，
∵，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴．
即的度数为．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用网格特点找出的中点D，连接即可；
（2）延长，利用网格特点作于E，则即为所求；
（3）根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：的中线如图所示：
（2）解：的高线如图所示：
（3）解：．
【点睛】本题考查了三角形的中线、高线，三角形面积公式，熟练掌握网格特点是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，，则由三角形外角的性质可得；
（2）如图所示，延长交延长线于F，求出，则由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得；
（3）同（2）求解即可．
【详解】解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴．
∴．
（2）如图所示，延长交延长线于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴．
∵，，
∴；
（3）如图所示，延长交延长线于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
22．（1）30；（2）；（3）成立，见解析．
【分析】（１）如图1，，可得，由内角和可求，根据外角定理求，于是．
（2）如图，由，得，由外角定理，，于是；
（3）如图，由，得，由外角定理得，所以．
【详解】解：（1）如图1，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
（2）如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理，角平分线的定义，结合图形及定理，确定角之间的数量有关系是解题的关键．