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试卷类型：B
江门市2023年普通高中高二调研测试（二)
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
5.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1,某运动员射击一次所得环数5的分布列如表所示，则
P(5≥9)=
8
9
10
A.0.69
B.0.67
C.0.66
D.0.64
0.36
0
0.33
2.若4=42(n∈W),则C=
A.30
B.20
C.35
D.21
3.在回归分析中，下列判断正确的是
A.回归直线不一定经过样本点的中心
B.样本相关系数r∈[0，
C.相关系数1越接近1，拟合效果越好
D.相关系数r越小，相关性越弱
4.己知f(x)=x"(m∈Q,且m≠0)，若f(-1)=-2,则m=
A.2
B.-2
C.3
D.-3
5.若直线x-y+3=0与圆x2+y2-2x+2-a=0相切，则a=
A.9
B.8
C.7
D.6
6.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与
导数之间的重要联系，是微积分学平要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定
理”的核心，其内容如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(@，b)内
可导，则(a,b)内至少存在一个点∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f(b-a),其中
高二数学试题第1页（共6页)
x=x称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.请问函数f(x)=5x3-3x在
区间[-1，]上的“中值点”的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
7.将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个
学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A.60种
B.120种
C.240种
D.480种
8.设T,为数列{an}的前n项积，若an+2a+=0,n∈N且42-4=192，当T,取得最小值时，
则h=
A.8
B.9
C.10
D.11
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.己知随机变量X服从正态分布N(2,4)则
AP(K≤3)>)
aP1sX到P5sxs3】
cP0sx}=P1sx》
D.X的方差为2
10.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型
Y=bx+a+e,
E(e)=0,D(e)=o2得到线性
回归模型y=x+a,对应的残差如图所示，则残差模型
A.满足回归模型E(e)=0的假设
残差
B.不满足回归模型E(e)=0的假设
5
●
4
e
2
C.满足回归模型D(e)=σ2的假设
516
◆
2.0
略10
D.不满足回归模型D(e)=o2的假设
-2
中单
-3
11.已知函数f(x)=e+ex,则
A.f(x)的图像是轴对称图形
B.f(x)的单调递减区间是(0，+o)
C.f(x)的极值小值为2
D.f(x)的极人值为2
高二数学试题第2页（共6页）江门市 2023 年普通高中高二调研测试（二）
数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C A A B C B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2分。
题号 9 10 11 12
答案 AB BD AC ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
题号 13 14 15 16
1 7
答案 5 1.96 (3分)；196 (2分)
e 18
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1） a2 6,a4 20，
b a 2 a 3,b 42 4 5，……………………2 分（各 1 分）2 4
数列 bn 是等差数列，b2 3,b4 5，
数列 bn 的公差为1，首项为 2，………………………3 分
数列 bn 的通项公式是bn n 1，…………………5 分
a
（2） b nn n 1n
an n(n 1)，………………6 分
1 1 1 1
an n(n 1) n n
7
1，……………… 分
1 1 1 1 1 1 1 n
数列 的前 n项和 Sn 1 1 .………10 分
an 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
1
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
18.（1）证明： 平面 ABCD 平面 PCD，平面 ABCD 平面 PCD CD，
AD 平面 ABCD， AD DC，......................1 分
AD 平面 PCD，.................2 分
又 PC 平面 PCD ,..................3 分
AD PC .........................4 分
（2）解法（一）过点 P分别作PE DC , PF AB ,垂足为点 E， F ，
连结 PE于，DE，EF ， PF 和 AF ，........................................5 分
平面 ABCD 平面 PCD，平面 ABCD 平面 PCD CD，
PE 平面 PCD， PE DC ，..............................6 分
PFE为二面角 P AB C的平面角，..............8 分
在 Rt PEF 中， PE 3， EF AD 2，
tan PFE PE 3 ,..................10 分
EF 2
2 7
cos PFE .........................11 分
7
故平面 PAB与平面 ABC 2 7所成的夹角的余弦值为 ......................12 分
7
解法（二）在平面 PCD内过点D作DH DC ,且交 PC于H ，
平面 ABCD 平面 PCD，
平面 ABCD 平面 PCD CD，
AD 平面 ABCD，
DH DC，
DH 平面 PCD，.................5 分
如图,以D为坐标原点，DA,DC,DH 所在直线分别为 x轴，
y轴， z轴，建立空间直角坐标系D xyz ,..............6 分
则D(0,0,0)， P(0, 1, 3) , A(2,0,0) , B(2,1,0) ,C(0, 2,0) ..................7 分
易知平面 ABC的一个法向量为 n (0,0,1) ,.............................8 分
设平面 PAB的一个法向量为m (x, y, z) ,
2
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
PA (2,1, 3) , AB (0,1,0) ,
m PA 2x y 3z 0 ,.........................................9 分
m AB y 0
取 z 2 ,则m ( 3,0, 2) ...........................................10 分
设平面 PAB与平面 ABC的夹角的为 ,
n m
cos cos 2 2 7 n,m .............................11 分
n m 7 7
故平面 PAB 2 7与平面 ABC所成的夹角的余弦值为 ......................12 分
7
19.解:(1)零假设为H0 :喜爱足球运动与性别相互独立，即喜爱足球运动与性别无关，.....1 分
2 200 (60 80 20 40)
2
33.33 10.28 x0.001，..................................3 分80 120 100 100
依据小概率值 0.001 2的 独立性检验，推断H0不成立，
即能认为喜爱足球运动与性别有关，此论断犯错误的概率不超过0.001......................5 分
(2)由题意得 X 的可能取值为 0,1,2, ...................................................6 分
X 0,即 A C A C ,
P(X 0) 1 2 1 1 , ........................................................7 分
2 3 2 6
X 1,即 A B A C , A B C A, A C A B,
A C B A, A C B C ,
P(X 1) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 11 , ......................8 分
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 18
X 2, A B A B,A B C B,
P(X 2) 1 2 1 1 1 1 2 , ..................................................9 分
2 3 2 2 3 3 9
3
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
X 的分布列：
X 0 1 2 ............................................10 分
1 11 2
P 6 18 9
E X 0 1 11 2 19 1 2 . ......................................................12分
6 18 9 18
7 7 2
20.解：（1）由 t 2.46, y 38.86, ti t yi y 80.97, ti t 3.78，
i 1 i 1
7
ti t yi y
b i 1 80.97有 2 21.427
3.78
…………2 分
ti t
i 1
a y b t 38.86 21.42 2.46 -13.8 …………4 分
所以模型②中 y关于 x的回归方程为 y 21.4 x -13.8 …………5 分
182.42 74.12
2 2
（2）由表格中的数据，有 182.42>74.12，即 7 7 y y y y ，…………7 分i i
i 1 i 1
模型①的决定系数 R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好…………9 分（只是判断模型②
刻画的拟合效果更好，没有根据数据说明，得 2分）
若要使年收益增量超过 80 万元，则令 21.4 x 13.8 80，………10 分
x 93.8得 4.4即 2 ，………11 分
21.4 x 4.4 19.36
人工投入增量至少需要 20 人.………12 分
21.解：(1)若 a 1， f (x) e2x e x x ,定义域为 ( , ) ,.................1 分
f ' (x) 2e2 x e x 1 (2e x 1)(e x 1) ,...................................2 分
令 f ' (x) 0，则 x 0，令 f ' (x) 0，则 x 0，..........................3 分
故 f (x)的单调递增区间为 (0, )，单调递减区间为 ( ,0) .................4 分
(2) f ' (x) 2ae2 x (a 2)e x 1 (2e x 1)(ae x 1) ，.......................5 分
若 a 1，
令 f ' (x) (2e x 1)(ae x 1) 0 ，解得 x ln a，.........................6 分
当 x ( , ln a)时， f ' (x) 0 ,
当 x ( ln a, )时， f ' (x) 0 ,.........................................7 分
所以 f (x)在 ( , ln a)上单调递减, f (x)在 ( ln a, )上单调递增,....................8 分
1
当 x ln a时， f (x)取得最小值， f (x) )的最小值为 f ( ln a) 1 ln a ,............9 分
a
若 f (x)有零点,则有 f (x)min 0 ,
当 a 1时，
f ( ln a) 0，故 f (x)只有一个零点,...............................................10 分
当 a (1, )时,
4
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
1 1 0, ln a 0 ,故 f (x)没有零点,.................................................11 分
a
综上所述，当 a 1时， f (x)有一个零点；当 a (1, )时， f (x)没有零点...............12 分
22.解：(1) 双曲线 y2 1 x2 的焦距为 2c 2，
2
c 1，........................................................1 分
e c 2 ， a 2 ，.......................................2 分
a 2
a2 b2 c2 ， a2 2，b2 1，................................3 分
x2
故椭圆C的方程为 y2 1.....................................4 分
2
(2)解法（一）设D(x1, y1),E(x2 , y2 ) ，
当直线 l的斜率不存在时，则直线 l的方程为 x 1，..................5 分
x2
y2 1
由 2 解得D( 1, 2 ),E( 2 1, ) ，.......................6 分
x 1 2 2
S AEF a c y 2 2 1 ( 1) 3 2 2 ；...................7 分
S BDF a c y1 2 1
当直线 l的斜率存在时，则直线 l的方程为 y k (x 1)，
x2
y2 1
由 2 消去 x得， (2k 2 1)y2 2ky k 2 0 ，
y k (x 1)
y y 2k
2
由韦达定理得 1 2 y
k
2 , 1y2 , .......................8 分2k 1 2k 2 1
y2 (y y )2 (t 1)2 4
设 t(t 1)y ，则
1 2 2 ,......................9 分
1 y1y2 t 2k 1
2
k 2 (0, (t 1) 4 )， ( 4,0) ,...........................10 分
t 2k 2 1
4 (t 1)
2
由 0 ,解得 3 2 2 t 1或 1 t 3 2 2 ，............11 分
t
S AEF a c y2 2 1 t (17 12 2,3 2 2) (3 2 2,1) ，
S BDF a c y1 2 1
综上所述， AEF与 BDF 的面积之比的取值范围为 (17 12 2,1) .....12 分
(2)解法（二）设D(x1, y1),E(x2 , y2 ) ，
设直线 l的方程为 x my 1，...........................................5 分
5
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
x2
y2 1 2 2
由 2 消去 x得， (m 2)y 2my 1 0，
x my 1
y y 2m 1由韦达定理得 1 2 2 , y1y2 2 , .....................8 分m 2 m 2
y 2 2 2
设 2 t (y ，则 1 y2 ) (t 1) 4m 2 ,............................9 分y1 y1y2 t m 2
2 2
m2 [0, ) (t 1) 4m， 2 ( 4,0] ,..........................10 分t m 2
(t 1)2
由 4 0 ,解得 3 2 2 t 3 2 2 ，.......................11 分
t
S
AEF
a c y2 2 1 t (17 12 2,1) ，
S BDF a c y1 2 1
综上所述， AEF与 BDF 的面积之比的取值范围为 (17 12 2,1) ..................12 分
6
{#{QQABSYSAogAIAAJAAAACAwniCkAQkhACCAgGgAAUIEAASBFABCA=}#}
