江西省龙南中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题（含 解析）

高二数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知，，则可表示不同的值的个数为（　　）
A．8 B．12
C．10 D．9
2．已知为等差数列，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．直线l的方向向量为，，是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出的是（ ）
A． B．
C． D．以上均不能
4．坐标轴与圆的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．设，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（ ）
A．若，则该方程无解
B．若，则该方程有一个实数根
C．若，则该方程有两个实数根
D．若，则该方程有四个实数根
二、多选题（每题5分，共20分）
9．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是的前n项和，，，则（ ）
A． B．
C． D．是以3为周期的周期数列
11．已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义域为的函数的导函数为，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共20分）
13．函数在处的导数为________．
14．在正项等比数列中，，则数列的前10项和为______.
15．已知函数，则的极小值为______．
16．将数列中的项排成下表：
，
，，，
，，，，，，，
…
已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.
四、解答题（共70分）
17．已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
19．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．

(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
(2)求的余弦值．
20．一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作.
(1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率；
(2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：
方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元.
方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？
21．已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．已知函数．
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；
(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由
1．D
因为从集合中任取一个值共有种情况，从集合中任取一个值共有种情况，
故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，
所以可表示不同的值有个．
故选：D.
2．A
设等差数列的公差为，则，
故，故，
故选：A.
3．D
对于A项，若，则或，故A项错误；
对于B项，若，则或，故B项错误；
对于C项，若，则或，故C项错误；
故选：D.
4．C
圆，即圆，
所以圆，半径，
因为圆心到轴的距离为1，且，
所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，
因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，
所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，
综上坐标轴与圆有3个交点，
故选：C
5．B
由抛物线的准线方程为，焦点，
因为抛物线上一点的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.
故选：B.
6．C
在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，于是，
即有，向量是平面的一个法向量，
，则，而，
于是，因为平面，则，
即，化简得，即，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
7．C
解：由，
令，则，
所以在上递增，则，即，
则，即；
令，则，
所以在上递增，则，即，
则，即，
故选：C
8．C
函数的定义域为，
当时，，
时，，单调递减，
且此时当趋近于0时，趋近于，故，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
则时，，
而时，，
故可得的图象如图所示：

令，则方程化为，
对于A，时，，即方程无实根，
故无实根，从而方程无实根，故A正确；
对于B，时，方程即为，
即，所以，则，由的图象可知，
此方程只有一个实根为，故B正确；
对于C，由得，此为关于的对勾函数，
在时单调递增，在时单调递减，
图象如图所示：

时或，由函数的图象可知，
当时，方程有两个实根，
不妨设，则有，，
则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；
对于D，时，方程有两个实根，
不妨设，则有，，
则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.
故选：C
9．BD
设等比数列、的公比分别为、，其中，，
对任意的，，，
对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，
但对任意的，，
故数列不是等比数列，A不满足条件；
对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；
对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；
对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.
故选：BD.
10．ABD
由已知可得，，，，，，
所以，是以3为周期的周期数列.
对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项正确；
对于C项，因为的周期为3，
所以，，，
所以，，故C项错误；
对于D项，由解析可知，是以3为周期的周期数列，故D项正确.
故选：ABD.
11．ABC
因为等比数列的公比为，，
，
则，，即，
所以，，
所以，，故A正确，B正确；
所以，
，故C正确，D错误．
故选：ABC．
12．BC
令，则，所以函数在上单调递增.
因为，所以，即，所以，，故A错误.
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
所以，即，所以，故B正确.
令，则.
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，所以，
所以，即，故C正确.
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故D错误.
故选：BC
13．
因为，
所以.
故答案为：
14．10
由等比数列的性质，得，
所以数列的前10项和为.
故答案为：10
15．
函数的定义域为，
，
令，即，得，
令，即，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故当时，函数取得极小值，极小值为．
故答案为: .
16．1344
解：∵(且)，
∴，即，
∴数列的通项公式为，（且），
观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项，
，∴在表中第8行第3列，
∵，且，∴公差；
∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为
故答案为：1344．
17．(1)或
(2)或
（1）圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圆D的方程为或
18．(1)证明见解析；
(2).
（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.
19．(1)，；坐标系见解析
(2)．
（1）因为，平面，所以平面．

又平面，平面，所以，．
又，所以，所以直线，，两两垂直，
以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
易得，，，
所以点D、G的坐标分别为， ．
（2）因为，所以，
，，
在中，，
即的余弦值为．
20．(1)；
(2)答案见解析.
（1）当时，每台设备能正常工作的概率为：，
所以一天内制冰厂不亏本的概率为；
（2）若不采取措施，设总损失为，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，
故元；
设方案1、方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，
故元；
采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，
故元，
又，且，
因此，从期望损失最小的角度，当时，可以选择方案1或2；
当时，选择方案2；
当时，采取方案1.
21．(1)
(2)
（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴，即，
∴当时，
，
又不满足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
① ②得：，
整理得，
又因为对任意的正整数，恒成立，所以，
∵，
∴在上单调递增，，
由，可得，
所以实数的取值范围是.
22．(1)
(2)证明见解析
(3)有条，理由见解析
（1）已知，函数定义域为R，
可得，
若函数在时取得极值，
此时，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是极大值点，满足条件，
综上所述，；
（2）由知，，，
函数在处取得极小值，且，
而，
当时，恒成立，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为；
（3）当时，，
此时点不在函数的图象上，
不妨设过的切线的切点为，
可得，
因为，
所以，
又，
整理得，
要求过点与曲线相切的直线有几条，
即求关于的一元三次方程的实数根的个数问题，
不妨设，
因为，
所以在，，内各有一个实数根，
又因为在实数范围内最多有三个根，
则有三个不相同的实数根，
所以过点与曲线相切的直线有条．