数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量的线性运算（共33张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量的线性运算（共33张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-04 22:52:34 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
1.1.1 空间向量及其线性运算
NEW
2023 / 07
第 1 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
Topic. 01
01复习回顾
学习目标
1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量
的概念，发展数学抽象素养；
2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
A
B
C
D
2、几何表示法:用有向线段表示。
3、字母表示法：
用小写字母a、b等表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母 表示。
复习回顾：平面向量
4、几类特殊的空间向量
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量
（1）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0
（2）单位向量：模长为1的的向量叫单位向量
（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量，a的相反向量，记为－a
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
a (k>0)
k
a (k<0)
k
向量的数乘
a
首尾相接,首尾连
共起点,对角线
共起点,连终点,指向被减向量
复习回顾：向量的线性运算
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
复习回顾：向量的线性运算
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
情境导入
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.
这需要进一步来认识空间中的向量
各个力的大小怎么表示呢？
Topic. 02
02空间向量的有关概念
空间向量的有关概念
起点
终点
定义：
既有大小又有方向的量。
长度（模）
向量的大小，记作
表示
几何表示法：有向线段
符号表示法：
任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
空间向量的有关概念
a
b
a
b
O
A
B
Topic. 02
03空间向量的加减运算
空间向量的加减运算
a + b
a
b
A
B
b
C
O
a - b
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
（2）空间向量加法运算律
⑴加法交换律：
a + b = b + a；
⑵加法结合律：
(a + b) + c =a + (b + c)；
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
空间向量的加减运算
空间向量的加减运算
对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
C
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
例2
Topic. 03
03空间向量的数乘运算
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；
③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
相反
|λ||a|
(λμ)a
λa＋λb
λ1a＋λ2a
空间向量的数乘运算
例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
A
B
E
C
F
D
例2.空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：
(2)原式
Topic. 04
04共线向量
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于
直线l上任意一点P，可知 ＝λa，把与向量a平行的非零
向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
a＝λb
方向向量
共线向量
3、点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式____________在直线l上取向量＝a，则＝＋t
典例1
∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD
和ABEF都是平行四边形，
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，
使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的
线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否
存在实数λ，
Topic. 05
06 共面向量
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA_______ 或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
平行于
平面α
在平面α内
唯一
p＝xa＋yb
共面向量
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)__________
(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到
P，A，B，C四点共面的是（ ）
BC
如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
四点共面→有公共起点的三个向量共面
分析：可以通过证明这四点构成的
三个向量共面，来证明这四点共面.
典例3
证明:
·
作业
A
M
C
G
D
B
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
课堂小结
1.1.1 空间向量及其线性运算
NEW
2023 / 07
第 1 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
Topic. 01
01复习回顾
学习目标
1.经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量
的概念，发展数学抽象素养；
2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
3.掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
4.借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
复习回顾：平面向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
A
B
C
D
2、几何表示法:用有向线段表示。
3、字母表示法：
用小写字母a、b等表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母 表示。
复习回顾：平面向量
4、几类特殊的空间向量
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量
（1）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0
（2）单位向量：模长为1的的向量叫单位向量
（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量，a的相反向量，记为－a
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
a (k>0)
k
a (k<0)
k
向量的数乘
a
首尾相接,首尾连
共起点,对角线
共起点,连终点,指向被减向量
复习回顾：向量的线性运算
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
复习回顾：向量的线性运算
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
情境导入
这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.
这需要进一步来认识空间中的向量
各个力的大小怎么表示呢？
Topic. 02
02空间向量的有关概念
空间向量的有关概念
起点
终点
定义：
既有大小又有方向的量。
长度（模）
向量的大小，记作
表示
几何表示法：有向线段
符号表示法：
任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
空间向量的有关概念
a
b
a
b
O
A
B
Topic. 02
03空间向量的加减运算
空间向量的加减运算
a + b
a
b
A
B
b
C
O
a - b
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
（2）空间向量加法运算律
⑴加法交换律：
a + b = b + a；
⑵加法结合律：
(a + b) + c =a + (b + c)；
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
空间向量的加减运算
空间向量的加减运算
对空间向量的加法、减法的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 满足 ，则 ；
（3）在正方体 中，必有 ；
（4）若空间向量 满足 ，则 ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
C
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
例2
Topic. 03
03空间向量的数乘运算
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；
③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
相反
|λ||a|
(λμ)a
λa＋λb
λ1a＋λ2a
空间向量的数乘运算
例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
G
M
A
B
E
C
F
D
例2.空间四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的中点,化简：
(2)原式
Topic. 04
04共线向量
1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使
.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于
直线l上任意一点P，可知 ＝λa，把与向量a平行的非零
向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示.
a＝λb
方向向量
共线向量
3、点P在直线l上的充要条件
存在实数t满足等式____________在直线l上取向量＝a，则＝＋t
典例1
∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD
和ABEF都是平行四边形，
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，
使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的
线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否
存在实数λ，
Topic. 05
06 共面向量
1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA_______ 或 ，那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
平行于
平面α
在平面α内
唯一
p＝xa＋yb
共面向量
三个向量共面的充要条件：向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x，y)__________
(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到
P，A，B，C四点共面的是（ ）
BC
如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使
求证：E，F，G，H四点共面
四点共面→有公共起点的三个向量共面
分析：可以通过证明这四点构成的
三个向量共面，来证明这四点共面.
典例3
证明:
·
作业
A
M
C
G
D
B
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
课堂小结