广东省清远市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检测数学试题（Word版含答案）

清远市2022~2023学年第二学期高中期末教学质量检测
高 二 数 学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知函数f(x)=ex-2x,则f'(2)=
A.e2-4 B.e2-2 C.e2+e D.e2+2
2.已知随机变量ξ~N(5,σ2),若P(3≤ξ≤7)=0.4,则P(ξ>7)=
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
3.为提高学生的身体素质,某校开设了游泳和篮球课程,甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加,则不同的选法共有
A.5种 B.6种 C.8种 D.9种
4.已知x和y之间的几组数据如下表:
x -2 -1 0 1 2
y 5 4 2 2 1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为=-x+,则预测当x=5时,y=
A.-0.2 B.-0.8 C.-1.2 D.-2.2
5.袋子中有5个大小相同的小球,其中3个白球,2个黑球,每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到黑球的概率为
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=ln x+ax2-3x在(,3)上单调递增,则a的取值范围为
A.[,+∞) B.(0,]
C.[,+∞) D.(0,]
7.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献,很好地展示了国际形象,增进了国际友谊.现有6支救援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排1支救援队,其中A受灾点至少需要2支救援队,则不同的安排方法种数是
A.180 B.320 C.345 D.360
8.已知直线y=kx+b与函数f(x)=x2+ln x的图象相切,则k-b的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a
则
A.a= B.a= C.E(X)= D.D(X)=
10.已知f'(x)为函数f(x)的导函数,若函数y=f'(x)-1的图象大致如图所示,则
A.f(x)有3个极值点
B.x=-4是f(x)的极大值点
C.x=0是f(x)的极大值点
D.f(x)在(0,4)上单调递增
11.已知(1-x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则
A.a0=1
B.a1+a2+a3+…+a9=0
C.a1+a3+a5+a7+a9=-256
D.2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2
12.已知a=-1,b=ln ,c=,则
A.a>b B.a>c C.c>b D.b>c
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(-2x)6展开式中的常数项为　　▲　　.(用数字作答)
14.已知随机变量X~B(3,),则D(X)=　　▲　　.
15.如图,在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面,墙面与底面垂直.在t=0 s时,木棒的端点B以0.5 m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动,端点A向下沿直线运动,则端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为　　▲　　m/s.
16.某校举行了足球比赛,每个球队都和其他球队进行一场比赛,每场比赛获胜的球队得2分,失败的球队得0分,平局则双方球队各得1分,积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队),但该球队的胜场数比其他球队都要少,则参加比赛的球队数最少为　　▲　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
为了提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响,为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查,得到下表:
体育锻炼 性别 合计
男生 女生
喜欢 280 p 280+p
不喜欢 q 120 120+q
合计 280+q 120+p 400+p+q
在本次调查中,男生人数占总人数的,女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.
(1)求p,q的值;
(2)依据α=0.001的独立性检验,能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 10.828
18.(12分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C=csin A.
(1)求C的大小;
(2)若a>2,且b-c=1,求△ABC周长的最小值.
19.(12分)
如图,将三棱锥A-BCD的侧棱AB放到平面α内,AC⊥CB,AB⊥BD,AC=CB,AB=BD,平面ABC⊥平面ABD.
(1)证明:平面ACD⊥平面BCD.
(2)若AB=2,平面ABD与平面α夹角的正切值为,求平面ACD与平面α夹角的余弦值.
20.(12分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1,集合A={k|Sm=log2ak,m∈N*,k∈N*}.
(1)求集合A;
(2)若bn=求数列{bn}的前30项和.
21.(12分)
已知A(-2,0)是椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点,过点D(1,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点(异于点A),当直线l的斜率不存在时,|PQ|=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求△APQ面积的取值范围.
22.(12分)
已知函数f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x.
(1)若m=0,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1x2<1.
清远市2022~2023学年第二学期高中期末教学质量检测
高二数学参考答案
1.B　因为f(x)=ex-2x,所以f'(x)=ex-2,则f'(2)=e2-2.
2.C　因为ξ~N(5,σ2),P(3≤ξ≤7)=0.4,所以P(ξ>7)==0.3.
3.C　根据分步乘法计数原理可知,不同的选法共有23=8种.
4.D　==0,==2.8,则=2.8,故预测当x=5时,y=-2.2.
5.A　记事件A为第1次摸到白球,事件B为第2次摸到黑球,则P(A)==,P(AB)==,则P(B|A)===.
6.C　因为f(x)=ln x+ax2-3x,所以f'(x)=+2ax-3=.由f(x)在(,3)上单调递增,得2ax2-3x+1≥0,即a≥-+=-(-)2+在(,3)上恒成立,从而a≥.
7.D　若6支救援队按1,1,4分成3组,则不同的安排方法种数是·=30,若6支救援队按1,2,3分成3组,则不同的安排方法种数是=240,若6支救援队按2,2,2分成3组,则不同的安排方法种数是·=90,故不同的安排方法种数是360.
8.B　设切点坐标为P(x0,+ln x0),因为f(x)=x2+ln x,所以f'(x)=x+,则切线方程为y-(+ln x0)=(x0+)(x-x0),即y=(+x0)x-+ln x0-1,故k-b=+x0+-ln x0+1.令g(x)=x2+x+-ln x+1,x>0,则g'(x)=x+1--==.当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,故g(x)min=g(1)=,从而k-b的最小值为.
9.ACD　由+a+=1,解得a=,E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=.故选ACD.
10.ABD　由图可知,当x∈(-∞,-4)时,f'(x)>0;当x∈(-4,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,4)时,f'(x)>0;当x∈(4,+∞)时,f'(x)<0.故选ABD.
11.ACD　令x=0,则a0=1.令x=1,则a0+a1+a2+…+a9=0,则a1+a2+a3+…+a9=-1.令x=-1,则a0-a1+a2-…-a9=29,则2(a1+a3+a5+a7+a9)=-29,则a1+a3+a5+a7+a9=-28=-256.令x=2,则a0+2a1+22a2+…+29a9=-1,从而2a1+22a2+23a3+…+29a9=-2.故选ACD.
12.ABC　令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f()>f(0),则--1>0,故-1>>.令g(x)=ln x-(x-),则g'(x)=--=-≤0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,则g()13.240　(-2x)6展开式的通项为()6-r(-2x)r=(-2)rx3r-12,令r=4,得(-2x)6展开式中的常数项为240.
14.　因为X~B(3,),所以D(X)=3××(1-)=.
15.　设端点A运动的路程为s,所以(3-s)2+=9,因为t=2 s,所以3-s>0,所以s=3-,则s'=,当t=2 s时,s'=,即端点A在t=2 s这一时刻的瞬时速度为 m/s.
16.6　假设得分最多的球队为甲队,设甲队胜n场平m场,则甲队的总得分为2n+m,由已知条件可知,其余各队至少胜n+1场,得分不少于2(n+1),则2n+m>2(n+1),则m>2,即甲队至少平3场.若乙队与甲队踢成平局,则乙队的得分至少为2(n+1)+1,则2n+m>2(n+1)+1,则m>3,即甲队至少平4场.若参加比赛的球队数为5,则甲队总得分为4分,其他4个球队每个球队至少胜1场比赛,则其他4个球队中必有球队得分不低于4分,不符合题意.若参加比赛的球队数为6,且他们的得分如下表:
甲 乙 A B C D 得分
甲 - 1 1 1 1 2 6
乙 1 - 2 0 0 2 5
A 1 0 - 0 2 2 5
B 1 2 2 - 0 0 5
C 1 2 0 2 - 0 5
D 0 0 0 2 2 - 4
符合题意,故参加比赛的球队数最少为6.
17.解:(1)由题可知 2分
解得p=180,q=120. 5分
(2)零假设为H0:学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联. 6分
根据列联表及(1)中数据,经计算得到χ2=≈7.609<10.828=x0.001. 8分
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0成立,即学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联. 10分
18.解:(1)因为acos C=csin A,所以sin Acos C=sin Csin A. 2分
又sin A≠0,所以cos C=sin C,即tan C=. 4分
又C∈(0,π),所以C=. 6分
(2)由(1)知cos C==,则a2+b2-c2=ab. 7分
因为b-c=1,所以c=,则b=. 8分
△ABC的周长为a+b+c=a+=3a+3+=3[(a-2)+]+9. 10分
因为a>2,所以a-2+≥2,当且仅当a=2+时,等号成立. 11分
故△ABC周长的最小值为9+6. 12分
19.(1)证明:因为平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AB⊥BD,所以BD⊥平面ABC. 2分
又AC 平面ABC,所以BD⊥AC. 3分
因为AC⊥BC,BD∩BC=B,所以AC⊥平面BCD. 4分
又AC 平面ACD,所以平面ACD⊥平面BCD. 5分
(2)解:记点D在平面α内的投影为E,连接BE,DE,取AB的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=2,平面ABD与平面α夹角的正切值为,
所以DE=,BE=, 6分
则A(1,0,0),D(-1,,),C(0,-,), 7分
从而=(-2,,),=(-1,-,). 8分
设平面ACD的法向量为m=(x0,y0,z0),则令y0=,得m=(5,,3). 9分
平面α的一个法向量为n=(0,0,1). 10分
cos===,故平面ACD与平面α夹角的余弦值为. 12分
20.解:(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1. 1分
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1. 3分
因为a1=1=20,所以an=2n-1. 4分
由Sm=log2ak,得log22k-1=2m-1,即k=2m, 5分
故A={k|k=2m,m∈N*}. 6分
(2)由(1)可知,bn= 8分
集合A中不大于30的元素有2,4,8,16, 9分
则数列{bn}的前30项和T30=+2+23+27+215-1-3-7-15=33315. 12分
21.解:(1)由题可知,a=2. 1分
当直线l的斜率不存在时,由|PQ|=3,得+=1,则b2=3, 3分
故椭圆C的方程为+=1. 4分
(2)法一:当直线l的斜率不存在时,△APQ的面积S=×3×[1-(-2)]=. 5分
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立方程组消去y整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 6分
则x1+x2=,x1x2=. 7分
|PQ|==, 8分
点A到直线l的距离d=, 9分
则△APQ的面积S=|PQ|d==. 10分
因为k2>0,所以0<<,
则0<--+1<1,0<<. 11分
综上所述,△APQ面积的取值范围为(0,]. 12分
法二:依题意可设直线l的方程为x=ty+1,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立方程组消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0, 5分
则y1+y2=-,y1y2=-. 6分
|PQ|==. 7分
点A到直线l的距离d=, 8分
则△APQ的面积S=|PQ|d==. 9分
因为≥1,所以3+≥4,所以0<≤. 11分
故△APQ面积的取值范围为(0,]. 12分
22.(1)解:因为m=0,所以f(x)=ex+x-xln x,f'(x)=ex+1-ln x-1=ex-ln x, 1分
则f(1)=e+1,f'(1)=e, 2分
故f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0. 4分
(2)证明:因为f(x)=ex+m+(m+1)x-xln x,所以f'(x)=ex+m+m+1-ln x-1=ex+m+m-ln x. 5分
由f(x)有两个极值点x1,x2,得方程ex+m+m-ln x=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
即方程xex=(ln x-m)=ln =ln 有两个不相等的正实数根x1,x2. 7分
令g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex.当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0.
由xex=ln ·有两个不相等的正实数根x1,x2,可得x=ln ,即m=ln x-x有两个不相等的正实数根x1,x2. 8分
由m=ln x1-x1=ln x2-x2,得=1.
要证x1x2<1,只需证<,即证<. 9分
不妨令00. 10分
令h(t)=2ln t-t+,0则h(t)>h(1)=0,从而x1x2<1. 12分