椭圆基础题
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解析几何——椭圆精炼专题
选择题： 1．椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5． 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A． B． 2 C． D． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
7． 已知＜4，则曲线和有（ ）
A． 相同的短轴 B． 相同的焦点 C． 相同的离心率 D． 相同的长轴
8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ） A．9 B．12 C．10 D．8
9．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的（ ） A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．过点M（－2，0）的直线M与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
填空题 13．椭圆的离心率为，则 ．
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ．
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 ．
三、解答题
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
20．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．
21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程
椭圆练习题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
A
B
D
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、 17、
18、解：（1）当A(2,0)为长轴端点时，a=2 , b=1，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
19．解：设P（x，y），根据题意，|PF|=,d=|x-8|,因为=,所以= .化简，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，点P的轨迹是椭圆。
20. 解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为=1,设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y，得：=1,化简，整理，得：
(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,
所以，x1,x2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为,所以x1+x2=— = -1,解得，a2=75.于是，因为c=5,所以，b2=25，所以椭圆的方程为=1.
解法二：设椭圆：（a＞b＞0），则a2-b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
21.解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,
Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②
由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1
选择题： 1．椭圆的焦距是（ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5． 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A． B． 2 C． D． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
7． 已知＜4，则曲线和有（ ）
A． 相同的短轴 B． 相同的焦点 C． 相同的离心率 D． 相同的长轴
8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（ ） A．9 B．12 C．10 D．8
9．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的（ ） A．4倍 B．5倍 C．7倍 D．3倍
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．过点M（－2，0）的直线M与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．－
填空题 13．椭圆的离心率为，则 ．
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ．
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 ．
三、解答题
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
20．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．
21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程
椭圆练习题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
A
B
D
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、 17、
18、解：（1）当A(2,0)为长轴端点时，a=2 , b=1，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
19．解：设P（x，y），根据题意，|PF|=,d=|x-8|,因为=,所以= .化简，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，点P的轨迹是椭圆。
20. 解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为=1,设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y，得：=1,化简，整理，得：
(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,
所以，x1,x2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为,所以x1+x2=— = -1,解得，a2=75.于是，因为c=5,所以，b2=25，所以椭圆的方程为=1.
解法二：设椭圆：（a＞b＞0），则a2-b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
21.解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,
Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②
由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1