1.3 勾股定理的应用
第一课时
一、单选题
1.如图,测得楼梯的长为5米,高为3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少是( )
A.4米 B.5米 C.7米 D.10米
2.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,则BC边上的高AD为( )
A.8 B.9 C. D.10
3.如图,由于受台风的影响,一颗大树在离地面6 m处折断,顶端落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前的高度是( )
A.8m B.10m C.16m D.18m
4.一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行,离开港口3小时后,则两船相距( )
A.36海里 B.48海里 C.60海里 D.84海里
5.如图,将一根长为24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( )
A.12cm≤h≤19cm B.12cm≤h≤13cm
C.11cm≤h≤12cm D.5cm≤h≤12cm
6.如图,在水池的正中央有一根芦苇,池底长10尺,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,则这根芦苇的高度是( )
A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺
7.如图,圆柱的高为8cm,底面半径为cm,一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食,要爬行的最短路程是( )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
8.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行( )
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
二、填空题
9.已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm、8cm,则它的斜边的中线长________cm.
10.我国古代数学名著《九章算术》中有云:“今有木长二丈,围之三尺.葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?”大意为:有一根木头长2丈,上、下底面的周长为3尺,葛生长在木下的一方,绕木7周,葛梢与木头上端刚好齐平,则葛长是______尺.(注:l丈等于10尺,葛缠木以最短的路径向上生长,误差忽略不计)
11.某楼梯如图所示,欲在楼梯上铺设红色地毯,已知这种地毯每平方米售价为30元,楼梯宽为2m,则购买这种地毯至少需要_____元.
12.如图,学校需要测量旗杆的高度.同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段.同学们首先测量了多出的这段绳子长度为,然后将这根绳子拉直,当绳子的另一端和地面接触时,绳子与旗杆的底端距离恰好为,利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ .
13.如图,一只蚂蚁从长为9cm、宽为5cm,高是7cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所走的最短路线的长是________cm.
三、解答题
14.如图,从电线杆离地面12m处向地面拉一条长为13m的钢缆,则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为_____.
15.如图,圆柱形容器高为16cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少?
16.如图,一架6.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时BO为2.5m.如果将梯子的低端B外移1.4m,顶端A沿着墙壁也下滑1.4m吗
第二课时
一、单选题
1.如图,一木杆在离地某处断裂,木杆顶部落在离木杆底部8米处,断落的木杆与地面形成角,则木杆原来的长度是( )
A.8米 B.米 C.16米 D.24米
2.一帆船先向正西航行24千米,然后向正南航行10千米,这时它离出发点有( )千米.
A.26 B.18 C.13 D.32
3.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为尺,则可列方程为( )
A. B.
C. D.
4.如图,有两棵树分别用线段AB和CD表示,树高AB=15米,CD=7米,两树间的距离BD=6米,一只鸟从一棵树的树梢(点A)飞到另一棵树的树梢(点C),则这只鸟飞行的最短距离AC=( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.12米
5.如图所示,是长方形地面,长,宽,中间整有一堵砖墙高,一只蚂蚁从A点爬到C点,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走( )
A.20 B.24 C.25 D.26
6.如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是( )
A. B. C. D.
7.如图,已知ABCD是长方形纸片,,在CD上存在一点E,沿直线AE将折叠,D恰好落在BC边上的点F处,且,则的面积是( ).
A. B. C. D.
8.学习勾股定理后,老师布置的课后作业为“利用绳子(绳子足够长)和卷尺,测量学校教学楼的高度”,某数学兴趣小组的做法如下:①将绳子上端固定在教学楼顶部,绳子自由下垂,再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处,在绳子与地面的交点处将绳子打结;②将绳子继续往外拉,使打结处离教学楼的距离为6m,此时测得绳结离地面的高度为 1m,则学校教学楼的高度为( )
A.11 m B.13 m C.14 m D.15 m
9.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底墙到左墙角的距离为1.5m,顶端距离地面2m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面0.7m,那么小巷的宽度为( )
A.3.2m B.3.5m C.3.9m D.4m
10.如图,一个梯子斜靠在一竖直的墙上,测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米,这时梯子的底端也恰好外移米,则梯子的长度为 ( )
A.米 B.米 C.米 D.米
11.一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为、、,和是这个台阶两个相对的端点,点有一只蚂蚁,想到点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为( )
A. B. C. D.
12.图1是我国著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形所围成.将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点,,,,并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和,则图2中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段,中间一段AB恰好与地面平行,大树顶部落在离大树底部6m处,则大树折断前的高度是_____.
14.小明向正东走80m后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m回到原地,小明向东走80m后是向__________方向走的60m.
15.如图,小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸,开始时绳子的长为17米,小明以1米每秒的速度收绳,7秒后船移动到点的位置,问船向岸边移动了______米(的长)(假设绳子是直的).
16.如图,小明家(A)在小亮家(B)的正北方,某日,小明与小亮约好去图书馆(D),一小明行走的路线是A→C→D,小亮行走的路线是B→C→D,已知,,,,已知小明骑自行车速度为a km/分钟,小亮走路,速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发,若小明在路上遇到小亮,则带上小亮一起去图书馆,为了使小亮能坐上小明的顺风车,则a的取值范围是________。
17.在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________°
18.如图,在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2,则∠1+∠2=_____.
19.棱长分别为的两个正方体如图放置,点,,在同一直线上,顶点在棱上,点是的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点,它爬行的最短距离是__________.
三、解答题
20.有一块边长为12米的正方形绿地,如图所示,在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米),由于居住在A处的居民践踏了绿地,小明想在A处树立一个标牌“少走▇米,踏之何忍?”请问:小明在标牌▇填上的数字是多少?
21.如图,圆柱底面半径为,高为,点、分别是圆柱两底面圆周上的点,且、在同一母线上,用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点,求这根棉线的长度最短.
22.如图,小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处,小红家位于小明家北米(米)、东米(米)点处.
(1)求小明家离小红家的距离;
(2)现要在公路上的点处建一个快递驿站,使最小,请确定点的位置,并求的最小值.
23.《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何 题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点和点距离门槛都为1尺(1尺=10寸),则的长是多少
24.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,梯子顶端到地面的距离为2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离为1.5米.
(1)梯子的长是多少?
(2)求小巷的宽.
25.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风中心沿东西方向由行驶向,已知点为一海港,且点与直线上的两点,的距离分别为,,又,以台风中心为圆心周围以内为受影响区域.
(1)求的度数.
(2)海港受台风影响吗?为什么?
(3)若台风的速度为千米/小时,当台风运动到点处时,海港刚好受到影响,当台风运动到点时,海港刚好不受影响,即,则台风影响该海港持续的时间有多长?
26.中国机器人创意大赛在哈尔滨开幕.如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4m,又往北走1.5m,遇到障碍后又往西走2m,再转向北走4.5m处往东一拐,仅走0.5m就到达了B.问机器人从点A到点B之间的距离是多少?
27.(1)如图1,长方体的底面边长分别为3m和2m,高为1m,在盒子里,可以放入最长为_______m的木棒;
(2)如图2,在与(1)相同的长方体中,如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C,那么所用细线最短需要______m;
(3)如图3,长方体的棱长分别为AB=BC=6cm,假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行,同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲
28.如图所示,A、B两块试验田相距200m,C为水源地,AC=160m,BC=120m,为了方便灌溉,现有两种方案修筑水渠.
甲方案:从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B;
乙方案;过点C作AB的垂线,垂足为H,先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处,再从H分别向A、B进行修筑.
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程);
(2)两种方案中,哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明.
第一课时答案
一、单选题
C.C.C.C.C.D.C.B.
二、填空题
9.5.
10.29.
11.420.
12.12.
13.15.
三、解答题
14.解:在Rt△ABC中BC=12,AC=13,AB2+BC2=AC2
∴AB2=AC2-BC2=132-122=25
∴AB=5
答:地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5米.
15.解:如图所示,
∵圆柱形玻璃容器,高16cm,底面周长为24cm,
∴BD=12cm,,AD=16
∴AB==20.
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm.
16.解:根据题意可知OD=2.5+1.4=3.9m
∴在Rt△ABO中,根据勾股定理知,m
在Rt△CDO中,根据勾股定理知,m
∴下滑的距离=6-5.2=0.8m
故题意中的说法错误,即顶端A沿着墙壁下滑的距离为0.8m.
第二课时答案
一、单选题
B.A.D.C.D.A.B.C.C.A.B.B
二、填空题
13.10m.
14.正北或正南.
15.9.
16.
17.50°.
18.45°.
19.
三、解答题
20.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,
∴AB=(米),
∴少走的距离为AC+BC AB=(12+5) 13=4(米)
答:小明在标牌▇填上的数字是4.
21.解:圆柱体的展开图如图所示:用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是:AC→CD→DB;
即在圆柱体的展开图长方形中,将长方形平均分成3个小长方形,A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短;
∵圆柱底面半径为 cm,
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长:cm;
又∵圆柱高为9cm,
∴小长方形的一条边长是3cm;
根据勾股定理求得AC=CD=DB==5cm;
∴AC+CD+DB=15cm;
故棉线的最短长度为.
22.解:(1)如图,连接AB,
由题意知AC=500,BC=1200,∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000,
∵AB>0
∴AB=1300米;
(2)如图,作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B交MN于点P.
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B,
由题意知AD=200米,A'C⊥MN,
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米,
在Rt△A'BC中,
∵∠ACB=90°,
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000,
∵A'B>0,
∴A'B=1500米,
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米.
23.解:取AB的中点O,过D作DE⊥AB于E,如图2所示:
由题意得:OA=OB=AD=BC,
设OA=OB=AD=BC=r寸,
则AB=2r(寸),DE=10寸,OE=CD=1寸,
∴AE=(r1)寸,
在Rt△ADE中,
AE2+DE2=AD2,即(r1)2+102=r2,
解得:r=50.5,
∴2r=101(寸),
∴AB=101寸.
24.(1)在中,
∵,米,米,
∴.
∴(米).
答:梯子的长是2.5米
(2)在中,
∵,米,,
∴,
∴.
∵,
∴米.
∴米.
答:小巷的宽度为2.7米.
25.(1),,,
,
是直角三角形,
∴∠ACB=90°;
(2)海港受台风影响,
过点作,
是直角三角形,
,
,
,
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域,
海港受台风影响.
(3)当,时,正好影响港口,
,
,
台风的速度为千米/小时,
(小时)
答:台风影响该海港持续的时间为小时.
26.过点B作BCAD于C,
所以AC=4﹣2+0.5=2.5m,BC=4.5+1.5=6m,
在直角△ABC中,AB为斜边,则m,
答:机器人从点A到点B之间的距离是m.
27.(1)最长的为斜对角线:=;
(2)这根细线的长为:=;
(3)设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时,昆虫乙从顶点A按路径A→E→F,爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟,如图1在Rt△ACF中,
∵x>0,解得:
答:昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲.
28.解:(1)△ABC是直角三角形;
理由如下:
∴AC2+BC2=1602+1202=40000,AB2=2002=40000,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;
(2)甲方案所修的水渠较短;
理由如下:
∵△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积=AB CH=AC BC,
∴CH=(m),
∵AC+BC=160+120=280(m),CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(m),
∴AC+BC<CH+AH+BH,
∴甲方案所修的水渠较短.