八年级数学上册试题 1.3 勾股定理的应用同步练习-北师大版（含答案）

1.3 勾股定理的应用
第一课时
一、单选题
1．如图，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少是（ ）
A．4米 B．5米 C．7米 D．10米
2．如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为（　 　）
A．8 B．9 C． D．10
3．如图，由于受台风的影响，一颗大树在离地面6 m处折断，顶端落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前的高度是（　　　　）
A．8m B．10m C．16m D．18m
4．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（　　）
A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里
5．如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
6．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
7．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
8．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
二、填空题
9．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm、8cm，则它的斜边的中线长________cm．
10．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
11．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要_____元．
12．如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ．
13．如图，一只蚂蚁从长为9cm、宽为5cm，高是7cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是________cm．
三、解答题
14．如图，从电线杆离地面12m处向地面拉一条长为13m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为_____．
15．如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为多少？
16．如图，一架6.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO为2.5m.如果将梯子的低端B外移1.4m，顶端A沿着墙壁也下滑1.4m吗
第二课时
一、单选题
1．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成角，则木杆原来的长度是（　）
A．8米 B．米 C．16米 D．24米
2．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
5．如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
6．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
8．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　）
A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
10．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米.若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 （ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（ ）
A． B． C． D．
12．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边(如)向外延长1倍得到点，，，，并连结得到图2.已知正方形与正方形的面积分别为和，则图2中阴影部分的面积是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是_____．
14．小明向正东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明向东走80m后是向__________方向走的60m．
15．如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了______米（的长）（假设绳子是直的）．
16．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是________。
17．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________°
18．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=_____．
19．棱长分别为的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是__________．
三、解答题
20．有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？
21．如图，圆柱底面半径为，高为，点、分别是圆柱两底面圆周上的点，且、在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，求这根棉线的长度最短．
22．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
23．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺=10寸），则的长是多少
24．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．
（1）梯子的长是多少？
（2）求小巷的宽．
25．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．
（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
26．中国机器人创意大赛在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4m，又往北走1.5m，遇到障碍后又往西走2m，再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了B．问机器人从点A到点B之间的距离是多少？
27．（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒；
（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m；
（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲
28．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
第一课时答案
一、单选题
C．C.C．C．C．D．C．B．
二、填空题
9．5．
10．29．
11．420．
12．12．
13．15．
三、解答题
14．解：在Rt△ABC中BC=12，AC=13，AB2+BC2=AC2
∴AB2=AC2-BC2=132-122=25
∴AB=5
答:地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为5米．
15．解：如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴BD＝12cm，，AD=16
∴AB＝＝20．
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm．
16．解：根据题意可知OD=2.5+1.4=3.9m
∴在Rt△ABO中，根据勾股定理知，m
在Rt△CDO中，根据勾股定理知，m
∴下滑的距离=6-5.2=0.8m
故题意中的说法错误，即顶端A沿着墙壁下滑的距离为0.8m.
第二课时答案
一、单选题
B．A．D．C．D．A．B．C．C．A.B．B
二、填空题
13．10m．
14．正北或正南．
15．9．
16．
17．50°．
18．45°．
19.
三、解答题
20.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝（米），
∴少走的距离为AC＋BC AB＝（12＋5） 13＝4（米）
答：小明在标牌▇填上的数字是4．
21.解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为 cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：cm；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB==5cm；
∴AC+CD+DB=15cm；
故棉线的最短长度为．
22.解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
23.解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE=CD=1寸，
∴AE=（r1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸．
24.（1）在中，
∵，米，米，
∴．
∴（米）．
答：梯子的长是2.5米
（2）在中，
∵，米，，
∴，
∴．
∵，
∴米．
∴米．
答：小巷的宽度为2.7米．
25.（1），，，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港受台风影响，
过点作，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响．
（3）当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
26.过点B作BCAD于C，
所以AC=4﹣2+0．5=2．5m，BC=4．5+1．5=6m，
在直角△ABC中，AB为斜边，则m,
答：机器人从点A到点B之间的距离是m．
27.（1）最长的为斜对角线：=；
（2）这根细线的长为：=；
（3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中，
∵x>0，解得：
答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲．
28.解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB CH＝AC BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．