北师大版数学九年级上册1.2矩形的性质与判定暑期自主学习基础训练题（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
暑期自主学习基础训练题（附答案）
一、单选题
1．关于矩形性质，下列说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．既是轴对称图形，也是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
2．如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（ ）
A． B． C．4 D．5
3．如图，在矩形中，，相交于点O．若，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
4．如图，点E在矩形边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，E是边上的一点，将沿所在直线折叠，点C落在边上，落点记为F，过点F作交于点G，连接．若，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C．20 D．10
6．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．10 B．5 C． D．
7．如图，平行四边形中，，平分，交于E，交于点N，交于点F，点M为中点，则＝（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
8．如图，平行四边形添加一个条件_____使得它成为矩形．（任意添加一个符合题意的条件即可）
9．如图，过矩形的对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积与矩形的面积的大小关系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）
10．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为_________
11．如图，矩形和矩形中，，．连接，是的中点，那么的长是______．
12．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则________．
13．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于E，若，则为________．
14．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____．
三、解答题
15．图①、②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1，点A、B在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中画出一个以AB为边的等腰直角三角形ABC；
(2)在图②中画出一个以AB为边的矩形ABCD，并直接写出矩形ABCD的面积．
16．如图，在矩形中，O是与的交点，过O的直线分别与的延长线交于点E，F．当与满足什么条件时，四边形是菱形？请给出证明．
17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且是等边三角形．
(1)证明：平行四边形是矩形；
(2)若，求矩形的面积．
18．如图，在中，过点A作于点E，延长BC至点F使得，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求AD的长．
19．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点B落在上的点M处，将边沿折叠，使点D落在上的点N处．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
20．在长方形中，，，点E是AD边上的一点，将沿折叠，点A的对应点为点F，射线与线段交于点G．

(1)如图1，当E点和D点重合时，求证：；
(2)如图2，当点F正好落在矩形的对角线上时，求的长度；
(3)如图3，连接，若，求的面积．
参考答案
1．解：∵矩形的四个角都是直角，
∴A选项正确，不符合题意；
∵矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
∴B选项正确，不符合题意；
∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴C选项不正确，符合题意；D选项正确，不符合题意．
故选：C．
2．解：∵在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
∴；
故选A．
3．解：∵四边形为矩形．
∴，，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
故选：B．
4．解：连接，如图所示，
四边形是矩形，
．
，
．
是等腰三角形．
，
，
故选A．
5．解：由折叠可知：，，，
则在矩形中，，，，
，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积是：，
故选A．
6．解：由折叠和矩形的性质可知，，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
解得：，
∴；
故选：A．
7．解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
同理可证：，
∴．
∵，点M为中点，，
∴．
故选：B．
8．解：，
理由是：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
9．解：∵四边形是矩形，
又∵对角线上一点K分别作矩形两边的平行线与，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积的面积的面积，
∴．
故答案为．
10．解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．解：如图所示，延长交于，
∵矩形和矩形中，，，
∴，，
∴点是的中点，点是的中点，
∴，，
在中，，
如图所示，连接，则是矩形的对角线，是矩形的对角线，
∴是矩形的对角线，是矩形的对角线，
∴，是等腰直角三角形，且是的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，
∴的长是，
故答案为：．
12．解：连接，
由题意可知，的垂直平分线段，
，
四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
，
又，
在中，，
，
，
在和中，
，
≌ ，
，
故答案为：．
13．解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴， ∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为．
14．解：如图所示，连接，
∵矩形中，，，分别是的中点，
∴，
∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒，
∴，
当为顶点的四边形为矩形时，则，
∴①，解得，；
②，解得，；
综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形，
故答案为：或．
15．（1）解：等腰直角三角形ABC如图所示．
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴AB=BC，∠BAE=∠CBF，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，则∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：以AB为边的矩形ABCD如图所示．
矩形ABCD的面积为4×2=8．
16．解：当时，四边形是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
在与中，，
∴；
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
17．解：（1）∵是对角线，的交点，
∴，．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴是矩形．
（2）∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴．
则．
∴矩形的面积为．
18．（1）证明：∵，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）知，四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
19．（1）解：四边形是矩形，
，，
．
由折叠的性质可得，，
又，
，
，
四边形是平行四边形；
（2），，，
由勾股定理得：，
由图形折叠可得，
，
设，则，，
，
，即是直角三角形，
由勾股定理得：，
解得：，
．
20．（1）证明：四边形是矩形，
，
，
由折叠得：，
，
；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠知：，，，
，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（3）如图，作于M，交AB于N，

，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，