北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定暑期自主学习基础训练题（含答案）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
暑期自主学习基础训练题（附答案）
一、单选题
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
2．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
3．如图正方形ABCD中以CD为边向外作等边三角形CDE，连接AE、AC，则∠CAE度数为(　　)
A．15° B．30° C．45° D．20°
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（　　）
A．cm B．cm C．8cm D．10cm
5．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分面积是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为2，4，H、Q分别为线段、的中点，则的长为（ ）
A．2.5 B． C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．正方形的面积为，则它的边长为________，一条对角线长为________．
9．如图，已知矩形的对角线的长为10cm，顺次连接各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为______cm．
10．如图，在矩形中，有以下结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤当时，矩形会变成正方形．正确的结论是_____．
11．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为_____
12．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________．
13．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为_____．
14．七巧板又称“智慧板”，是我们古代祖先的一项卓越创造．小华利用七巧板（如图1）拼出一个房子模型（如图2），已知图1中正方形ABCD的边长为4cm，则图2中六边形EFGHIJ的周长是__________________cm．
三、解答题
15．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:.
16．如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM
17．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每条边都相等．如图，在正方形ABCD外侧作直线AQ，且∠QAD=30°，点D关于直线AQ的对称点为E，连接DE、BE，DE交AQ于点G，BE交AQ于点F．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AB=6，求FG的长．
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形(提示:可过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点,证△EMF≌△END)；
(2)CE+CG的值是否为定值 若是，请写出这个定值(直接写出结果即可)；若不是，请说明理由．
20．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．
（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．
参考答案
1．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
2．解：A. 有一个角是直角的菱形是正方形，此选项错误；
B. 有一组邻边相等的矩形是正方形，此选项正确；
C. 对角线相等且互相垂直的矩形是正方形，此选项错误；
D. 四条边都相等的矩形是正方形，此选项错误；
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD为正方形,
∴DA=DC,∠CAD=45°,∠ADC=90°．
∵△CDE为等边三角形,
∴DE=DC,∠CDE=60°,
∴DA=DE,∠ADE=90°+60°=150°,
∴∠DAE=∠DEA,∴∠DAE=(180°﹣150°)=15°,
∴∠CAE=45°﹣15°=30°．
故选：B．
4．解：∵∠AB1E＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°，
∴四边形ABEB1为矩形，
又∵AB＝AB1，
∴四边形ABEB1为正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴EC＝BC﹣BE＝2cm，
∴CB1＝cm．
故选B．
5．解：连接O1B，O1C，如图：
∵∠BO1F＋∠FO1C＝90°，∠FO1C＋∠CO1G＝90°，
∴∠BO1F＝∠CO1G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，
在△O1BF和△O1CG中
，
∴△O1BF≌△O1CG（ASA），
∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形，
∴S阴影＝S正方形＝8．
故选D．

6．解：∵H、Q分别为线段DF、EF的中点，
∴HQ为三角形FDE的中位线，
∴，
∵点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，4，
∴AD=AB=2，BE=4，∠A=90°，
∴AE=AB+BE=6，
∴，
∴，
故选C.
7．解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5．
∵DM＝2，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：A．
8．解：设正方形的边长为x，则对角线长为=；
由正方形的面积为4，即x2=4，
解得x=2，故对角线长为.
故答案为：2，.
9．解：∵H、G是与的中点，
∴是的中位线，
∴cm，
同理cm，根据矩形的对角线相等，
连接，
得到：cm，
∴四边形的周长为20cm．
故答案是：20．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC= BD，AO= CO，BO= DO，
故③正确；
∴AO= BO，
∴△AOB是等腰三角形，故①正确；
设点A到BD的距离为h，
则 ，
故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC= BD，但是AC不一定和BD垂直，
故④错误；
∵∠BAD= 90°，
∴当∠ABD= 45°时，∠ADB= 45°，
∴AB= AD，
∴矩形ABCD是正方形，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
11．解：设∠CAE=α，
根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=∠CAE+∠D'AC=α+33°，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，即∠DAE+∠CAE=α+33°+α=45°，
解得：α=6°，
∴∠CAE的度数为6°，
故答案为：6°．
12．解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案为：1．
13．解：如图所示，连接EG，
由旋转可知△ABF≌△ADE，
∴ DE=BF，AE=AF，
∵ AG⊥EF，
∴ H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴ EG=FG，
设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=BF+BG=13-x，
∵∠C=90°，
∴CE2+CG2=EG2
即 x2+32=(13 x)2
解得 x=，
∴CE的长为，
故答案为：.
14．解：在图2中加上节点K、L：
观察图1和图2可知：
EK＝EF＝FL＝HG＝BD，
JI＝KH＝LG＝EK＝BD，
EJ＝IH，
∵正方形ABCD的边长为4cm，
∴BD＝，
FL＝EF＝HG＝，
JI＝KH＝LG＝EK＝，
则EJ＝IH＝2，
∴六边形EFGKIJ的周长为：
EJ+JI+IH+HG+（LG+FL）+EF＝2++2+2++2+2＝8+4．
故答案为：（）cm．
15．解：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，.
又分别是、的中点，
所以BE=CF,所以（SAS），
所以（全等三角形的对应边相等）.
16．解；∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC=CM， NC =BC，∠ACN=∠BCM=90°，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
17．解：（1）连接AE，如图1所示：
∵点D关于直线AQ的对称点为E，
∴AE=AD，AQ垂直平分DE，
∴∠EAQ=∠QAD=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴AE=AB，
∴∠BAE=30°+30°+90°=150°，
∴∠ABE=（180°﹣150°）=15°；
（2）由（1）得：AE=AD，∠EAD=60°，
∴△AED是等边三角形，ED=6，
∵AQ垂直平分DE，
∴EG=3，∠FGE=90°，
∵∠EAD=30°，∠AEB=15°，
∴∠EFG=∠FEG=45°，
∴EG=FG=3．
18．解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
19．解：（1）过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于N点，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形
∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
∴△DEN≌△FEM（ASA）
∴ED=EF,
∴矩形DEFG是正方形
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG是正方形
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS）
∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=AB=×2=4
∴CE+CG=4是定值.
20．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°
∴∠1＝∠2，
∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：AE＝EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．