北师大版数学九年级上册暑期自主学习基础训练题 1.1菱形的性质与判定（含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
暑期自主学习基础训练题（附答案）
一、单选题
1．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．对角线相等
2．如图，菱形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，菱形的对角线、相交于点O，若，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．8 D．10
4．如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，，则菱形的面积是（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
5．如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（ ）
A． B． C．5 D．4
6．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线若则的长是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在边长为10的菱形ABCD中，P为CD上一点，BP⊥CD，连接AP，若DP＝4，则AP的长为（　　）
A．12 B．2 C．14 D．2
二、填空题
8．如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC．∴ ABCD是菱形____．(请在横线上填上理由)
9．如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为______.
10．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是___________（只填一个你认为正确的即可）．
11．菱形的周长为8，它的一个内角为60°，则菱形的较长的对角线长为__________.
12．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝130°，DE⊥AB于点E，则∠BDE＝________°
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为__________.
14．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．
三、解答题
15．在所给的网格中，每个小正方形的网格边长都为1，按要求画出四边形，使它的四个顶点都在小正方形的顶点上．

(1)在网格1中画一个面积为12，腰为5的等腰三角形．
(2)在网格2中画出以线段为对角线、面积是20的菱形；直接写出菱形的周长．
16．的对角线的垂直平分线与边、分别交于E，F，求证：四边形是菱形？

17．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，于点F，且．

(1)求证：平行四边形是菱形
(2)若，，求菱形的面积．
18．如图，已知等边，，E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求的面积．
19．如图所示，在菱形中，，E为中点，，，垂足分别为E，F，，交于点H，交于G点．

(1)求菱形的面积；
(2)求的度数．
20．四边形是菱形，连接，．
(1)如图，求证：．

(2)如图，点在的内部，连接、，与相交于点，且，点在线段上，点在线段上，且，连接、，若，求的度数．

(3)如图，在（2）问条件下，若点为中点，．求的值．

参考答案
1．解：A．菱形对角线互相平分，故选项正确，不符合题意；
B．菱形对角线互相垂直，故选项正确，不符合题意；
C．菱形邻边相等，故选项正确，不符合题意；
D．菱形的对角线不一定相等，故选项错误，符合题意．
故选：D．
2．解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
故选：B
3．解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
故选：A．
4．解：四边形是菱形，
，，
则，故选C．
5．解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，故选A．
6．解：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，AD=10，DE=12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG，OD=DE．
在Rt△AOD中，OA===8，
∴AG=2AO=16．
故选B．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD，
∵PD＝4，
∴PC＝6，
∵PB⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠CPB＝∠ABP＝90°，
在Rt△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，
∴PB＝＝8，
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，
∴PA＝＝2，
故选D．
8．解：如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
故答案为有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
9．解：∵四边形ABCD为菱形，BD为其对角线
∴∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线
∴点E到边AB的距离等于EF，即为4.
10．解：四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD为平行四边形，
再依据：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可添加：AC⊥BD或AB=BC，或BC=CD，或CD=DA，或AB=AD(答案不唯一) ．
11．解：如图所示：
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO= ∠ABC=30°，
∴AO=1，
∴BO= ，
∴BD= ,
故答案为.
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
∵DE⊥AB
∴∠BDE＝90°-=25°
故答案为：25．
13．解：因为点A，B，所以由勾股定理可得AB=2；则由菱形的性质可知AD=2，即点D的坐标为（，2）；则由B， D（，2），根据勾股定理可得BD=.
14．解：连接CE交AB于点O，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，AC＝，
当平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，
∵AB OC＝AC BC，
∴OC＝，
∴OB＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，
故答案为：6．
15．（1）解：如图所示，即为所求，
等腰三角形的腰为5，根据勾股定理：，
∴在网格中横着数3个小正方形，竖着数4个小正形，
画出两条腰之后，即可确定第三边，

（2）解：由图可得：，
∵菱形的面积是20，
∴，如图所示，

∴，
∴菱形的周长；
16．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
17．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）如图，连接，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形
∵
∴
∴
在中，．
∴菱形的面积．
18．（1）证明：等边，
是中点，，
是中点，
，
是等边三角形
，
由尺规作图可知平分，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：等边，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
．
19．（1）解：如图，连接，

∵E为的中点，，
∴，
又∵菱形的边，
∴是等边三角形，
∴，
，，
．
（2）解：在等边三角形中，
∵，
∴，
同理，
∴，
∵
∴，
∴．
20．（1）证明：如图，四边形是菱形，
∴
，
是等边三角形，
．
（2）解：如图，连接、，

，，
.
，，
，
，，
，
为等边三角形，
∴，．
，
，
为直角三角形，
，
．
故答案为：．
（3）解：如图，延长、交于点，连接、，过点作于点，得，在上取点，使．

由（2）知，，
，
，
，，
，
，．
在等边中，，
为等边三角形，
，
．
由（2）知，
，
，
，
．
点为中点，
，
又，
，
∴．
在中，，
，
设，则，．
在中，，，
，
，，
在中，，，
在等边中，．
故答案为：．