图木舒克市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
试卷说明：
1、本试卷考试时间120分钟，满分150分。
2、答案填在机读卡上，填在试卷上无效。
3、考试时，只交机读卡，试卷自己保存。
4、本场考试不得使用计算器
一、单选题（共12题、每题5分，共60分）
1．设集合，则从A集合到B集合所有不同映射的个数是（ ）
A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确
2．计算的值是（ ）A．252 B．70 C．56 D．21
3．从一批含有8件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（ ）A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5 6 7 8 9
9 8 6 4 3
5．为研究变量的相关关系，收集得到如下数据：
若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（ ）
A． B． C． D．
6．某班级有40名学生，某次考试数学成绩，已知，则的人数为（ ）A．12 B．20 C．24 D．32
7．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（ ）
A．e B． C． D．
8．从某班包含甲 乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲 乙 丙 丁 戊5位科学家应邀去三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲 乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．30种
11．若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．函数，函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题、每题5分，共20分）
13．在的展开式中，含项的系数为_______.
14．函数既存在极大值也存在极小值，则实数的取值范围是_______．
15．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为__________．
16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________.
三、解答题（共6题、17题10分，其余各题12分，共70分）
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
得分
人数 2 3 4 6 4 1
没获奖 获奖 合计
男 4
女 7 8
合计
18．2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日举办，该赛事设有21.6公里竞速跑、5.4公里欢乐跑两个项目．某马拉松兴趣小组为庆祝该赛事，举行一场小组内有关于马拉松知识的有奖比赛，一共有25人报名（包括20位新成员和5位老成员），其中20位新成员的得分情况如下表所示（满分30分）：
得分在20分以上（含20分）的成员获得奖品一份．
(1)请根据上述表格中的统计数据，将下面的列联表补充完全，并通过计算判断在20位新成员中，是否有的把握认为“获奖”与性别有关？
(2)若5名老成员的性别相同并全部获奖，且进行计算发现在所有参赛人员中，有的把握认为“获奖”与性别有关．请判断这5名老成员的性别？
附：参考公式：．
临界值表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；
(2)若顾客对该购物网站的评分不低于90分，则称顾客对该购物网站非常满意.从以上样本中评分不低于80分的顾客中随机抽取3人，记为对该购物网站非常满意的顾客人数，求的分布列与期望.
20．近年来随着教育科研的不断进步，兼善中学教育质量不断提高，某知名机构对近年来升入北京航天航空大学兼善学子人数作了如下统计附：回归方程中，.
(1)求关于t的回归方程；
(2)用所求回归方程预测兼善中学2023年（t=6）升入北航的人数
21．某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.
(1)求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；
(2)若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，
①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求；
②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．图木舒克市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
参考答案：
1．A
【分析】根据映射的概念，按集合的元素找对应，结合分步乘法原理即可求解.
【详解】集合中的每一个元素，在集合中都有唯一对应的元素与之对应，
中有4个元素，每个元素可以有3种对应方式，共有种不同的对应方式，
即从集合到集合的不同映射的个数是81 .
故选：A
2．C
【分析】根据组合数的计算公式即可求解.
【详解】
故选：C.
3．A
【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从10件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：，
从10件产品中取出3件产品的基本事件数为：，
故选：A
4．C
【分析】根据导数的定义将已知等式变形整理为，即可得答案.
【详解】由可得，
即，
故选：C
5．C
【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得，再根据残差的定义可判断.
【详解】由题意可得：，
即样本中心点为，可得，解得，
所以，可得
5 6 7 8 9
9 8 6 4 3
9.2 7.6 6 4.4 2.8
0
所以残差为0的样本点是.
故选：C.
6．A
【分析】根据正态分布的性质求出，即可估计人数.
【详解】因为且，
所以，
所以的人数为.
故选：A
7．C
【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.
【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，
则，解得.
故选：C
8．A
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【详解】令事件为甲被选中的情况，事件为乙被选中的情况，
故，，
故．
故选：．
9．A
【分析】由题意可得在上单调递增，从而在上恒成立，结合函数的最值即可求解.
【详解】不妨设，则等价于，
即在上单调递增，
也即在上恒成立.
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，
∴，∴.
故选：A．
10．B
【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.
【详解】因为甲 乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，
因此要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，
若A学校只安排一个元素，则有种分配方法；
若A学校只安排二个元素，则有种分配方法；
所以不同的安排方式有24种，
故选:B.
11．D
【分析】将化为，利用二项式通项公式可求得，判断A；根据二项式的系数和式的特征，利用赋值法可分别判断B，C，D.
【详解】由题意可知，故，A错误；
由，
令，可得，B错误；
令，则，
故，C错误；
令，则，
故，D正确，
故选：D
12．A
【分析】不等式变形为，引入新函数，，利用导数判断函数的单调性，
利用单调性化简不等式可得，取对数，变形为，再引入新函数，x∈（0，+∞），求得它的最大值即可得参数范围．
【详解】因为，对恒成立，
又，
所以，即，
即，
令，，
∴，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，，
∴恒成立，
∴函数在上单调递增，又原不等式等价于，
所以，即，即恒成立，
令，，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
可得时，函数取得极大值即最大值.，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
13．32
【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于，即可得解.
【详解】展开式的通项，
令，则，
所以含项的系数为.
故答案为：.
14．
【分析】先求导函数，根据函数既有极大值，又有极小值，故方程有2个不等的实数根，可求实数的取值范围．
【详解】，
因为函数既存在极大值也存在极小值，
所以方程即有2个不相等的实数根，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
15．80
【分析】正确理解题意，通过组合及组合数公式.
【详解】要使这4个运动员都不是老搭档，可先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽取1人，故有种.
故答案为: 80.
16．
【分析】根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围.
【详解】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为
令，，所以单调递增，
因为，所以，
可得，所以，所以恒成立，
即求，令，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，可得.
故答案为：.
【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的，使得恒成立，可得出；对于任意的，使得恒成立，可得出.
17．(1)
(2)最大值为4，最小值为0
【分析】（1）直接求导找出切点处斜率，再将代入原函数得到纵坐标从而得到切线；
（2）令其导函数大于0，判断函数在的单调性从而确定最值．
【详解】（1）对函数求导，，
，
所求得的切线方程为，
即；
（2）由（1）有，
令，解得：或，
故函数在递增，在递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在的最大值为4，最小值为0．
18．(1)列联表见解析，没有的把握认为“获奖”与性别有关
(2)这5名老成员全是男成员
【分析】（1）完善列联表，计算出卡方即可判断；
（2）分别假设名老成员的性别为女性或男性，求出相应的卡方值，即可判断.
【详解】（1）依题意可得列联表如下：
没获奖 获奖 合计
男 8 4 12
女 7 1 8
合计 15 5 20
由列联表中数据，计算得到，所以没有的把握认为“获奖”与性别有关．
（2）当这名老成员中都为女成员时，
计算得，不合题意；
当名老成员都为男成员时，
计算得，符合题意．
故这名老成员全是男成员．
19．(1)72
(2)分布列见解析，期望为1
【分析】（1）利用中位数的定义结合频率分布直方图的频率值求解；（2）根据超几何概率分布模型求解即可.
【详解】（1）因为，
所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内，
设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，
解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.
（2）由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数是，
评分在内的顾客人数是.
的所有可能取值为0，1，2，3.
，，，.
则的分布列为
0 1 2 3
故.
20．(1)
(2)11人.
【分析】（1）求线性回归方程，先求出，再根据公式求出，即可.
（2）将代入回归方程即可.
【详解】（1）这里
又
从而1.2，.
故所求回归方程为.
（2）将代入回归方程（人）.故升入北航11人.
21．(1)
(2)①②
【分析】（1）正难则反，采用间接法，先求不能被4整除的概率，再根据对立事件求解；
（2）①先记为地面接触的面上的数字为3的次数，找出与的关系，根据二项分布求解期望；②先明确甲不超过三次就结束游戏的情况，再求解概率.
【详解】（1）设事件A=“接触面上的5个数的乘积能被4整除”，不能被4整除的有两种情况：
（i）5个数均为奇数（1或者3），概率为，
（ii）5个数中4个为奇数，另一个为2，概率为，
所以.
（2）①可能的取值为500,800,1100,1400,1700,2000.
记为地面接触的面上的数字为3的次数，
则，且，
，
，故.
②设事件B=“甲不超过三次就结束游戏”，分为两种情况：两次结束游戏和三次结束游戏.
.
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再根据判别式讨论函数的单调区间；
（2）根据（1）的结果，可知，，，，这样可将所证明不等式进行变形，从而构造函数，利用导数即可证明.
【详解】（1）函数的定义域为，，
设，令，，
当时，即，在单调递减，
当时，即，，令，得，，
若，，，由即，得出.
由即，得出.
当时，，由即，得出.
由即，得出.
综上所述：当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；在上单调递减.
（2）由（1）可知：当时，
，是函数两个极值点，
有，，此时，
要证明，只要证明
设，
令，
当时，，
所以当时，，单调递减，
所以有，即证
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质的综合应用问题，本题第二问处理双变量问题，关键是，，，从而为后面的消参，构造函数创造条件.
