辽宁省沈阳市第120中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

沈阳市第120中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
满分：150分 时间：120分钟
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知命题，使得，则为（ ）
A.，使得 B.，使得
C.，使得 D.，使得
3.的最大值是（ ）
A. B.2 C. D.4
4.设：“函数在上单调递减”，：“”，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A.的最小值是 B.的最小值是
C.的最大值是 D.的最大值是
6.若在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”.下列命题正确的是（ ）
A.若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”
B.若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
C.若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D.若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
8.已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，则（ ）
A.2025 B.2024 C.1013 D.1012
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若函数在定义域上的值域为，则区间可能为（ ）
A. B. C. D.
10.下面结论错误的是（ ）
A.不等式与成立的条件是相同的.
B.函数的最小值是2
C.函数的最小值是4
D.“且”是“”的充分条件
11.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
12.已知函数对任意都有，且.则下列结论正确的是（ ）
A.为偶函数
B.若，则
C.
D.若，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.不等式的解集为__________.
14.已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则的取值范围是__________.
15.已知函数的值域为，则的取值范围是__________.
16.黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.已知正项数列的前项和为，且满足，则__________（其中表示不超过的最大整数）.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知集合，问
（1）若集合中至多有一个元素，求的取值范围；
（2）若集合中至少有一个元素，求的取值范围.
18.数列满足，
（1）若数列是等比数列，求及的通项公式；
（2）若数列满足：，数列的前项和为，求证：.
19.已知函数.
（1）若的解集为，求的值；
（2）求关于的不等式的解集.
20.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点.
（1）当时，求的不动点；
（2）当时，函数在内有两个不同的不动点，求实数的取值范围.
（3）若对于任意实数，函数恒有两个不相同的不动点，求实数的取值范围.
21.已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
22.已知函数.
（1）若是增函数，求实数的取值范围；
（2）若有两个极值点，证明：.
沈阳市第120中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题答案
一 单选题
1-8CBABAACB
二 多选题
9.BC 10.ABC 11.AD 12.ACD
三 填空题
13. 14. 15. 16.18
四 解答题
17.【详解】（1）当时，由，解得，满足题意，因此；
当时，中至多有一个元素，，解得.
故综上可得：的取值范围是.
（2）当时，由，解得，满足题意，因此；
当时，中至少有一个元素，，解得.
故综上可得：的取值范围是.
18.【详解】（1）由可得，，
又，故是首项为1，公比为3的等比数列，即，
于是
（2）由（1）知，，于是，
则，
两式相减：，
即，于是，故.
19.【详解】（1）若的解集为，则和1是的两个根，则，解得
（2）由得，即，
当，即时，不等式的解集为或；
当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为或；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
综上：当时，不等式的解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式化为，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
20.【详解】（1）当时，，
由得或的不动点为.
（2）当时，，
由题意得在内有两个不同的不动点，
即方程在内的两个不相等的实数根.
设，
只须满足
或.
（3）由题意得：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数解.
对恒成立.
.
21.解：（1）是定义在上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是上的增函数，证明如下：
设任意且
，
是在上的单调增函数.
，
又是定义在上的奇函数且在上单调递增，
；
（3）假设存在实数，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，，
为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
存在实数，使得函数在上的取值范围是，
并且实数的取值范围是.
22.【解】（1）函数的定义域为，
若是增函数，即对任意恒成立，故恒成立，
设，则，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，min，由得，
所以的取值范围是.
（2）不妨设，因为是的两个极值点，
所以，即同理，
故是函数的两个零点，即，
由（1）知，，故应有，且，要证明，只需证，
只需证
，
设，
则，
所以在上单调递减，因为，所以，
即，
又，及在上单调递增，
所以成立，即成立.