河北省邯郸市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

邯郸市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，其中，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量满足，则（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.开普勒第一定律也称椭圆定律 轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A.39 B.52 C.86 D.97
5.如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7.在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中随机选择2个宫格，将其相应的数字变成相反数，得到新的数阵，则新的数阵中所有数字之和为25的概率为（ ）
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A. B. C. D.
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
10.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ）
A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D.相比于2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
11.已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
12.如图1，《卢卡 帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若，则（ ）
A.
B.该水晶多面体外接球的表面积为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.点到平面的距离为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为__________.
14.已知，则的取值可以是__________.（写出一个即可）
15.已知，且，则的最小值为__________.
16.已知抛物线的准线与轴交于点，过的直线与交于两点.若，则直线的斜率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角的对边分别为，已知，且.
（1）求；
（2）求的面积.
18.（12分）
在数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，满足（为正整数）的项有项，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.
（1）证明：四点共面.
（2）求平面与平面的夹角的大小.
20.（12分）
世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
（1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且），现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.
21.（12分）
已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.
22.（12分）
已知函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
邯郸市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学参考答案
1.D 由，可知.
2.A ，代入有，故.
3.C 因为，所以，解得.
4.D 近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，则.
5.B 连接，作，垂足为即直线与直线所成的角.
.
6.D 由题意可得在上单调递增，且.因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且.由，得或解得或.
7.A 初始数阵中的9个数成等差数列，这9个数的和为45.因为新的数阵中所有数字之和为25，所以随机选中的两个数字之和为，有4种情况.故所求概率为.
8.B 因为，所以.因为，所以，即.令函数.
当时，单调递增.
因为，所以，所以，即，则.故.
另：构造，求导可得，从而.
9.BC 由函数图象可知，，则，不妨取.
当时，取得最大值，
则，即.
故.
10.ABD 2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为，则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确.
11.BC 设切点为，切线的方程为.代入点，可得，即.因为过点恰能作2条曲线的切线，所以方程有2解.令函数.当或时，；当时，.
所以在和上单调递增，在上单调递减.，所以或，解得或.
12.BCD 该水晶多面体的俯视图如图1所示，，A错误.建立如图2所示的空间直角坐标系，则.记该水晶多面体外接球的半径为，球心，则，故该水晶多面体外接球的表面积为，B正确.因为，所以平面平面.易得平面的一个法向量为，即为平面的一个法向量.，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确.点到平面的距离为，D正确.
13. 圆的标准方程为.
14.（或或或） 因为，所以，即，则或，所以或.因为，所以的取值可以是或或或.
15.16 因为，所以.因为，所以，，则，当且仅当时，等号成立.
16. 设直线的方程为.
联立得.
由，解得或.
由韦达定理得.
因为，所以，解得.
故直线的斜率为.
17.解：（1）因为，所以.
由正弦定理可得，则.
从而，即.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得.
因为，所以.
故的面积为.
18.解：（1）因为，所以，则是等差数列.
设的公差为，由解得.
故.
（2）满足（为正整数）的项有项，所以.
.
19.（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
.
令，即解得
所以.故四点共面.
另解：①因为，所以四点共面；
②取的中点，连接（图略），证明四边形为平行四边形，从而，得证.
（2）解：设是平面的法向量，
则
令，得.
取的中点，连接，易得平面.
平面的一个法向量为.
.
故平面与平面的夹角的大小为.
20.解：（1）设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，
则.
设其中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时，为事件，则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，
所以，故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.
（2）解法一：设三个社区的居民人数分别为，
则社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
所以，
故从这3个社区中随机抽取1名居民，该居民每周运动总时间超过5小时的概率为0.35.
解法二：由全概率公式可得，
所求概率为.
（3）因为，所以.
因为，所以，
所以.
21.（1）解：因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.
因为双曲线经过点，所以，解得.
故双曲线的方程为.
（2）证明：因为为的中点，所以.
设直线的方程为，所以，
直线.的方程为，
直线的方程为.
联立
可得，
所以
又因为，所以，
则.
同理可得.
.
，
所以.
故三点共线.
22.解：（1）的定义域为.
因为是增函数，
所以在上恒成立.
即在上恒成立.
令函数.
所以在上单调递增，则.
所以，故的取值范围为.
（2）由题意可得在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以，此时在上单调递增，
故，符合题意.
当时，令函数，则.
所以在上单调递增.
.
当，即时，在上恒成立，
此时在上单调递增，故，符合题意.
当，即时，存在，使得当时，，
即在上单调递减，此时，不符合题意.
综上，的取值范围是.