2023-2024学年北师大版九年级数学上册课件：菱形的性质与判定（三）

(共27张PPT)
第一章　特殊平行四边形
　菱形的性质与判定（三）
·上册·
A. AB＝CD
B. AB＝BC
C. ∠BAD＝90°
D. AC＝BD
1. 如图S1－3－1，下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（ ）
（限时3分钟）
温故知新
图S1－3－1
B
2. 如图S1－3－2，菱形ABCD的周长是20 cm，对角线AC长为6 cm，则另一条对角线BD的长为（　C　）
图S1－3－2
C
A. 4 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 10 cm
知识重点
　　A. 菱形的面积等于 　底×高　 .
底×高　
对点范例
3. 如图S1－3－3，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若＝，AD＝6，则菱形ABCD的面积为（　C　）
图S1－3－3
C
A. 12
B. 12
C. 24
D. 54
知识重点
　　B. 菱形的面积等于其两条对角线长的乘积的 　一半　 .
一
半　
对点范例
4. 如图S1－3－4，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于（　D　）
图S1－3－4
D
A. 4
B. 2
C.
D. 4
课本母题
知识点1　菱形的面积（底×高）
【例1】（课本P9习题）如图S1－3－5，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH.
图S1－3－5
思路点拨：先求出AB的长，再利用菱形的面积公式S菱形ABCD＝AB·DH＝AC·BD，即可解答.
解：∵四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，
∴OA＝AC＝8，OB＝BD＝6，AC⊥BD.
∴在Rt△AOB中，
AB＝＝＝10.
∵S菱形ABCD＝AB·DH＝AC·BD，
∴10DH＝×16×12.解得DH＝9.6.
母题变式
5. 如图S1－3－6，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于点H.
图S1－3－6
（1）求菱形ABCD的面积；
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝8 cm，BD＝6 cm，
∴＝AC·BD＝×8×6＝24（cm2）.
图S1－3－6
（2）求DH的长.
解：（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4（cm），
OB＝BD＝3（cm）.
∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝5（cm）.
∴DH＝＝4.8（cm）.
图S1－3－6
课本母题
知识点2　菱形的面积（两条对角线长的乘积的一半）
【例2】如图S1－3－7，菱形ABCD的对角线AC长36 cm，周长是120 cm.求：
图S1－3－7
思路点拨：（1）根据已知可求出菱形的边长，再利用菱形的对角线互相垂直的性质，即可求得BO（BD）的长；（2）根据菱形对角线的长度即可计算出菱形的面积.
解：（1）∵AC＝36 cm，菱形ABCD的周长为120 cm，
∴AB＝30 cm，AO＝AC＝18（cm）.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
在Rt△ABO中，
BO＝＝24（cm）.
∴BD＝2BO＝48（cm）.
（1）对角线BD的长度；
图S1－3－7
解： （2）S菱形ABCD＝AC·BD＝×36×48＝864（cm2）.
（2）菱形ABCD的面积.
图S1－3－7
母题变式
6. （课本P8例题改编）如图S1－3－8，四边形ABCD是周长为52 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.求：
图S1－3－8
（1）对角线AC的长度；
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
菱形ABCD的周长为52 cm，BD＝10 cm，
∴AC⊥BD，AB＝13 cm，BE＝BD＝5（cm）.
在Rt△ABE中，AE＝＝12（cm）.
∴AC＝2AE＝24（cm）.
图S1－3－8
（2）菱形ABCD的面积.
解：（2）∵菱形ABCD的对角线BD＝10 cm，AC＝24 cm，
∴S菱形ABCD＝BD·AC＝×10×24＝120（cm2）.
图S1－3－8
创新设计
7. （创新题）如图S1－3－9，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF.
图S1－3－9
（1）求证：四边形EBFD是菱形；
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.∵AE＝CF，
∴AO＋AE＝CO＋CF，即EO＝FO.
∵BO＝DO，∴四边形EBFD是平行四边形.
又∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形.
图S1－3－9
（2）若菱形EBFD的对角线BD＝7，EF＝24，求菱形EBFD的面积.
（2）解：∵四边形EBFD是菱形，BD＝7，EF＝24，
∴S菱形EBFD＝BD·EF＝×7×24＝84.
图S1－3－9
8. （创新变式）如图S1－3－10，在 ABCD中，DE是∠ADC的平分线，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF.
图S1－3－10
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴AE∥DF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE.
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.
∴四边形AEFD是菱形.
图S1－3－10
（2）如果∠A＝60°，AD＝6，求菱形AEFD的面积.
（2）解：连接AF交DE于点O.（作图略）
∵四边形AEFD是菱形，
∴DE⊥AF，AD＝AE，OD＝OE，OA＝OF.
又∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形.
∴DE＝AD＝6.∴OD＝3.
在Rt△AOD中，OA＝＝3.∴AF＝6.
∴＝AF·DE＝×6×6＝18.
谢 谢！