2023-2024学年北师大版九年级数学上册课件：第一章第一节菱形的性质与判定（一）（28张PPT）

(共28张PPT)
第一章　特殊平行四边形
　菱形的性质与判定（一）
思维导图
（限时3分钟）
温故知新
1. 如图S1－1－1，在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，则∠B＝（　D　）
图S1－1－1
D
A. 50°
B. 65°
C. 100°
D. 130°
2. （2022广东）如图S1－1－2，在 ABCD中，一定正确的是（　C　）
图S1－1－2
C
A. AD＝CD
B. AC＝BD
C. AB＝CD
D. CD＝BC
知识重点
　　A. 有一组 　邻边相等　 的平行四边形叫做菱形.
邻边相等　
对点范例
3如图S1－1－3，要使 ABCD变为菱形，需要添加的条件是（　D　）
图S1－1－3
D
A. AC＝BD
B. AD＝BC
C. AB＝CD
D. AB＝BC
知识重点
B. （1）菱形的四条边 　相等　 ；
（2）菱形的对角线 　互相垂直　 .
相等　
互相垂直　
对点范例
4如图S1－1－4，四边形ABCD是菱形，AD＝BD，AD＝2，则该菱形的周长与对角线AC的长分别是（　D　）
图S1－1－4
D
A. 16，4
B. 16，
C. 8，2
D. 8，2
课本母题
知识点1　菱形定义的应用
【例1】如图S1－1－5，在平行四边形ABCD中，已知AB＝（2x－1）cm，BC＝（x＋2）cm.要使平行四边形ABCD变为菱形，则x的值应为多少？并求出此时菱形ABCD的边长.
图S1－1－5
思路点拨：当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，列方程即可求出x 的值，进而可求出AB的长.
解：当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
∴2x－1＝x＋2.
解得x＝3.
此时菱形ABCD的边AB长为x＋2＝5.
∴当x＝3时，平行四边形ABCD是菱形，
此时菱形ABCD的边AB长为5 cm.
图S1－1－5
母题变式
5. （原创题）如图S1－1－6，平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x，y的方程组的解.当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？
求出这时菱形的边长.
图S1－1－6
解：
图S1－1－6
②－①得x＝6－m.
把x＝6－m代入①得y＝2m－6.
则方程组的解为
∴当x＝y时，平行四边形ABCD是菱形.
∴6－m＝2m－6.解得m＝4.
这时菱形的边长AB＝6－m＝6－4＝2.
课本母题
知识点2　菱形的性质的运用（对角线与边长）
【例2】（课本P4随堂练习改编）如图S1－1－7，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
已知AB＝5 cm，BD＝8 cm，求AC的长.
图S1－1－7
思路点拨：根据菱形的性质可得AC⊥DB，BO＝BD，AO＝AC，再利用勾股定理计算出AO的长，进而得到AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD，AO＝AC.
∵BD＝8 cm，∴BO＝4 cm.
在Rt△ABO中，AO＝＝3（cm）.
∴AC＝2AO＝6（cm）.
图S1－1－7
母题变式
6. 如图S1－1－8，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5 cm，AO＝4 cm.求：
图S1－1－8
（1）两条对角线AC和BD的长；
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD.
∵AB＝5 cm，AO＝4 cm，
在Rt△AOB中，BO＝＝3（cm）.
∴AC＝2AO＝8（cm），BD＝2BO＝6（cm）.
图S1－1－8
（2）菱形ABCD的周长.
解：（2）菱形ABCD的周长为5×4＝20（cm）.
图S1－1－8
创新设计
7. （创新题）如图S1－1－9，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF.
图S1－1－9
（1）求证：AE＝AF；
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD.
∵BF＝DE，
∴BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE.∴AE＝AF.
图S1－1－9
（2）若BE＝AE，BD＝2AC＝16，求线段EF的长.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.
∵BD＝2AC＝16，∴OA＝4，OB＝8.
设BE＝AE＝x，则OE＝OB－BE＝8－x.
在Rt△AOE中，AE2＝OA2＋OE2，即x2＝（8－x）2＋42.解得x＝5.∴OE＝8－5＝3.由（1）知OF＝OE，
∴EF＝2OE＝6.
图S1－1－9
8. （创新变式）如图S1－1－10，已知四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
图S1－1－10
（1）求证：AM＝DM；
∴BD⊥AC，AB∥CD.∵EF⊥AC，∴EF∥BD.
∴四边形EFDB是平行四边形.
∴DF＝EB.∵E是AB的中点，
∴AE＝EB.∴AE＝DF.
∵AB∥CD，∴∠EAM＝∠FDM.
（1）证明：如答图S1－1－1，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
答图S1－1－1
在△AME和△DMF中，
∴△AME≌△DMF（AAS）.
∴AM＝DM.
答图S1－1－1
（2）若DF＝3，求菱形ABCD的周长.
图S1－1－10
（2）解：由（1）知△AME≌△DMF，
∴AE＝DF＝3.
∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝6.
∴菱形ABCD的周长为6×4＝24.
谢 谢！