山东省东营市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试数学试题（含解析）

东营市名校2022-2023学年高一下学期6月阶段测试
数学试题 2023.6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列命题正确的是( )
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线
2．已知，且点，则点B的坐标为( )
A． B． C． D．
3．已知，，且，则( )
A．， B．，
C．， D．，
4．给出下列叙述：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；
③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．
其中叙述正确的序号是( )
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③
5．m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若m，n，l两两相交，且交于同一点，则m，n，l共面
D．若，则
6．据某地区气象局发布的气象数据，末来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为( )
A．27 B．26．5 C．25．5 D．25
7．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A．0．45，0．45 B．0．5，0．5 C．0．5，0．45 D．0．45，0．5
8．根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为( )
A．460 B．480 C．不少于480 D．不多于480
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知a，b，c是三个向量，则下列结论中错误的是( )．
A． B．
C． D．若，则
10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面ABC，，且．若鳖臑外接球的体积为，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是( )
A． B．
C．该鳖臑体积的最大值为 D．该鳖臑的表面积为
11．PM2．5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地9月1日到10日的PM2．5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是( )
A．这10天中PM2．5日均值的众数为33
B．这10天中PM2．5日均值的中位数是32
C．这0天中PM2．5日均值的中位数大于平均数
D．这10天中PM2．5日均值前4天的方差大于后4天的方差
12．以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中1名男同学和1名女同学的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D．从3件正品、1件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则共线的三点是_______．
14．已知复数，，则___________．
15．以下四个命题中，真命题是____________（只填真命题的序号）。
①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行；
③若直线a，b和平面满足，，则；
④若直线a，b和平面满足，，，则。
16．某地区牛患某种病的概率为0．25，且每头牛是否患病互不影响．今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药___________（填“有效”或“无效”）．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设的面积为S，满足，求b的值．
18．在如图所示的几何体中,底面是正方形,四边形是直角梯形,,且四边形底面分别为的中点,．
(I)求证:平面平面;
(Ⅱ)求多面体的体积．
19．如图,是棱长为4的正方体,E是的中点．
(I)证明:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积．
20．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：min），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．
（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）假设上学所需时间不少于1 h的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．
21．某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及
概率 0．1 0．46 0．3 0．1 0．04
(1)求有4个人或5个人培训的概率．
(2)求至少有3个人培训的概率．
22．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民每户月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费．为了了解全市居民每户月均用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)已知该市有80万户居民，估计全市居民中每户月均用水量不低于3吨的户数，并说明理由；
(3)若该市改府希望使85%的居民每户每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
参考答案
1．答案：D
解析：对于A：模为1的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；
对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；
对于C：平行向量即共线向量，故C错误；
对于D：模为0的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；
故选：D．
2．答案：B
解析：设点B的坐标为，则，
所以，即点B的坐标为．
故选：B．
3．答案：C
解析：因为，且，所以，即，由复数相等的充要条件，得，解得，，故选．
4．答案：D
解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；
对于②，由棱台的定义可知只有当该平面与底面平行时，底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；
对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；
对于④，棱台的侧棱延长后交于一点，但其侧面不一定是等腰梯形，故错误．故选D．
5．答案：D
解析：对于选项A，若成立还需要添加条件，故A不正确；对于选项B，由，还可能得到m，n是异面直线，故B不正确；对于选项C，可举反例，如三棱锥同一顶点出发的三条棱，故C不正确；对于选项D，，又，故D正确．
6．答案：C
解析：第一步：按从小到大排列原始数据先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，
第二步：计算
计算得，
第三步：得结果
因此该组数据的第40百分位数为．
7．答案：D
解析：出现正面朝上的频率是，出现正面朝上的概率是0．5．故选D．
8．答案：C
解析：根据题意，知该校近视的学生人数约为，结合实际情况，眼镜商应准备眼镜不少于480副．
9．答案：CD
解析：因为向量的数量积公式满足交换律和分配律，所以A，B正确；
表示与向量c共线的向量，表示与向量a共线的向量，两个向量不一定相等，故C不正确；
，那么或或，故D不正确．故选CD．
10．答案：ABD
解析：在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，所以点O是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为，得外接球半径，所以．设，，则，得，所以，当且仅当时，取得最大值．此时，所以鳖臑的表面积．故选ABD．
11．答案：ABD
解析：由题中折线图得，这10天中PM2．5日均值的众数为33，中位数为，平均数为，中位数小于平均数，故A，B正确，C错误；由题图可知，这10天中PM2．5日均值前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差，故D正确．故选ABD．
12．答案：BCD
解析：对于A，甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，共有（种）情形，结合树状图，可得玩一局甲不输，共有（种）情形，所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确；
对于B，设男同学为a，2名女同学分别为A，B，则从这3人中任选2人包含，，，共3种选法，其中选中1名男同学和1名女同学包含，，有2种选法，所以选中1名男同学和1名女同学的概率为，所以B正确；
对于C，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，其中点数和为6的结果有，，，，，共有5种，所以点数之和是6的概率是，所以C正确；
对于D，从3件正品、1件次品中随机取出2件，一共有（种）情况，取出的产品全是正品包含（种）情况，则取出的产品全是正品的概率是，所以D正确．故选BCD．
13．答案：A，B，D
解析：，则A，B，D三点共线．
14．答案：
解析：因为复数，
所以，．
故答案为：．
15．答案：④
解析：对于①，当经过b的平面也经过a时，不成立，故①为假命题；对于②，a与内的直线平行或异面，故②为假命题；对于③，直线a与b三种位置关系都有可能，故③也为假命题，故只有④为真命题。
16．答案：有效
解析：若此药无效，则12头牛都不患病的概率为，这个概率很小，故该事件基本上不会发生，所以此药有效．
17、（1）答案：
解析：由，得，
根据正弦定理，得．
因为，
所以，
所以．
因为，所以，所以，则．
（2）答案：
解析：由，得．
又由正弦定理得，
所以，解得．
18．答案：(I)见解析
(Ⅱ)
解析：(I)证明:分别为的中点,
．
又∵四边形是正方形,
,
．
平面平面,
平面平面．
又平面,
∴平面平面．
(Ⅱ)∵四边形是直角梯形,,
．
又∵四边形底面,平面平面平面,
平面,
是四棱锥的高,
．
∵四边形是正方形,
．
平面平面,
．
又平面．
平面,即是三棱锥的高,
,
∴多面体的体积．
19．答案：(I)见解析
(Ⅱ)
解析：(I)证明：连接．
∵四边形是正方形,
．
在正方体中,
平面,
又平面,
．
又平面,平面,
平面．
又平面,
．
(Ⅱ)设与交于点F,连接．
在正方体中,．
又分别是的中点,
,
∴四边形是平行四边形,
．
过平面平面,
平面．
又正方体的棱长为4,
．
20．答案：（1）0．0125（2）72（3）33．6 min
解析：（1）由频率分布直方图可得，解得．
（2）新生上学时间不少于1 h的频率为，
因为，
所以600名新生中约有72名学生可以申请住宿．
（3）由题可知．
故该校新生上学所需时间的平均值约为33．6 min．
21．答案：(1)概率为0．4
(2)概率为0．9
解析：(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训川为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知．
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知．
22．答案：(1)
(2)月均用水量不低于3吨的户数为96000
(3)每户月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每户每月的用水量不超过标准
解析：(1)由频率分布直方图，可得，解得．
(2)由频率分布直方图可知，100户居民每户月均用水量不低于3吨的频率为，
由以上样本频率分布，可以估计全市80万户居民中月均用水量不低于3吨的户数为．
(3)前6组的频率之和为，
而前5组的频率之和为．
由，解得．
因此估计每户月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每户每月的用水量不超过标准．