北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定（二）课件 （22张PPT）

(共22张PPT)
第一章　特殊平行四边形
菱形的性质与判定（二）
·上册·
A. AB＝AD
B. AC⊥BD
C. AC＝BD
D. ∠DAC＝∠BAC
1. （2022河池）如图S1－2－1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（ ）
（限时3分钟）
温故知新
C
2. （2022河南）如图S1－2－2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　C　）
图S1－2－2
C
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
知识重点
　　A. 对角线 　互相垂直　 的平行四边形是菱形.
互相垂直　
对点范例
3. 要使 ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是（　B　）
A. AB⊥BC B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠ABC＝∠CDA
B
知识重点
　　B. 四边 　相等　 的四边形是菱形.
相等　
对点范例
4. 下列条件中，能判断四边形ABCD是菱形的是（　D　）
A. AC＝BD B. AC⊥BD
C. AC与BD互相平分 D. AB＝BC＝CD＝AD
D
课本母题
知识点1　菱形的判定（对角线互相垂直＋平行四边形）
【例1】（课本P7习题）已知：如图S1－2－3，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形.
图S1－2－3
思路点拨：先证明四边形AFCE为平行四边形，再由EF垂直平分AC可得四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠EAC＝∠FCA.
∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF垂直平分AC，∴四边形AFCE是菱形.
图S1－2－3
母题变式
5. 如图S1－2－4，在 ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O作EF⊥BD，垂足为O，且分别交AD，BC于点E，F.求证：四边形BEDF是菱形.
图S1－2－4
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，AD∥BC.
∴∠EDO＝∠FBO.在△EOD和△FOB中，∴△DOE≌△BOF（ASA）.
∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形.
图S1－2－4
课本母题
知识点2　菱形的判定（四边相等的四边形）
【例2】（课本P7习题）已知：如图S1－2－5，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
图S1－2－5
思路点拨：根据四边相等的四边形是菱形进行证明即可.
证明：∵E，F为OA，OB的中点，
∴EF为△OAB的中位线.∴EF＝AB.
同理可得FG＝BC，GH＝CD，HE＝DA.
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA.
∴EF＝FG＝GH＝HE.
∴四边形EFGH为菱形.
图S1－2－5
母题变式
6. 如图S1－2－6，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是菱形.
图S1－2－6
证明：∵线段BD垂直平分AC，
∴OA＝OC，AB＝BC，
AD＝CD，∠1＝∠CBD.
∵∠1＝∠2，∴∠CBD＝∠2.
∴BC＝CD.
∴AB＝BC＝CD＝AD.
∴四边形ABCD是菱形.
图S1－2－6
创新设计
7. （创新题）如图S1－2－7，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.
图S1－2－7
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AC＝6，BD＝8，
∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4.
∵AB＝5，且32＋42＝52，∴AO2＋BO2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
图S1－2－7
（2）过点A作AE⊥BC于点E，求AE的长.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5.
∵＝AC·BO＝BC·AE，
∴×6×4＝×5×AE.解得AE＝.
图S1－2－7
8. （创新变式）如图S1－2－8，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，OA＝12，OB＝5.
图S1－2－8
图S1－2－8
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（1）证明：在△AOB中，∵AB＝13，OA＝12，OB＝5，
∴AB2＝132＝169，OA2＋OB2＝122＋52＝169.
∴AB2＝OA2＋OB2.
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）过点A作AH⊥CB交CB的延长线于点H，求AH的长.
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝13，AC＝2OA＝24.
∵＝AC·OB＝BC·AH，
∴×24×5＝×13×AH.解得AH＝.
图S1－2－8
谢 谢！